数学实验7-非线性方程与混沌

1、1. 1. 方程求根的方程求根的MatlabMatlab指令指令2. 2. “二分法二分法”3. 3. “牛顿切线法牛顿切线法”4. 4. 一般迭代法一般迭代法5. 5. 分叉与混沌分叉与混沌 非线性方程求解非线性方程求解方程近似根的求法方程近似根的求法实验问题实验问题: :1sin5 . 0 xx分析：分析：该问题可以转化为下列方程求根该问题可以转化为下列方程求根. . 01sin5 . 0 xx开普勒方程开普勒方程 近似解近似解.f=inline(x-0.5*sin(x)-1);c=fzero(f,0,2)方法利用方法利用MATLAB指令指令输出：输出：c = 1.4987 显然该方程为一

2、元非线性方程，没有现成的求解公式显然该方程为一元非线性方程，没有现成的求解公式. .c=fzero(f,a,b) 求求f在区间在区间a,b的零点的零点c=fzero(f,x0)求求f在在x0附近的零点附近的零点方法方法 “二分法二分法”f=inline(x-0.5*sin(x)-1);fplot(f,0,2);grid首先画图，观察出解首先画图，观察出解的范围的范围然后利用二分法求解然后利用二分法求解xyoab二分法简介二分法简介1x2x3x,11bxxba中点中点,22xaxba中点中点,233xxxba中点中点nxba中中点点,分析：分析：条件：条件：.)( , 0)()(连连续续且且有有

3、唯唯一一零零点点xfbfaf , 11bxbaxa , 212xxbaxb , 233xxbaxa 得到第得到第n个区间个区间xyoab1x2x3xNr 确确定定迭迭代代次次数数，要要求求误误差差不不超超过过设设精精确确解解为为, 终止条件：终止条件：rabxnn 2|. 12ln/ln rabN. 2ln/lnrabn clear;f=inline(x-0.5*sin(x)-1);a=0;b=1;r=1.0e-5;N=log(b-a)/r)/log(2); k=0;while n =fix(N)+1 k=k+1;c=(a+b)/2; if abs(f(c)=0 break; elseif f

4、(c)*f(b)0 x0=a;else x0=b;endm=min(abs(df(a),abs(df(b);k=0;while abs(f(x0)m*dlt k=k+1; x1=x0-f(x0)/df(x0); x0=x1;fprintf(k=%d x=%.5fn,k,x0);end程序：程序：（）（） 一般迭代法一般迭代法0)( xf)(xgx 即即0 x取取)(01xgx )(12xgx )(1kkxgx 迭代格式迭代格式 , 2 , 1 , 0 kxk迭代序列迭代序列迭代初值迭代初值)(xg迭代函数迭代函数xxfx )()(xg如何构造迭代函数如何构造迭代函数使得产生的迭代序列收敛使得产

5、生的迭代序列收敛?例题例题构造迭代格式构造迭代格式032 xx213kkxx 取初值取初值00 x ,33, 6, 3 , 0 kx迭代序列迭代序列构造迭代格式构造迭代格式kkxx 31取初值取初值00 x 1.3027756 kx迭代序列迭代序列-实验考察实验考察)(xg如何构造迭代函数如何构造迭代函数定理定理 如果如果 在在 a,b 上连续且满足上连续且满足则迭代格式则迭代格式)(1kkxgx 对任意初值对任意初值,0bax 迭代序列迭代序列 收敛收敛. , 3 , 2 , 1 , 0, kxk)(xg(1)如果如果(2) 存在正的常数存在正的常数h，对，对1| )( | hxg,| )(

6、| , , baxgbax 有有 , ),( bax 1sin5 . 0 xx用一般迭代法求解开普勒方程用一般迭代法求解开普勒方程1sin5 . 0)( xxg令迭代函数为令迭代函数为 15 . 0|cos5 . 0| )(| xxg显然显然 ), 2 , 1 , 0( 1 . 0 , 1sin5 . 001 kxxxkk所以，迭代格式收敛所以，迭代格式收敛 Logistic方程与混沌方程与混沌n在生物学中，有一个刻画生物种群个体总量增长情在生物学中，有一个刻画生物种群个体总量增长情况的著名的方程况的著名的方程逻辑斯谛（逻辑斯谛（Logistic）方程：）方程：为比例系数为比例系数rxrxxn

7、nn)1(1 n其中其中xn为某生物群体的第为某生物群体的第n代的个体总数与该群代的个体总数与该群体所能达到的最大保有量时的个体数之比。体所能达到的最大保有量时的个体数之比。n选定初值和比例系数选定初值和比例系数r的值后，由方程就能生成一的值后，由方程就能生成一个数列：个数列：nxxx,21 考察迭代格式考察迭代格式(Logistic方程方程 )1(1nnnxrxx 初值初值1 . 00 x1. 当参数当参数r取值分别为取值分别为1.2，2.5，3.2，3.5，3.8考察其迭代序列的收敛情况考察其迭代序列的收敛情况clc;clf;x=0.1; y= ;r=1.2; % %改变取值得到相应的图形

