关于高等数学中求极限的方法小结

1、高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.12.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2).(2) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .(3).(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4).(4)等价无 穷小代换( (当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).).设且lim一Jim一 ；贝卩：一：与是等价无穷小的充分必要条件aa为：-:0(:).常用等价无穷小：当变量x 0时，sinxx,tanx x,arcsinx x,arctanx x,ex-1x,ln(1 x) x,1 -cosxgx2,1 X -x

2、x,(1 x)：-1 _：x.求limcosxx0 xarcta n x0时,1 -cosx - x2,arctanx x212x故， 原式=lim壬- 尸x1(1 x2)3-1求limxj0cosx1_AA解7x；0时,(1 x2)3Tx2,1-cosx x2, ,因此: :32原式求lim1 3TXTtanxx 0时，31 x T 1 x, tan x x3x: :原式= =lim xT x0 x彳2fe-1 例 4 4 求limT 2xln(1 +x)解x. 0时,ex-1 x,ln(1 x) x,故:2 2原式Jim芝Jx 02x220试确定常数a与n，使得当X-. 0时，axn与In

3、 (1-x3)x3为等价无穷小.1 0 -0 _ (0 0)(0 -0) _0-00 03x23、333xln(1x)x=1而左边liml-x3n-1=5即n=6 lim3=1 T 6a 6anax.-3x5呵荷，=t a=.2naxn J2.22.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为 0 0 比 0 0 型或者二型等未定式类型. .QO洛必达法则分为 3 3 种情况：(1 1) 0 0 比 0 0，无穷比无穷的时候直接用(2(2)0 0 乘以无穷，无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式, ,通项之后，就能变成(1 1)中形式了

4、 . .( 3 3)0 0 的 0 0 次方，1 1 的无穷次方，无穷的 0 0 次方，对于(指数, ,幕函数)形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幕函数指数位置的函数移下来了，就是写成0 0 与无穷的形式了 . .洛必达法则中还有一个定理：当Xra时，函数f (x)及F (x)都趋于 0 0；在点a的某去心邻域内,f(x)、F(x)的导数都存在且F(x)的导数不等于 0 0；limF (x)f(X)存在，那么lim 3=讪匸凶a F (x)T F(X)1求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入,先定型后定法.32求1 COS x求-).分析秘诀强行代入，先定型后定

5、法0。30(此为强行代入以定型)040-0可能是比0 0高阶的无穷小，倘若不这样，或(0 0)(0一0) 0一0 0 004=0FQF(0 0)(0 -0)040 00-000Tlim( 12_x-0sin x2cos X丁）叽22 2x -sin xcos x.2sin x(x -sin xcosx)(x sin xcosx)x sin xcosxx3x sin xcosx=2limxx s inxcosx例 7 72,有：上式=2 21 - cos x +sin x =2lim2x刃3x由洛必达法则的Xx34 4 - - 3 3- -X X2 2 2 2InXInX si siXe -1-

6、2x - x解求lim -X1X2x1Xe -1-2XXX3-3X2-x2- x 1原式二典13x -36x3x2-2x -1=limxw 6x -2（二次使用洛必达法则）X-Xee 2x求limXTx sin xx. X原式二lim -xT 1 - cosx1010 求limX2-4x 3x 1x2-2x 1X-Xe elimsin xxJOX-X=2.cosx原式=lim = lim _：lim _ =0原式 二二X12x-2x -1x1x11111 求limtanxxx 30 xsin xarcsin xtan x -x原式二lim xTXXX1212 求limcotXx0In xAco

7、s X3x221 -cos X=limX J03x2cos2x(1 cos)?x2=lim22x )03x cos x.2 sin x原式二lim2t sin x2-cos Xx limx 102sin xcosx=oO2cos x)2). .x2 . 2x-sin原式=limx_00: ”型:1414 求lim x( -arctan x). .x_n2原式 二limx J-：:11x2arcta nx2lim1型:+1.x1515 求lim secx - tan x. .x彳1 sin xsecx - tanx =cosx cosx1 -s inxcosx 故原式=血匕沁伽一孕7cosxsi

8、nx00”型:1616 求lim xx. .X0 In xxxln x原式二lim e lim ex 0 x)0 lim二ex0 xln x=1.例 1717 求lim M -. .X并l x )解原式=lim 1ex丿“：0”型:例 1818 求lim)tanxXT0屮x1tanx解原式二lim en(;)10十而lim(-tanxlnx) 奇xxTim-xlnx)=0,=lim exTlim丄e -tanxlnxx60tanxln x因此：原式=1.=1.2xcos x22sin xx(x - sin xcosx)(x sin xcosx)2.32.3 泰勒公式（含有e的x次方的时候，尤其

