《微积分初步》形成性考核册题解秋

1、1 / 25微积分初步形成性考核作业题解作业(一)- 函数，极限和连续一、填空题(每小题 2 2 分，共 2020 分)11 1 函数f(x)的定义域是.In (x_2)答案：2,3)(3,：)对于ln( x -2)，要求x - 20，即x 2；2 2函数f(X)二1一的定义域是.驚5 x对于ln( x 2)，要求x 20，即x -2；2 2对于.4 - x，要求4-x -0，即 卩x-2且X-2；1提示：对于1，要求分母不能为 0 0，即5 - x = 0，也就是x = 5;U5 - x对于5 -x，要求5-X0，即x5；1所以函数f(x)：-的定义域是(-5)亍5 x提示：对于，要求分母不

2、能为In (x-2)0 0，即In(x - 2) = 0，也就是x = 3;所以函数f(x)=1In(x - 2)的定义域是2,3)(3,：)答案：(-2,-1) (-1,20 0，即ln(x 2p- 0，也就是x= -1；ln(x 2)1 23函数f(x“yX的定义域是提示：对于，要求分母不能为2 / 25所以函数f(x) = . .16 6 函数f(x-1) =X2-2x，则f(x)二.答案：X2-1提示：因为f(x-1) = X2-2x = (x-1)2-17 7函数J心-3的间断点是.答案：X = -1提示：若f (x)在x0有下列三种情况之一，则f (x)在X。间断：在xo无定义；在

3、X0极限不存在；在X。处有定义，且lim f (x)存在，XX0但limX0f(X)= f (x0)。题中在x。= -1处无定义，- .18 8 lim-xsi n=x1 1答案:提示:1lim xsinlimX IX1)0X1sin x=119 9 若答案:sin4xlim2，则x0sin kx2 2提示:sin 4xsin 4x , 4x因为limlim (-t sin kx t sin kx kxkx10若1皿詈=2，则k乞答案：1.1.5 54 4 .函数f (X -1) = X2-2x 7，则f(x)二.答案：x2- 6提示：因为f (x -1) = X-2x 7 = (x -1)2

4、6，所以f(x) = x26答案：2r 2 ,.x +2xex0，则f (0)-x 0提示：因为当x=0是在x乞0区间，应选择x2进行计算，即f(0) =02 2 = 2In(x 2)所以f (x) =x2_13 / 25sin3x提示：因为lim逖=lim3x = ? = 2，所以k = 1.5xPkxx 0kxk二、单项选择题(每小题 2 2 分，共 2424 分)e+ex1 1 .设函数y，则该函数是().2A A 奇函数 B B 偶函数C C.非奇非偶函数 D D 既奇又偶函数答案：B B提示：奇函数是指f (_x) =-f(x)，关于坐标原点对称；偶函数是指f(-x) = f(x)，

5、关于x轴对2 2 .设函数y =x2sinx，则该函数是().A A 奇函数 B B 偶函数C C.非奇非偶函数 D D 既奇又偶函数答案：A A提示：因为f (_x) = (-x)2sin(-x)二x2(-sinx)二-x2sinx二-f (x)，所以x轴 C C.y轴 D D .坐标原点答案：D D图形是关于坐标原点对称4 4 下列函数中为奇函数是(无).B B.ln xC.In：x2)D D .x x2提示：A.A.f(-x)二-xsi n( -x) =-x(-si n x)二xsi nx, ,即xsin x是偶函数;B.B.ln x的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；C C

6、.In (x ，x2)的图形只在一、四象限，既非奇函数，也非偶函数；数。3 3 .函数f (x) = x2 的图形是关于()对称.2提示：因为f (-X)x( - x)xx2 2 2 2二xx2 2二-f(x)，是 奇函数，所以f(x)二xx2 2x的2称。题中f(-x) =e2_x e-f(x)，所以函数是偶函数。sin x是奇函A A.xsin xx4/ 25D D .f (-X)- -X (-X)2- -X X2，既非奇函数，也非偶函数。5 / 25所以本题没有一个待选答案是奇函数15 5函数yIn（x 5）的定义域为（）.x +4A A X I、一5B B X = -4C C X亏 一

