2016年全国高中数学优质课2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计(人教A版必修4)

1、平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计三门峡市第一高级中学张伟强一、内容和内容分析1 .内容平面向量数量积的物理背景及其含义2 .内容分析本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念、几何意 义、性质和运算律；第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课首先通过一段“大力士”拉汽车的精彩视频抽象出物理中“功”的事 例，之后抛开物理背景，将 F，s这两个物理中的矢量，推广到数学中一般的非零 向量，从而得到数学中平面向量数量积的概念， 体现了有特殊到一般的数学思想， 同时培养学生的抽象概括能力；然后从“形”的角度引入“投影”探究数量积的 几何意义，使学生加深对数量积概

2、念的理解，同时体现了数形结合的数学思想；“数 量积”和“投影”均为数量，对其正、负、零的讨论过程，体现了分类讨论的数 学思想；然后又通过类比实数乘法的运算律研究了数量积的运算律，体现“类比” 的数学思想。本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性 运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续， 又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起 到了承上启下的作用。平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中 功的概念抽象而来的，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是数形结合方法的典范。 这些都使得数量积的概念成为本节课的核

3、心概念，自然也是本节课教学的重点。二、目标与目标解析1 .目标(1)了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系， 掌握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；(3)体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能2目标分析普通高中数学课程标准对本节课的要求有以下三条：（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本

4、节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。三、教学问题诊断分析学生在这之前的物理课已经认识了矢量和功，数学课系统地学习了向量定义、向量的线性运算，具备了一定能力去进行深入的研究。功的计算为平面向量数量积引入提供很好的背景，但对两个有形有数的向量经过数量积运算

5、后，形却消失了成为一个数，学生对这一点是较难接受的。由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积、性质和运算律的理解上的偏差。从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高，本节课还要初步体会研究向量运算的一般方法；即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律及运用，这种知识的整合提升对学生来说恰又是比较困难的。因而本节课教学的难点是：平面向量的数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的要求，为了直观、形象地突出重点，突破难点，利用视频、动态演示，展示平面向量数量积的

6、物理背景，探究性质、几何意义以及运算律。五、教学过程分析（一）知识链接1.已经学习了哪几种向量运算?向量运算数学符号运算结果2.两个非零向量与的夹角如何定义？其取值范围是多少？【设计意图】 通过知识链接的问题让学生复习回顾向量运算，两个非零向量 与的夹角，为平面向量数量积的学习奠定基础。（二）创设情境多媒体播放中国大力士公开赛，中国选手的参赛视频，之后动态演示他的比 赛过程，从中抽象出数量积的物理背景。问题1、大力士拉车，沿着绳子方向上的力为，车移动的位移是，力和位移的夹角为，大力士所做的功为多少？学生根据所学物理知识容易得到：w = |F|S|cose问题2、决定功大小的量有哪几个？问题3、

7、力、位移及其夹角分别是矢量还是标量？功是向量还是数量？教师：明确物理中的矢量就是数学中的向量，物理中的标量就是数学中的数 量。【设计意图】 从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量 积的物理背景，激发学生的学习热情，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。（三）探究定义师：物理中的F和S是两个向量，用两个一般的非零向量和来替换 F和S, 其夹角不变，则亚=| F |S |cosB =|a | b | cose。在数学中称| a |b | cos日为非零向 量和的数量积，记作：a b = | a | b | cos日，从而得到平面向量数量积的定义：已知两个非零向量和，我们把| a |b

8、 | cos日叫做和的数量积（或内积），记作a七, 即5 b =苗|b| cose ,其中夹角是与的夹角。规定：零向量与任一向量的数量积为 0.学生活动：齐声读定义，并体会定义的要点定义要点：(1)与是非零向量;(2)是数量积的运算符号，不能省略也不能用“”代替；(3)数量积的结果为数量。问题4：由数量积的定义a，b=iaiib|cos9可知，决定数量积大小的量有哪 些？问题5:数量积的结果为数量，数量积的正、负、零有谁决定？日=0_ ji0 8 一2e =- 2JT一 8 0O日为直角| b | cos 0 =。| A | COS fl 0,则与的夹角为锐角；()(4)若 a ,c = b

9、c(c #0 ),则 a = b。()2、在等腰 AABC 中，AB = AC, BC = 4 , WJ BA，前=。3、已知|a|=6,向=4,与的夹角8=60 求|a-b|。【设计意图】 通过巩固练习，使学生对数量积的定义、性质、几何意义以及 运算律的理解更加深刻，形成系统的知识体系；同时培养了运用知识解决问题的 能力。(九)课堂小结今天你学到了什么？学生自主完成归纳小结，教师加以补充完善，同时形成本节课的知识结构图， 并完成思想方法的小结归纳。1 .平面向量数量积的定义： a b = |a |b |cos8 (a # 0,b# 0)2 .平面向量数量积的性质： b-(1)垂直 a，bu a b=0；(2)长度 |2|=/兀=/7；(3)夹角85日=-a2,|a|b|3 .平面向量数量积的几何意义：数量积a b等于的长度值|与在方向上的投影| b | cos 6的乘积。4 .平面向量数量积的运算律(类比)：(1)交换律：a b = b .a； (2)结合律: (九a) b = a Qb)=九Q b); (3)分配律：(a +b) c = a c+ b c。【设计意图】 通过学生对本节所学知识、思想方法进行提炼、反思，加深对 知识、方法的理解，形成系统的知识网络，并培养学生良好的学习