9、是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数f（x）在含有n的某个幵区间（a,b）内具有直到(n 1)解 由于公式的分母sin3xx3（x；0），我们只需将分子中的33sinx*話0(x3)代入计算,331于是sinxxcosx二x-x0(x3)xx0(x3) = -x30(x3)，对上式做运算时,3!2!3把两个x3高阶的无穷小的代数和还是记作o（x3）.2.42.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要阶的导数，则对任x (a,b)，有f (x) = f(x0)+f (x0)(x-Xo)+导（x-x0）2+皿5宀)

10、n!其中R.(x)=：（n4）-R n1，这里是x与冷之间的某个值.1例 1919 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限limx 0sin x - xcosxsin x143 + + 3例 2020limx4limx xFx3+2x2+x+13 +_2 +丄12x x2 +1Alim - -2二limxf：(n _1)XT”二3x3x24I3，3xlim上=limx.；(2)n. .3n 1X2厂1，2n”13(2 T_23注意这个方法.x sin x例 2121 求lim. .F xsinx、)=lim(1xx；：2.52.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限

11、中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.sin i二nlim 一nT：y n 1.i二nsin 根据夹逼定理lim n7 ni2.62.6 等比等差数列公式(的绝对值要小于i尺ilnznln 6 -ln|6|解原式=lim(1sinx) =1.x例 2222求limn_g:兀2兀sin sin - nn_n1n2si n兀+-1n +-nn解、i 4.i二.i二.i二sinnsinnsinnnn，n1 vn1 ynoisin i二nlim 一nF：i生n 0i二= lim丄、丄nT：ny n12 sin二x dx二一0例 2323 设|：1，证等比数列、 ：2,的极限为 0.0.证任取0 c1

12、，为使人-a ，而Xn- aI I 即，使IlnE1Jn当N =，当n N时，即ln*Jn 6ln6n N 1 =nln 13| ln 即卩xn a c名，由定义知lim V(冋0解lim f x = lim x-1 = -1，lim f x=叫.x 1 = 1，因为lim f x lim f x，所以，当x0时，f (x)的极限不存在X0 0 xWx例 2626lim一(GA(GA0 0) ). .G(_ )lim - - = lim (- x -= 0，XT - x X 0 2.2.7 7各项以3a,、 因为lim亙上幻二lim 1=0 x-0.x所以, ,原式=0.=0.2.92.9 应

13、用两个重要极限x彳例 2727 求limT x解记x =1 n 1 tex1 =t，则28求lim IV nT n +1丿2929 求lim 1丄. .Fl n -1丿2.102.10 根据增长速度In x : xn: ex（x：）n3030 求lim二n为正整数， ：0. .xYe原式=lim竺;=lim叫学二=lim = 0.exx.；：,2e-xx_，冷以ln x3131 求!叽晋no. .凹_哼pm x - xx. . nxx八.nx同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x的x次方快于x!（x的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数sin xlimx 0 x1，lim M -j、x原

14、式= =limtliT1+tf 1In 11- t二1i因为lim 1 xx=e .t.原式1的n 1二= =e. .原式=nim1右= =e. .所以增长速度：ln x：xn：ex（x：）. .故以后上述结论可直接在极限计算中运用 2.112.11 换元法1例 3232lim (1)x. .J 产x解令Xt，则原式= =lim 1lim -_1lim1 1-= =et-枫lt.丿t_网i t.丿j 和lt1丿V t-1.丿2.122.12 利用极限的运算法则 利用如下的极限运算法则来求极限：(1)(1)如果lim f x = A,lim g x =B,那么lim f (x)二g(x) = l

15、im f (x)二lim g(x) = A二B例 3333 已知f x - 1-x2, ,在区间0,1上求密送f(px(其中将b,1】分为个小区间Xj 1,Xii沁，为厶Xi中的最大值). .1解由已知得：lim0：fjJ Xdx若又有B=0，则血卫勾=皿他=g(x) lim g(x) B(2(2) 如果lim f (x)存在，而c为常数，则lim cf (x) = clim f (x)(3(3) 如果lim f (x)存在，而n为正整数，则lim f(x)二lim f (x)n(4(4) 如果 、(x) _ (x)，而lim、(x)二a, lim(x) = b，则(5(5)设有数列：x/和

16、m，如果lim xnyn= A B;那么，(Xn + % )= A +B；nimXnyn= AB当yn= 0n -1,2,.且b = 0时，lim -=nY yByn2.132.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分121JI4（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分，求函数f x在区间0,1 上的面积）. .在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1 1） 定积分中值定理：如果函数f x在积分区间l.a,b上连续，则在l.a,b 1上至少有一个点，使下列公式成立：gbf xdxdx= =：逬x b-a a - b；（2 2） 设函数f x在区间a,I I 上连续，取t a，如果极限lim_七f x dx存L a在，则称此极限为函数f x在无穷区间a上的反常积分，记作o：f（x）dx，即tJ f （x）