矩阵33（知识讲座）.docx

1、§9.矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的假设干矩 阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特 殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征 值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算 方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带 来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和 应用价值。这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解 及特殊矩阵的分解等。一、矩阵的三角分解一一是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。将一个矩阵分解为酉矩阵或正交矩阵

2、）与一个三角矩阵的乘积或者 三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来 极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的 三角分解。定义 1 如果劣均为正实数，=/ = 1 + 10+ 2,则上三角矩阵01 a2仅 In'0R = 0。a g称为正线上三角复（实）矩阵，特别当 = l（i = l,2,时，R称为单位上三角复实）矩阵。a _l、（a）_ i2 i）_ a -4代S） 4（4 -2） _ j_I 2 ）因此，A = 4 4 + 几 4 = 34 A，22.正规矩阵及其分解引理1设A是正规矩阵，A与8酉相似，则3也是正规矩阵。引理2设A

3、e Cnxn ,则存在酉矩阵，使得A = URUh其中R是一个上三角矩阵且主对角线上的元素为A的特征值。引理3设A是三角矩阵，则A是正规矩阵o A是对角矩阵。定理4 n阶复矩阵A是正规矩阵。A与对角矩阵酉相似,即存在阶酉矩阵U,使得：A = diagU-；An）UH其中W，4，4是A的个特征值。下面给出正规矩阵的谱分解定理。定理5设A e Cnxn ,它有左个相异特征值九。=1,2,A）,则A是正规矩阵存在A个矩阵4.0 = 1,2,.,幻使其满足：A. j = i, AA=C （P = l，2，,A）；o m以 = %i=ik A = Z&H ； A，=Aj（i = l,2,.,A）

4、。其中& =竺斗。=1，2, 顷）,代以）=（人-劣） 0（人）打3.与Jordan标准形相似的矩阵的分解定理6设A g Cnxn ,则A可分解为a = ZM + W，i=l其中阶矩阵司,耳（1 = 1,2,.A）满足：A i = i M=；.'（i，j = l，2, ，k）；O joi, BjBj=O（i。j）；以=%i=k3） A =；i=四、Hermite矩阵及其分解设杜 C"“令 3 = A + 胪,c = ,贝lj A=B+C：22其中B Hermit矩阵即8 =腊）实；C为反Hermit矩阵即C =）虚。定理1每个住 L"可以唯一地分解成A =

5、B + iD其中B,De Cnx,t均为Hermit矩阵。7E.乂 2 如果 tz/7(z = 1,2,/?)均为正头数，e C(R)(i > /,i =-1;J = 1 + 1,1 +2,.),则下三角矩阵&0 0、L= «21%2°a,2,* ann)称为正线下三角复(实)矩阵，特别当 = 1(7 = 1,2,时，"尔为单位下三 角复实)矩阵。定理1设AeC,7,则A可唯一地分解为A = U,R其中是酉矩阵，R是正线上三角复矩阵；或者A可唯一地分解为a = lu2其中s是酉矩阵，乙是正线下三角复矩阵。推论1设AeRT，则4可唯一地分解为其中0是正

6、交矩阵，R是正线上三角实矩阵；或者4可唯一地分解为a = lq2其中0是正交矩阵，L是正线下三角实矩阵。推论2设A是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵使得A = RrR推论3设A是正定Hermite矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R , 使得a = rtr定理2设AeC；7,用乙表示下三角复矩阵，表示单位下三角复矩阵，R表示上三角复矩阵，R'表示单位上三角复矩阵，。表示对角矩阵，则以下 命题等价:(1) A的各阶顺序主子式“ll a2* akCl-,.k=：:.:壬0(A = l,2,)； <ak ak2 ,* akk >2) A可唯一地分解为4 = ER*,并

7、且乙的主对角线上元素不为零；3) A可唯一地分解为4 =右。必，并且O的主对角线上元素不为零；4) A可唯一地分解为A = R,并且R的主对角线上元素不为零；说明：假设A是阶满秩实方阵，则对于实矩阵L、I：、R、R 定理2仍然成立。1 4-7、4=130,求A的三角分解。、0 2-Lq 4 -7、(14-7、4-7、Cl4-7、解.由1-300-7701-1<02-U<02-b<02-bT 0 1 -1 =R*4-7、<100、4-7、所以4 =1 -30=1 -70X01-1<02-b2b<00阶方阵的三角分解对求解非其次线性方程组非常方便。比方，设方程组

8、=系数矩阵人有三角分解式A = LR,则有LRx = b,于是令Rx = y9有Ly = bVRx = y.先求第一个方程组中的未知向量y,然后将j代入第二个方程组再求解xo 由于它们都是以三角矩阵为系数矩阵的方程组，所以很容易求出方程组的 解，并且易于利用电脑求解。例2用三角分解求解方程组：2X + x2 -5x3 + x4 =8x -3x2一6心=92x2 - x3 + 2x4 = 5X +4x2 -7x3 + 6心=8解：系数矩阵可以分解为2 11 o 1一一A2 11 o 1一一AO 7 2 2 7-21 一 213一 7-41 5-2 5-7 ) 一 _ 1 O1 - 2 1 o O