7、5且X = 0D D x、一5且X _：-4答案：D D1提示：对于，要求分母不能为0 0 ,即x =一4；对于In（X 5），要求X 5 . 0,即x .一5。x +41所以函数yIn（x 5）的定义域为x -5且x = -4x +4A A (1,：)B B (0,1)(1,二)C C (0,2)一(2,：) D D (1,2)一(2,：)答案：D D&下列各函数对中，A A f（X）= （、X）2,g（x） = 21n x()中的两个函数相等g(x)=xBD Df(x) = In x3 2,2sin xA A -B XXf (x) = x2,g(x)g(x) = 3In x6 6函

8、数f (x)1ln(x -1)的定义域是（提示：对于，要求分母不能为In（x -1）0 0，即x = 2；对于In(x -1)，要求x -1 0,即x . 1。所以函数f(x)=1ln(x -1)的定义域是（1,2）（2,： ：x6/ 25答案：D D提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中,不同；C C 定义域不同；D D 对应的规则相同，定义域相同9 9当X 0时，下列变量中为无穷小量的是（）答案：C CC C ln(1 x)Dx2A A 定义域不同；B B 对应的规则7 / 25提示：以 0 0 为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当x 0时，A A 趋向 a；

9、 B B 的极限为 1 1; C C 的极限为 0 0;D D 趋向 a。A A. 0 0 B B. 1 1 C C.2D D . -1-1答案：B B答案：D Df(x)在x0连续。因为lim f(xlim(eX23答案：A Af (x)在X。间断：在x0无定义；在X。极限不存提示：当lim f (x) = f (x0)时，称函数XX0f (X)在Xo连续。 因为lim f (x)二lim (X屮02X 1)=1=f (0) = k，所以当k=1时，函数f (x) = X 1, Xk, x，在x = 0处连续=01111.当 k k = =()时,函数f (x) = 2,k,x = 0在x

10、= 0处连续. .x = 0;在X0处有定义，且lim f(x)X0存在，但lim f(x)= f(x0)。题中，分母X0-3x 2二(x -1)(x -2)，所以在x0=1和x0二2处无定义三、解答题(每小题 7 7 分，共 5656 分)2_ x x2(x+1)(x2)解lim2= =lim(X l)(X 2)x迄x -4x)2(x 2)(x 2)=匹3= =limx241010.当 k k = =()时，函数f (x)x2+1,k,提示：当lim f(x) = f(x0)时，称函数X0=f(0)= k，所以当k =3时，函数f (x) = *2,k,X* 0，在x二0处连续x = 012

11、12.函数f (x)口2Xj2的间断点是()x -3x 2x =1,x =2,x = 3D D 无间断点提示：若f (x)在x0有下列三种情况之一，则x 0 x 4 - 28/ 25= lim(X心)x 1(x 1)(x-1)X2一9x2-2x -34xsin4x( x 42)x + 5x _62 2.计算极限limx2-1解lim X一9x 3x2-2x -(x 3)(x-3)(x 1)(x-3)4 4.计算极限2x 6x +8lim厂x询x -5x 4菖J = lim(x4)(x-2)-5x 4x(x -4)(x-1)5 5.计算极限2x 6x+8limxx -5x 6m2H X解-6x

12、+8 |im(x -4)(x -2)-5x+6 一(x-3)(x-2)=26 6计算极限limxifi解lim -x-1xT x= lim(d-x-1)(d-x 1)x )0 x( ”1 -x 1)=limx 0Xx(、1 -x 1)=limx)0, 1-1-x 17 7.计算极限limX、1 - x -1sin 4x 1 -X -1sin4x(1 - x 1)( .1 - x -1)(1 - x 1)s in4x-x(J - x 1)sin4x4(.1 - x 1)sin4x= lim()1x04(、1 -x 1)_1sin4x4x8计算极限xm0sin 4xx25x 6x2-1= lim口

