求一元二元函数极限的方法总结

1、摘要. 1关键词. 1Abstract. 1Key words. 1引言. 11 预备知识. 11.1 一元函数极限的定义. 21.2 一元函数极限的性质及相关定理 . 31.3 两个重要的极限. 31.4 无穷小量的定义及等价无穷小. 31.5 常用的导数定义式,. 31.6 二元函数极限的定义. 42 求一元函数极限的方法. 42.1 禾 U 用定义求极限 . 42.2 利用归结原则求极限. 52.3 利用左右极限求得函数极限 .52.4 利用迫敛性求极限 . 62.5 利用四则运算法则求极限 .72.6 利用两个重要极限求极限 . 72.7 利用等价无穷小量代换求极限 . 72.8 利用

2、函数的连续性求极限 .82.9 利用洛比达法则求极限 .82.10 利用泰勒公式求极限. 92.11 用导数的定义求极限 .102.12 禾 U 用定积分求极限 . 103 二元函数的极限以及判定 .113.1 利用二重极限的定义 .113.2 运用连续函数的性质 . 113.3 利用变量替换 . 113.4 先求对数后求极限 . 123.5 利用分子或分母有理化. 123.6 判断f(x,y)在点(xo,yo)处极限不存在的方法121求函数极限的方法摘要：本文首先归纳和总结出一元函数，二元函数极限的定义及其相关的性质，这些性质对于求解 函数的极限有很重要的作用，是求解函数极限的基础；其次依据

3、不同的原则，按照不同的方法，从 不同角度概括出求函数极限的若干主要方法，并列举出具有代表性的例题。关键词：函数；极限；性质；方法Methods Of Solving the Limit of FunctionAbstract: This paper in duces and summarizes the function of one variable, the defi niti on of limit of function oftwo variables and their properties, these properties have a very importa nt role

4、in solvi ng the limit of fun cti on, isthe foun dati on for solv ing the limit of fun cti on; sec on dly, based on differe nt prin ciples, accord ing to different methods, summarize some main methods for the limit fun ctio n from differe nt an gles, and lists the representative examples.Key words: F

5、unction; limit; quality ； method引言极限是微积分的理论基础，微积分中的重要概念，如连续，导数，定积分，级 数都是用不同类型的极限来定义的，函数极限理论是数学分析中最基本、最重要的内容 之一.因此掌握函数极限的理论和求函数极限的方法对学习数学分析及数学专业相关课 程来说是相当关键的函数是数学分析的研究的对象，而极限方法则是在数学分分析中 研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。求函数极限的方法很多，而且非常 灵活，因此研究与总结求函数极限的方法尤为重要本文针对各种形式的函数极限整理 和归纳了具有代表性的各种求解方法，幷辅以典型的例题既要理解极限的性质，概念

6、和极限存在的条件，又要能准确求出各种极限。1.预备知识1.1 一元函数极限的定义定义 1 设f为定义在a, ：上的函数，A为定数.若对任给的；0，存在 正整数 M (Ka )，使得当xM时有|f (x)-A0，存在正数6( 6)，使得当0v|x-x。/时有|f (x)-A宀，则称函数f当x趋于 x。时以A为极2限.记作：lim f x = A或 f x ：-；A xx。.3定义 3 设函数 f 在 U0瓦二（或 U0 x0;）内有定义，A 为定数.若对任给； 0 的，存在正数 6（ V ）,使得当时 Xo ex Xo+5 （或 Xo- 6 X xi：f xA xxj i iX讼XJX0_1.2

7、一元函数极限的性质及相关定理注：函数 f X 在点 Xo处是否有极限，与函数f X 在点 Xo处是否有定义无关.4性质 1 （唯一性） 若极限lim f x存在,则此极限是唯一的.性质 2 （局部有界性）若叫fx存在,则f在 Xo的某空心邻域 UoXo内有界.性质 3（局部保号性） 若lim f x = A o（或：o），则对任何正数r：A（或r：- A），存在 UoXo，使得对一切x U0Xo有 f性质 4（保设lim f x与lim g x都存在，且在某邻域 Uoxo;内有xxjXof xgx，则！叹f x乞gx.性质 5 （迫敛性）设lim f x = lim g x= A ，且在某邻域

8、 Uoxo-内有f x空h x空g x贝Ulim h x= A.XXD性质 6 （四则运算法则） 若极限lim f x与lim g x都存在，贝U函数f上g，f g，XoXo当 x XD时极限也存在，且1.lim f x - g x = lim f x - lim g x;xXo -xoXo2.lim | f x g x=吧f xg x；又若lim g x =o，则f当 x-；xo时极限存在，且有xxg3f（x）xmfx）3.lim-xf g x lim g x定理：归结原则设f在 UoXo内有定义，？m fX存在的充要条件是：对任何含于 UoXo-且5以 x0为极限的数列 fxj，极限ijm