8、改变取值得到相应的图形hold onaxis(0 100 0 1)for i=1:100 x=r*x*(1-x);y=y,x; plot(i,x,k.,markersize,10) fprintf(x(%d)=%.10fn,i,x);endt=1:100;plot(t,y,k-);grid程序程序2 . 1r3r5 . 3r55. 3r58. 3r8 . 3r00.511.522.533.5400.10.20.30.40.50.60.70.80.91r=0r=0.3r=0.6 r=0.9r=1.2r=1.5r=1.8r=2.1r=2.4r=2.7r=3r=3.3r=3.6r=3.9参 数 r迭

9、 代 序 列 x2. 将参数将参数r取取0，0.3，0.6，0.9，1.2，3.9的迭代序列的迭代序列收敛情况放置到同一坐标系中观察其变化收敛情况放置到同一坐标系中观察其变化clear;clf;hold onaxis(0,4,0,1);gridfor r=0:0.3:3.9 x=0.1; for i=2:150 x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1); end pause for i=101:150 plot(r,x(i),k.); end text(r-0.1,max(x(101:150)+0.05,itr=,num2str(r)end程序程序3.现在对取值在现在对取值在2.72.7

10、到到3.93.9之间进行加密迭代并作图，之间进行加密迭代并作图， 取步长为取步长为0.0050.005时时 参数参数r的微小变化引起结果巨大的变化的微小变化引起结果巨大的变化clear;clf;hold onaxis(2.7,4,0,1);gridfor r=2.7:0.005:3.9 x=0.1; for i=2:150 x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1); end pause(0.1) fprintf(r=%.3fn,r) for i=101:150 plot(r,x(i),k.); endend程序程序请同学们再次加密请同学们再次加密r取值进行实验，回答取值进行实验，回答下面

11、问题下面问题n（）是否由支分叉为支，并依次类（）是否由支分叉为支，并依次类推呢？推呢？n（）这些分叉点处（）这些分叉点处r的取值，是否有规律？的取值，是否有规律？混沌现象混沌现象n混沌混沌（译自英文（译自英文Chaos）的原意是指无序和混乱）的原意是指无序和混乱的状态。这些表面上看起来无规律、不可预测的的状态。这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。现象，实际上有它自己的规律。n 混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。处理和应用。n 60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物

12、理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。 什么是混沌呢？什么是混沌呢？ 什么是混沌呢？什么是混沌呢？ n科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。不可预测，这就是混沌现象。n进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特进一

13、步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为线性系统，而线性系统大多论能够充美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的！际工程技术问题中，混沌是无处不在的！ 混沌的特征混沌的特征 1.差之毫厘，失之千里、牵一发而动全身。差之毫厘，失之千里、牵一发而动全身。n一个小小初始条件的差异可以严重影响系统一个小小初始条件的差异可以严重影响系统长期的大变化。长期的大变化。 n2.对初始条件

14、的敏感性。对初始条件的敏感性。n对原本西方的科学基本理念来说，如果你对原本西方的科学基本理念来说，如果你正在计算台面上的一颗撞球，就不用去理会正在计算台面上的一颗撞球，就不用去理会室外一片树叶的掉落。很轻微的影响可以被室外一片树叶的掉落。很轻微的影响可以被忽略，事物进行总会殊途同归，任意的小干忽略，事物进行总会殊途同归，任意的小干扰，并不致于膨胀到任意大的后果。扰，并不致于膨胀到任意大的后果。n 1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期长期天气预报天气预报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。他原本的意图

15、是利用计算机的高速运算天气的演变。他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高技期天气预报的准确性。但是，事与愿违，多来提高技期天气预报的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计算次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计算结果的很大不同。结果的很大不同。 n 由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，输入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的输入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重

16、大影响，被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重大影响，导致错误的结论。由此，洛伦兹认定，尽管拥有高速导致错误的结论。由此，洛伦兹认定，尽管拥有高速计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压等），计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压等），也难以获得准确的长期天气预报。也难以获得准确的长期天气预报。 蝴蝶效应蝴蝶效应 n 19791979年年1212月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给

17、人们留下了极其深刻的印象。从的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓此以后，所谓“蝴蝶效应蝴蝶效应”之说就不胫而走，名之说就不胫而走，名声远扬了。声远扬了。 从科学的角度来看，从科学的角度来看，“蝴蝶效应蝴蝶效应”反映了混沌反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。件的敏感依赖性。 n 经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌对未来状态所造成的差别也

18、是很微小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。 一则西方寓言：一则西方寓言：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；折了一匹战马，伤了一位骑士；输了一场战斗，亡了一个帝国。输了一场战斗，亡了一个帝国。 伤了一位骑士，输了一场战斗；伤了一位骑士，输了一场战斗； 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其十分微小的变化，但其“长期长期”效应却是一个帝效应却是一个帝国存与亡的根本差别。国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应蝴蝶效应”。本