13、x 1x 1sin4x lim-二limx 0 x 4 - 29/ 25Cx 4 -2)C、x 4 2)1 1 函数y=(x，1)在区间(-2,2)是()10 / 25作业(二)- 导数、微分及应用、填空题(每小题 2 2 分，共 2020 分)1 1.曲线f (x) = , x 1在(1,2)点的斜率是.答案：12提示：若已知曲线方程y = f(x),则它在任一点x处的斜率为k = f (x)。题中一1 1f (x)=.x 1)：，将x =1代入上式，得f(X)二2仮22 2曲线f(x)=ex在(0,1)点的切线方程是.答案：y - x = 1提示：若已知曲线方程y二f(x)，则它在任一点x

14、处的斜率为k二f (x)。若给定曲线上的一点(x,y。)，则通过该点的切线方程为二k。题中f(x)二(ex/ =ex，将x二0代入上式，得X X。k = f (x)二e=1，所以通过点(0,1)(0,1)切线方程为 口 =1，即y - x =1 x13.曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程是.答案：2y x=3提示：若已知曲线方程y二f(x)，则它在任一点x处的斜率为k二f (x)。若给定曲线上的一点y y01 (x,y)，则通过该点的切线方程为0二k。题中(x)=(x2)；x2，将x = 1代入上式，得x - Xo2k二f (x) = -1，所以通过点(0,1)(0,1)切线方程为止辽二-

15、丄，即2y x =32x-124. (2.-答案：2xln22”x_i 2xln2提示：根据复合函数求导法则计算。(2x)丄2xln 2C x)=2xln21 =222丘2px5 5 若 y y = = x x (x(x -1)(x1)(x -2)(x-2)(x -3)-3)，则y(0)=(0)=.sin 4x( . x 42)xsin 4x4x ( . x 42) = 4 1 4 = 1611 / 25答案：-6提示：根据有限多个函数的乘积的求导法则(见P45P45),y =x (x - 1)(x - 2)(x - 3) x(x -1) (x - 2)(x - 3) x(x - 1)(x -

16、 2) (x - 3)+ +x(x -1)(x -2)(x -3)y = (x -1)(x -2)(x-3) x(x -2)(x -3) x(x -1)(x -3) x(x_1)(x _2)y(0)十1)(-2)(-3) = -66 6已知f (x) =x33x，则f (3)= = 答案：27(1 l n3)提示：f(x)=(x3)(3)=3x23x| n3f (3) =3 32331n3 =27(1 In3)7 7 .已知f (x) = In x，贝U f (x)= = 1答案：2x一111提示：f (x) = (In x),f (x) = ( )2xx x&若f (x)二xe,则f

17、 (0)=.答案：- 29 9 函数y = 3(x -1)2的单调增加区间是.答案：(1,：)1010.函数f(x)二ax21在区间(0, 二)内单调增加，则 a a 应满足.答案：提示；当(x)0时，函数f (x)单调增加。 题中，f (x) = (ax2 1)2ax 0,所以 函数f(x)二ax21在区间(0, ：)内单调增加，a a 应满足a 0。二、单项选择题(每小题2 2 分，共 2424 分)21 1 函数y=(x，1)在区间(-2,2)是()12 / 25A A .单调增加B B .单调减少C C.先增后减 D D .先减后增答案：D D提示： 当f (x) . 0时，函数f(x

18、)单调增加当f (x)：0时，函数f(x)单调减少。题中,yJ2(x1)，令yO，得驻点x = -1。当-2：x：-1时，/ :：:0,函数单调减少；当-1：x：2时，.0，函数单调增加。所以函数y=(x1)2在区间(_2,2)是先减后增。2 2 .满足方程f (x) = 0的点一定是函数y = f(x)的() A A .极值点B B .最值点 C C.驻点D D .间断点答案：C C提示：使f (x) =0的点，成为函数f(x)的驻点(P69P69 定理 3.23.2)3 3.若f (x) =ecosx，贝U f (0)= =().A.A. 2 2B.B. 1 1 C.-C.- 1 1D.D