9、 f xn都存在且相等.1.3 两个重要的极限(1)limS.i；其变形为lim列x-0 xMWTPk(x)心期。(呛)x兀1.4 无穷小量的定义及等价无穷小设函数f在 U0(x0)内有定义，若lim f(x尸 0,则称f为当XTx0时的无穷小量。3x0若lim也1，则称 f 与 g 是当 X；x0时的等价无穷小量。x沟g(x)在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能 用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，常见等价无穷小量2xsin x x x 0 ， tan x x x 0 ，1 - cos x x 0，arcsinxx x0 ，

10、 arctanxx0 ， e -1x0 ，In 1 x x X-；0 ，1 x一-1 ：x x- 0ax-1 xln a x； 0(1 ： x)：-1、； x x；0n. 1 x -1 x = 0n1.5 常用的导数定义式,设函数 y = f x 在点 x0处可导，则下列式子成立：其中h是无穷小，可以是叹厶 x 二 x-x0，x的函数或其他表达式.(2)f1Vlim 1e .其变形为Xi .x1e 或1 x)Je其变形为1.f x =limXsxbf x - f x0X X02.f (X0)也f Xoh - f Xoh61.6 二元函数极限的定义7设f为定义在DuR1 2上的二元函数，FF 为

11、D的一个聚点。A是一个确定的实数，若对任给正数；，总存在某正数：，使得当PU0(F0； )- D 时都有 f(P)-A ；，则称f13当Ovx-1时 Po,以A为极限,记做lim f (p)二A.P082求一元函数极限的方法2.1 利用定义求极限例 1 证明lim2-xj2Xx1 3若限希 9 X 于 0 c x1| v1，贝 U 2x+1 1，于是对任给的E 0，只要 6 =mi n31取,X2_12、从而有lim2成立。T2Xx13例 2 证明 lim2 .J (x _1 )(2_x )对于wg0,取6 =mi，于是当0XY 时，有12 6 Jx2-12xx-1 d 时，便有 x，X 厂：

12、和 X :这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形 式.注 2若可找到一个以X)为极限的数列fxj，使lim f xn不存在，或找到两个都以 XQ为极限的数列与：X”，使mf xn与lim f xn都存在而不相等，则lim f x不存在.2.3 利用左右极限求得函数极限-ex+11例 3lim1arctan xT丄xeX-1XX2-1lim 1 1n 、n nlim i11A 丿x_l xxX_ X，1解：埋石J,凹屈9怡n；=2- 1 lim ex= 0，lim arctan=x )0 x )0一10且帆专的专*，满足函数极限的迫敛性，即可求出极限2.5 利用四则运算法则求极限对

13、和、差、积、商形式的函数求极限，会想到极限四则运算法则，法则本身很简单但 为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变换或化简，采用怎样的变形和limX01 e+1 -eX1丁lim arctan =丄X 0 1 ex_ 1e_x-1因此limx_0ex+11ex-11兀arctan =x 22.4 利用迫敛性求极限例 4 求极限lim22325 -和n解由放缩法得1 2 3=厂n 2 23 n（n一1）2厂n 12V22，nnn化简得n 12.23 n(n 1) n 32nn2n因为.n +1n+31limlimn-门：2n f 2n 2由迫敛性定理得2 + 72+Jn(n+1)1li

14、m厂八二n22在利用迫敛性求函数极限时，一般可经过放缩法找出适当的两个函数，且这两个函12卫n2n211化简，要根据具体的算式确定常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、 分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换.x2x 亠I：xnJ- Xn?L./ x 1= 12 3 n2.6 利用两个重要极限求极限2.7 利用等价无穷小量代换求极限例 7 求极限lim坦宁学.XTsin x解 由于tan xsin x二sin x1-cosx，而i 2n例5求极限 A，n为正整数.x -1解limxX2xn_nxjX1= lim Ux1|x -1 x1xn-1x1

15、2=何呱x 1切x x 1lxm1xn_J n _2+ x +_ X + 1 )例 6 求极限limsinxsina.x -ax+a . xa cossin 解sinx-sina _22xa2x + acos一x ax a sin2x - a2sin x - sin ax a于疋有 limlimcos XTx_aXT2x a sin2x a limcosx - axa2x a sinlim xax _ a先利用和差化积对函数进行转化,式子，如当时亍，此时要使用lim匹=1,T x.x -a sinlim 力=1，再进行求解。x a _xa2必须使函数中出现此类型的cosx12f x 二 r：-