9、o o Oo o O代入上面的新方程组中的第一式可得：4,510T-5,1 ,再将此结果/代入新方程组中的第二式可得：x =(3,-4,-l,l)r,此即所求方程的解。二、任意矩阵的三角分解前面讨论的矩阵分解仅仅是对阶方阵的三角分解，而且所分解的矩阵 是可逆矩阵，下面我们将以上的矩阵分解进行推广，即讨论任意矩阵的三 角分解。定义3设A是mxn阶复实）矩阵，如果rankA = m，则称A是行 满秩矩阵，记为（欧）；如果rankA = n，则称4是列满秩矩阵, 记为 AeC；xw（CXW）<>定理3当4是行满秩或列满秩复矩阵时，有1）假设A e Cn,则存在m阶正线下三角复矩阵

10、3;和阶酉矩阵U,使得A = （LO）U（2）假设A f，则存在勿阶酉矩阵17和阶正线上三角复矩阵 R，使得A = U注：该定理说明了行（列）满秩矩阵能分解为一个酉矩阵与一个长（高） 三角矩阵的乘积。下面我们进一步给出行（列）满秩矩阵能分解为一个正 线三角矩阵与一个长（高）酉矩阵的乘积。记1/丁表示以个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合， 17,： 表示"个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。定理4 （1）假设A e C；XH,则A可唯一地分解为A = LU其中匕是0阶正线下三角矩阵，U e Un o 假设A e C；XM,则4可唯一地分解为A = UR其中U e , R是阶

11、正线上三角矩阵。说明：当A是行满秩或列满秩实矩阵时，亦有类似于定理3和定理4 的结论。当4既不是行满秩矩阵，也不是列满秩矩阵时，则有定理5设A e ,则存在酉矩阵U e Cmxm . V g Cnxn及r阶正线 下三角矩阵乙，使得(L 0A = U V0)推论4设A e C；nxw,则存在酉矩阵U e Cmx,n > V e C,lxn及,阶正线上 三角矩阵R,使得A = U V(。o)三、矩阵的谱分解在线性代数中，己经讨论了一个方阵的特征值和特征向量的问题，己 经发现特征值有着非常重要的作用。由于相似矩阵有相同的特征值，因而 人们总希望在相似矩阵中找到结构最简单的矩阵，这就是对角矩阵或

12、Jordan 标准形矩阵。下而我们将根据矩阵的特征值，进一步寻求利用简单矩阵来 表示已知的矩阵，即讨论矩阵的谱分解。定义1假设矩阵A的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称矩阵A为单纯矩阵。注意到“属于每个特征值的线性无关的特征向量合起来也是线性无关 的”这一事实，则可知如下定理是成立的。定理1 A是单纯矩阵<=> A与对角矩阵相似。下面给出单纯矩阵的谱分解定理。定理2设A e CHxn是单纯矩阵，则A可分解为一系列幕等矩阵 = 1,2,)的加权和，艮IJA =，(3.1)i=l其中= 1,2,)是A的特征值。定理2中的分解式称为A的谱分解，分解式中的矩阵4具有如下的性 质：

13、1)幕等性：=凡；别离性：A.A.=O (/")；可加性：<=1由这些性质容易得出：疽=£妒凡i=i冒=£心(，=2,3,.)。<=1当/X4)是A的多项式或是A的解析函数时，容易得到：«=i称上式为矩阵函数/(A)的谱分解。例3求A2 + A + E的谱分解。解：由 C 式A2 + A + E = （Ai.2+/lf.+l）A.i=l假设设 fW = AI-A = / +. + an由 HamiltonCaylay 定理可知：An +«! AH 1 HF an_x A + anE = 0,（）则有：AM=-（«,Aw-&

14、#39;+A+ «hE）由此可知，对任意的mn-l, 4'"都是矩阵E,A,A'i的线性组合。 同时由（）式，当。0时，可知A可逆，且A的逆矩阵为A 1 =（1 + q A 2 + + %_ E）an一由（）式容易求得4一|的谱分解为14一' =£（人广'+4"一2 +. + %_）Aj。（3.4）ttn i=X把一个单纯矩阵A分解为一系列幕等矩阵40 = 1,2, ,）的加权和， 无论从代数上，还是从几何上进行研究，都有它的方便之处。特别对于（3.2） 和3.4）的分解，在自动控制中有许多应用。更一般地，单纯矩阵的谱分 解定理为：定理3设A e Cnxn ,它有士个相异特征值人« = 1,2,.5）,则A是单 纯矩阵=存在士个矩阵4" = 1,2,.,局满足：1)以.=凡;i=a=°i=l其中=勺。(PiW；=f值得注意的是定理中的条件（1）中的矩阵43 = 1,2,