19、.答案：C C提示：f (x) =(e) cosx e(cosx) - -e cosx _esinxf (0) =-e0cosO -e0sin0=-1 1-1 0 =-14 4.设y =lg2 x，则dy =()11In101A A .dxB B.dxC C.dxD D .一dx2xxln 10 xx答案：B B5 5.设y = f (x)是可微函数，则df(cos2x)=(A A .2 f (cos2x)dxB B.f (cos2x)sin2xd2xC C.2 f (cos2x)sin 2xdxD D .- f (cos2x)sin2xd2x答案：d d提示：f(cos2x) = f(cos

20、2x)(cos2x)二f(cos2x)( sin2x)(2x)提示:12xl n10*(2x)12xl n10*21xln 1013 / 25=-f (cos2x)(sin 2x)2df(cos2x)二-f(cos2x)(sin 2x)2dx二-f(cos2x)(in2x)d2x14/ 256 6.曲线y=e2x1在x=2处切线的斜率是().424A A .eB B.eC C.2eD D.2答案：C C提示：若已知曲线方程y二f (x)，则它在任一点x处的斜率为k二f (x)。f (x)二(e2x)-e2x(2xT -2e2x，将x = 2代入上式得f (2) = 2e2 2= 2e47 7.

21、若f(X)=XCOSX，贝Uf(X)=().A A.cosx xsinxB B .cosx-xsinxC C.-2sinx-xcosxD D.2sinx xcosx答案：C C提示：f (x)二(xcosx)二x cosx x(cosx)二cosxxsin xf (x) = (cosx)-(xs in x)二s in x(xsi nx)x(si nx)二s in x-si nxxcos二-2sin xx cosx3&若f(x)=sin x a，其中a是常数，则f (x)=().2A A.cosx 3aB B.sin x 6ac c.-sinxD D.cosx答案：C C提示：f (x)

22、 = (sin x)(a3) = cosx,f (x) = (cosx) - - sin x9 9 .下列结论中()不正确.A A .f (x)在x=x0处连续，则一定在x0处可微. .B B .f (x)在x=x0处不连续，则一定在x0处不可导. .C C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上 D D .若f (x)在a a, b b内恒有f (x)：0，则在a a, b b内函数是单调下降的 答案：C C提示：极大值可能出现在：驻点(驻点是f (x) =0的点)；f (x)连续但导数不存在的点。1010 .若函数 f f (x)(x)在点 x xo处可导，则()()是错误的.A A.函数 f

23、 f (x)(x)在点 x xo处有定义B B .lim f (x)二A，但f (x0)xJxoC C .函数 f f (x)(x)在点 X X0处连续D D.函数 f f (x)(x)在点 x x0处可微5 5.15/ 25答案：B B5 5.16/ 25提示：若函数f(x)在点x0可导，则它在点x0一定连续(P83P83 定理 2.52.5 )。lim f(x)二A，但xoA=f(Xo)即f (x)在点Xo不连续。1111.下列函数在指定区间(-:,亠)上单调减少的是()A A .答案：x2sinxBsinxB . e e C C. x x D D. 3 3B B提示：D D 是周期函数；

24、B B 是单调增函数；C C 是偶函数，先减后增；D D 是单调减函数12.12.下列结论正确的有()A A . x xo是 f f (x)(x)的极值点，且f(x(xo) )存在，则必有f(x(xo) ) = = 0 0B.B. x xo是 f f (x)(x)的极值点，贝Ux xo必是 f f (x)(x)的驻点C.C. 若f(x(xo) ) = = O O,则 x xo必是 f f (x)(x)的极值点D D .使f (x)不存在的点 x xo, 定是 f f (x)(x)的极值点答案：A A提示：A A 正确；B B 不正确，因为驻点不一定是极值点;定是极值点；D D 不正确，因为极大