16、x tanx 在 x = 处连续,4所以可把x直接代入求极限若以后遇到此类函数可用此方法求其极限.42.9 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求0型不定式极限及二型不定式极限.用此种方法求极限要000求在点 xo的空心领域U0X。内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零.例 9 求极限lim1響71tan x解 由于lim 1 cosx = lim tan2x = 0，且有_xJJT. 2 21 cosx = -sin x，tan x2 ta n xsec0，由洛比达法则可得X求极限lim会X和x3解 由于lim._ex=m.一x3= ：，并有e、ex，3宀0，由洛比达法则可得故有2si

17、nxx Xr 0 ，1 - cosx XT330， sin x x Xr 0tanxsi例8 求lim二-x tanx.= limX2COSX2xxT 13=匚x 2解 lim 二-x tanx =3二tan444此题是利用函数的连续性求其极限，因为函数x .：1,1 cosx lim2xrtan xsinX2=-lim -=limxr2 tanxsec2x3COSX2例 1013XXeelim 3 = lim 2，汨：x泸：3x14由于函数 f X 二 ex, g x =3x3 4均满足路比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则lim3= lim2= limlim -：x_,：x：3x J：

18、：6x J： ：6注 1 如果 lim 匚上仍是-型不定式极限或二型不定式极限，只要有可能，我们Fg(x)000lim是否存在，这时 f x 和 g x 在 xo的某领x淤g x域内必须满足洛比达法则的条件.注 2 若 lim不存在，并不能说明 lim 丄仝 不存在.0 g (x )xf g(x )注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解， 首先必须注意它是不是不定式极 限，其次是否满足洛比达法则的其他条件.F 面这个简单的极限limx sinx/虽然是二型，但若不顾条件随便使用洛比达法则xO034x x5x ，可再次用洛比达法则，即考察极限1 COSXlim= lim,XXxX115就会

19、因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论.2.10 利用泰勒公式求极限克劳林公式.也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式x22例 11 求极限limCSxeo解 由于极限式的分母为x5，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取n=4:24彳X亠X亠/5COSX二1X2242 8在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在Xo= 0 时的特殊形式，即麦f x二f 0 f 0 x2!fn 0 x- : xn.n!x2c oxse2x21216因而求得利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的2.11 用导数的定义求极限解对所求极限作如下变形:lh+-.nn1 1 = lim 无2

20、r i F n1 +丄 I l 门丿x22cosx - e4-x5二lim12J0 x112解令f x=亦X2 p2,g XX2 q2则f x -f 0 x -0_f0=_pg X-g0 g 0 _ qx 02.12 利用定积分求极限有定积分的定义知，若 f x 在 la,b 1 上可积，则可对 l.a,b 1 用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是f x 在 la,b 上的定积分因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限这是求和式极限的一种方法.例 13求极限lim nnSC12(n+2)lim nnI:-1 2Jn+1)+.十二lim例

21、 12p 0,q 0 .12(n+n)1n17- +1二I nJ1n17不难看出，其中的和式是函数 f(x)=p 在区间 10,1 上的一个积分和，所以有(1+x)18由于 耳乞旦在点(0,1)连续，所以lim1淫e)=|门“3.3 利用变量替换例16求 呵(x+y)mex切(m 是一个确定的自然数)(x,y)Trb()”解 令 t = x y，则当 x小-,、一,时 t :设x二cosd y =;?sin ),0：v : 2-,3.4 若所求极限具有的形式， 并且在的过程中呈现出某种不定型 (如),可利用先求 对数后求极限的方法例18求侧0少2严-lim n -5 L(11 x1 1n 1

22、n0 J.211112dx2d 1 x(1 + x)0(1 + x)3 二元函数的极限以及判定3.1 利用二重极限的定义例 14 设f(x,y , 2xy2,x y(x,0,0)f(X，y)解(x,y) 0 =xy 1x2y2_1x-2厂2 .Cx y故FE0,取 6 =2z，当 OvP = Jx2+ y 0，不妨设0： ： , x y :：: :. :：: 1所以 x2y2乞x2岂 x2y2: 1,1 n(x2y2)： 00 Q(x2y2)ln(x2+y2)兰-(x2+y2)，而(J-(x y2)ln( x2+ y2)卜擲-P21n P2)=0所以lim |-x2y21n(x2y2) = 02 2所以 J)im(o,o)(x2+y2)xy=13.5 利用分子或分母有理化所以J%/不存在。y二g(x)，这里y二g(x)是f (x, y)的定义域D上的任意连