【精品5专题江苏专用】2012届高三数学二轮复习精品(精)

1、第二单元三角函数与平面 向量目录专題九三角函数的图欽与性质专JK十平面向的线性运JI专题十一甲面向3L的坐标运算勻数里駅专強十二三角函数的堞合应用第二单元三角函数与平面向量三角函敎的定义堆本二角公式：同角二角晌数关系式诱导公 式两角和耳羞的公式二.倍角公式三角函数的图叙及受换IftIPK敎的性质m调件：介偶件：对称性關期性I解三角形及止余弦定理的运用卜冲面向皿的线止込算及藝木定理|平面向就的半标运算及数试积I考向预测回顾20082011年的考题中.在填空题中主要考査了三角公式的运用、三角函 数的图象、正、余张定理的运用及平面向录的数量积.在解答题中有2008、2011年 主要考査了三角化简求值

2、、2009年考査了向量与三角化简的综合问题.而2010年单 独考査了平面向童的基本运算.在近四年的应用题考査中，有两年考査了与三角函 数育关的应用题在近四年的考査中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与整的公式考査 力度大，基本上考査不多.但作为三角化简的基本功还是要掌握其公式的特征的.预计在2012年的高考題中：(1)填空题依然是考査简单的三角函数化简、三角函数图彖与性质、解三角形. 平面向量的基本运算.随着题目设置的顺序.难度不一.(2)在解答题中.三角函数的化简以及三角函数的性质依然是解答题第一题的热 点.兼顾三角形和平面向的JH也会出现.应用题考査几何图形中三角函数的运用 的可能性也

3、很大.备考策略三角函数与F面向与：角歯数有关的综合问题由于该专题内容基础，高考试题的难度不大，经过一轮的复习学生已经达到 了高考的要求，二轮复习就是在此基础上进行的巩固和强比.在复习中注意如下 几点：(1)该专题具有基础性和工具性.虽然没有什么大的难点问题.但包含的内容 非常广泛公式很多.有些公式易用错，在复习时要加强对基本公式和基本运算 的训练.(2)抓住考査的主耍题型进行训练，要特别注意如下几个题型：根据三角函数 的图線求函数解析式或者求函数值.根据已知三角函数值求未知三角函数值.与 几何图形结合在一起的平面向量数*积.解三角形中正弦定理、余弦定理.三角 形而积公式的综合运用.解三角形和与

4、三角函数有关的实际应用问题.(3)注意数学思想方法的应用.该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程 思叔.化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地应用数学思想方法.强化数学 思想方法在指导解题中的应用.2o( (m*-2oi i年江那许開孕世itAHcththft除玫的口念V200b舟策2 jS中树角備M敦的瓜 事关系式J的介式V1誉頂tt.父技顶!t的毎俛与性1V2ooa i 2010年UJ 10 c中噸枚.y t卩的阳录耳11 JMX無尔1 Ki( KM200年 61Viu2011耶第9 4(V)A Hh)的匸兹.J200* . 2(111年I5i 2010年书17tt( (*s2011

5、年 6 巧收(胡h平ft的曰Vifc向H的fJUtt.M ifc从数葉咗斤J Jr面向H的坐杯 純示f f7 72) )! 平偵向*的72UU耳第I匡（从八2OM2010年第IS雄中平iW向M的字行 SJ2009年劲15（屮平面向域的应用专题八三角函数及恒等变换主干知识整合I.三角公式的比 丸*”UB r rJfJfCOtt rtillkO - r三您XIR了力关不wJo 1tt X 4% tmicf巴巴CFawffit to o与公云%ini vmarcifyj rnsjury *inaco*yi rOKTHirfiCOM(- rojMtcwfr 771 UiZdflW一却 h 帯 W 鶉可

6、帅两鮮与釧公式.令 尹（山十手川:他到柯应时W.可酬口快吗变僵WIT二IS0,从而sina=/lco82a=q=,同理可得 sin/f=jlsin/f=jlcoscos2 2= 因此hn=7.tan/=*.74-tkma + km/72 2所以tan() = -tuntf(an/?=j=-3. 2 tin(“ + 2/y) )=Um(a+)+=Jl-(-3)X2又0aj, 0/?故0a4-2/?从而由tan(a + 2/T) = 1得a a + + 2/J=2/J=： 探究点二 三角形中的三角化简求值问题三角形中的三角化简求值问题不仅需要借助于三角公式 研究，还需要结合正余弦定理来达到化简和求