25、值可能出现在：驻点和三、解答题(每小题 7 7 分，共 5656 分)1.设y二3，求y.2x+313 3.设y= =e exsin2x，求 dy.dy.1 - (-)+cos2x (2x)=-exx解y=(cos Jx +2x) = (cos Jx)+(2x)=sin Jx(、x) 2xln2二sin G12x2xIn 24 4.求 dy.dy.3yF= (X(X)，+ (In cosx)，= ( x2sin xcosx21 x设y =sin(x1)，求有C C 不正确，f(x(xo) ) = = O O 就是驻点，驻点不一f (x)连续但导数不存在的点。解yN3)2x +3(3x 2)(2

26、x 3) -(3x 2)(2 x 3)(2x+3)23(2 x 3) -2(3 x 2)(2x 3)25(2x 3)2122 cos2xx17/ 25_、11X (1 _ x)一=2x cos(x21)2xx6 6.设y二y(x)是由方程x2y2-xy = 4确定的隐函数，求dy.解对方程两边求导，得2x 2yy -(y xy ) =0 (2y _x)y = y _2xy - 2x2y - xdx2y -x7 7设y = y(x)是由方程ex- xey- x2=4确定的隐函数，求dy.解对方程两边求导，得ex- (eyxeyy) 2x = 0 xeyy二_(ex2x)xe 2xxexey&am

27、p;设 y=y(x)y=y(x)是由方程cos(x y) e=1确定的隐函数，求dy.解对方程两边求导，得-sin(x y)(1 y) eyy = 0ey_sin(x y)y二sin(x y)sin(x y)ey-sin(xy)d八yQ no Vi dX eys in (x + y)2y、=sin( x1)1 -x2、=sin(x 1)、(2 2二cos(x 1) (x 1)(1 x) x (1 x) C.x)xdy二ex2xdx= 2xcos(x21)一丄*1-x)x18/ 25作业(三)- 不定积分，极值应用问题一、填空题(每小题 2 2 分，共 2020 分)1 1.若f (x)的一个原

28、函数为In x2，贝U f(x)二。2答案： (c为任意常数)x提示：参见教材 P90P90,根据定义 4.14.1，若F (x) = f(x)，则称F(x)为f (x)的原函数，根据题意，对22121 2 In x2求导的结果就是f(x)，即f(x)=(lnx2)2*(x2)2*2x =-xxx2 x2 2 若f(x)的一个原函数为x-e，则f (x)二。答案：1 2ex提示：参见教材 P90P90，根据定义 4.14.1，若F (x)二f(x)，则称F(x)为f (x)的原函数，根据题意，对x -ex求导的结果就是f (x)，即f (x) =(x-ex)1 2ex，所以f (x) = 4e

29、，x3 3 .若f (x)dx二xex c，则f (x)二.答案:xxe xe提示：f (x)二(xexc)二exxex验算:x(exxe )dx二exdx亠ixexdx二exxex- exdxX丄Xx丄x二exe -e c二xe c4 4 .若f (x)dx二sin 2x c，则f (x).答案:2cosx提示：f (x)二(sin 2x c)二2cos2x验算:2cos2xdx二cos2xd(2x) =sin 2x c5 5若f (x)dx =xln x c，贝y f (x)二.答案:x提示：f1f (x) = (xln x c) = ln x xln x 1x19/ 251f (x) =

30、 (In x 1)x6.6. 若f (x)dx二cos2x c，贝U f (x)二.答案：-4co n2x提示：f (x) = (cos2x c) = -2 sin 2xf (x) =(_2sin 2x) - -4cos2x27.7.d e dx =._x2答案：e dx2 2的原函数，对原函数edx求导就等于被积函数e2e dx求微分就等于被积函数2 2的微分e dx答案：sin x c提示：(sin x)dx = co9 9.若f (x)dx二F(x)答案：1F(2x -3) c2提示：1f (2x -3)dx二一21010 .若f (x)dx =F(x)答案：12-F(1 -x2)(2提