7、值的目的.例2 2011江苏卷在MBC中，角4,，C的对边 分别为a,b, c.(1)若5泊”+彳=2cosA,求A的值；(2)若cosA =；,b=3c,求sinC的值.【解答】 由题设知siivlcos+cosAsin7=2cosA.AK而sinA =3cosA,所以cosAHO, tan4 =、3,因为0VAVTT,所以A=|.(2)由cosA=|,b=3c及a=b+c2bca)sA,得a2=d2c2.故AAHC是直角三角形，且所以sinC=cos4 = i.【点评】第一小问中所给三角方程，需要将不同角化 成同一角后，即可解出三角方程；第二小问中首先要结合余 弦定理判断三角形形状，再根据

8、所得直角三角形用诱导公式 求出sinC的值.探究点三向量背景下的三角化简和求值向量的坐标运算会与三角函数有关联，这类问题需要先用 向量公式进行运算后，再用三角公式进行化简和求值.例3已知向fi( (/=(4,5cosa),=(3, 4tana) (1)若a/bt试求shm的值；(2)若a丄b,且ae 0, | ,求cos2a:的值._ _一“ . 5c（s 4tana【解答】（1）因为a/b,a/b,所以一厂=,所以15co“+16sfnsina=0t即sin=l因为G0,；）所以cos=|.24、7所以sin2a=2sinacosa=25,ws2a=l2siiTa=2 （2a） = cos2

9、z cos：+ sin2a sin：= gx + |X * =所以COS312【点评】第一小问中根据向量平行坐标公式得到三角等式, 再将所得等式的三角函数名称统一，解三角方程：第二小问中由 向量垂直得到sin值，再用倍角公式以及和差角公式求出三角 函数值.变戎题设平面向最a=(cosx, sinx),b=(a)sx+2yj39sinx), c=(sin0,矛盾，所以假设不 成立，即与不可能平行.1三角化简和求值问题需要先建立已知角和所求角之间的 关系，然后分析式子的结构和三角函数的名称，设计化归方向.2.三角函数的化简问題不仅仅在三角函数性质研究中运 用，在三角形的研究和向童运算中也有运用，所

10、叹三角函数的 化简是研究三角函数的基础，复习时注意积累三角函数化简的 技巧.3 三角化简和求值中要关注的细节就是角的范围，特别是 用平方关系求三角函数值的时候.（教材必修4 P23习题15改编）例已知sinx+|=|,则sinJ+sir?罟一x的值为【分析】本题根据所给角的关系，只需要用诱导公式解 决角和角的关系即可，不需要用到二倍角公式以及和差角公 式，所以三角化简求值的问题，首先应该考虑角与角的关系.【答案】mielg0zu Gz=s(z)EZ1I6W0I0.0+0旺二)fiwT0lsm%v0v0 xsnj敗變報血III4 s(Z/+3CXU/as I w+3sok0nS=0十+(0|0二

11、ilxlx寺SHw+u!s坯心/py呼N 义 Xl(上沅 寻上尺1寻)(Zl(【)Z)2三角函数性质的研究三角函数也是函数，研究其函数性质时，可以从三角函数的解析式或三角函数的图象进行研究.在研究函数性质时，首先应将所给三角函数化归为y=4sin(wx+K y=Acos(少x+卩)、j=4tan(wx+),再利用换元f=少x+卩,从而转化为y=A0n/、y=Acosr、y=Atant的性质进行研究.要点热点探究探究点一三角函数的图象与变换三角函数图象的研究主要是根据函数图象求函数的解析 式和函数的性质； 三角函数图象的变换主要是指平移变换、伸缩变换.对称变换.例I (1)给出下列六种图象变换方

12、法：1图象上所有点的横地标缩短到原来的；，纵坐标不变：2图鮫上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变;3图象向右平移;个单位长度；4图彖向左平移;个单位长度：5图徐向右平移：个单位长度;6图象向左平移/个单位长度.请用上述变换中的两种变换，将函数y=siiu的图彖变换到函图9一1的图象，那么这两种变换的序号依次是_ (填上一种你认为正确的专案曲 (2)函数/lx)=Asin(w.v+)(A0,仞0,tpe |0,2n)的图象 如图91所示，则0=_ 将(3.0)代入得：亍+严弘卄兀，即卩=亦+：又卩丘0 2兀), 所以卩=：【点评】( (1)三角函数图象进行变换时.要注意先伸缩变换后 平移

13、变换与先平移变换后伸缩变换的差异.如丿=彳1向左平移:移;得到y=sin(x+=g,再进行伸缩变换得到j=cos2r,同样 的伸缩变换，但平移的单位却不同.(2)4,如卩这三个值求解以卩最困难，其中如果图象上没有 给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待， 如点(3.U)在减区间内，则3仞+卩=2+兀，如点(7.0)在增区间内， 则仏*=刀 5 5 当然本题也可由对称性得到最低点坐标(5, 3),此时代入对应的值是惟一的.A 探究点二三角函数的周期性与对称性个单位得到y=sin”(x+；：；：=s=sin|ry=sin；(2)卩=2(73)=对于函数y = Asin(仞x +

14、0) )的周期是由仞的值来决定，而周 期性也影响了三角函数的对称性和单调性.对称轴的方程和对 称中心的坐标还要受到伊的值的影响，所以考查时常有由性质 求解析式，由解析式来研究性质.例2(1)已知函数/U)=2sin(ex+w) )仙0)的图象关于直线x=?对称，且彳令卜山则少的最小值为_ (2)设函数/tr) = “n(s:+w) )+ cos(ft.i+0)()(3O,lwlV；的最小正周期为兀，且f(x)=f(x)9则/U)的单调减区间为【点评】( (1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化 为关于少，0的二元方程.(2)题干给出的周期性是用来确定 3 的值的，第二个条件 为是为了解决0的

15、值，确定解析式后，即可求出 三角函数的性质.彳+弓=彳一(+寻记g(X)=ACOS(M+卩)一1,则g；=(2)设少0,函数=si位后与原图象重合，则少的最小值是变共删(1)若/(x)=Z、7T亠的图象向右平(1)一1 (2) )2【解析】( (1)由于任意实数/,函数金)有“+了 =/一+月成立，故/U)的图象关于直线对称，即sinyo+ =1,从而38鲁少+卩=0,故彳|)=一1 将) )= sin.v+J + 2的图象向右平移;个单位后为丿=sinx-：+；+2=sin陆+申-)+2,所以有晋鼻如，即(0=(0= 6 6 伙33又因为少0,所以kl,kl,故少=岁工乡所以少的最小值是探究

16、点三 三角函数的单调性与值域对于函数j -Asin(w.v +的单调性和值域求解，首先应该 将所给三角函数进行化归后，通过设=少.丫+0的换元处理， 从而转化为j = siitr的单调性进行研究，明确单调性后，值域 即可求出.例3已知函数/lx)=sin2.r+cosr| (1)求/U)的最大值及取渝最大值时的x的值;求/U)在0,刊上的单调增区间.+ sinrco&rFxG1 cosl2r【解答】(1) )=- 21 ,2+sin2x= 14-(sin2xcos2x)=sin 2r：+1 当2x-：=2Jbr+?即x=kn+j,keZ时,/U)得最大值为+1.由弘兀一号W2x：0如+

17、J得刼一鲁WxWM+彳，乙 又因为 005 所以何在0,TT|上的增区间为0,普和：，：，兀【点评】三角函数性质的研究，重点是三角函数的化 简，本题所给函数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍 角公式进行降幕，再观察角分别为一；与2x，还需要用和 差角公式进行统一，最终化归为Asin(.x+B的形式, 即可将cux+tp看做整体，研究函数的性质.变戒题己知函数/(x)=sin 2x+jcos2x+2co占.(1)求/令的值；(2)求/U)的最大值及相应兀的值.【解析】本小题考査三角函数的求值以及运用三角函数中的两角和与差公式进行化简的能力，考査考生对基 础知识、基本技能的掌握情况.1.三角函数

18、的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余 弦函数叠加后所得函数的研究，首先需要对所给函数进行化 归，在化归的过程中要注意“角” “名” “次”的统一，化 归后的函数需要整体处理（换元）,再研究其性质，故对y siiu-,y- cosx,y- tanx的性质必须掌握.2.&三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之 间的联系，即A,仞，x,卩对函数性质和图象的影响.3.三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换 与先平移变换后伸缩变换的差异.(1) 2 (2帖，M十;”丘乙)【解析】( (1)由题意得：竽+卩=卄务 又晋+卩=心，所以予=*兀+?即o)=4k1 2+2,又仞0,所以仞的最 小值为2.(2)V/i(x)= 2sln f”x+卩+：,由题意知f=用且卩+：=卄：，in , nI rr , n .si nl 2 X4- Icosl 2 X +j i+2cosT