31、示：xf (1 _x2)dx二8 8.(sin x) dx =.c,则f (2x -3)dx二.1 1f (2x _3)d(2x _3)f (u)du F(u) c二2c，则xf (1 - x2)dx二.12F(2xTc12 22 f(1 -x2)d(1-x2)二-丄f(u)du F(u) c2 212F (1 - x ) c2二、单项选择题(每小题2 2 分，共 1616 分)1 1.下列等式成立的是(-JA A. 一f(x)dx二f (x)B B .dx).f (x)dx二f(x)C C.d . f(x)dx二f (x)D D .df (x)二f (x)答案：A A提示：对原函数.f(x)

32、dx求导等于被积函数本身提示:，所以对原函数20/ 2521/ 253 3.若f(x)dx =x2e2xc，则f(x)二()A.A.2xe2x(1 x)B.B.2x2e2xC.C.2xe2xD.D.xe2x答案：A A提示：f(x)二(x2e2xc) = 2xe2x2x2e2x=2x(1 x)e2x4 4.若f(x) =x、x(x 0)，则f (x)dx二()答案：A Ai提示：f (x) = (x . x) = 1- x22即对被积函数先求导再积分等于被积函数本身（加不定常数）。5 5.以下计算正确的是（）答案：A A提示：d3x=3x|n3dxXdxIn 3In 36 6.xf (x)dx

33、二()A.A.xf (x) - f (x) cB.B.xf (x) c12C.C.x f (x) cD.D.(x 1)f (x) c2答案：A A提示：利用分部积分法，u(x)v (x)dx = u(x)v(x) -v(x)u (x)dx设u = x,v = f (x), ,则u = 1,v = f (x)A.A.X X c2B.B.x xC.C.x23x2c2D.D.2x2f (x)dx =(1xP)dx =x.x22 2 1x3 dxdx-d(1 x2)A A .叭.In 31In xdx = d() x22/ 25xf (x)dx = xf (x) - f (x)dx =xf (x) -

34、 f (x) c上式中利用了“对被积函数先求导再积分等于被积函数本身(加不定常数)7 7.d aJ2xdx= =(XB._2aX|nadxc c.axdxD D.axdx c答案:答案：B B3 - x3xs in xdx3一X3xsinxdx=(3_ x sinx)dx = 3lnx-x1 11dx - - sin d(-) =cos cx xxxsin 2xdx 1设u = x,v = sin 2x,贝y u =1,v二sin 2xdx = cos2x21 1 1 1xsin 2xdx xcos2x cos2xdx xcos2x cos2xd(2x)2224 11xcos2x sin 2x

35、 c24提示：(_e x) =1-ef (x)e1x，比较上式左右两边，可知三、计算题(每小题7 7 分，共 3535 分)(2X-1)10 ,dx =110(2x-1) d(2x-1)1 111111(2x -1) c (2x _ 1) c2 11 22利用分步积分法:uv dx = uv - u vdx提示:所以对原函数a，xdx求微分就等于被积函数a%的微分axdx& &如果等式f (x)exdx=eC，则f(x)=1A.A.xB.B.1C.C.xD.D.12x23x2- cosx c3.1 sin卡dxx.1 sinx2x23/ 255 5.xedx解 利用分步积分法：

36、uv dx二uvu vdx设u二x,v二，贝U u =1,v=jedx-exedx = -xeedx = = -xe - ed(-x) - _xe-ec四、极值应用题（每小题 1212 分，共 2424 分）1.设矩形的周长为 120120 厘 M M,以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时, 才能使圆柱体的体积最大。解设矩形的一边边长为x x 厘 M M 则另一边边长为（60-x60-x ）厘 M,M,边长为 x x 厘 M M 的边绕轴旋转得一圆柱体，其底面积为 n （60-x60-x）2,旋转体的体积为V h(60 X)2XV二二(60 -x)2xm(3600 x)

37、- (120 x2)(x3)=蔥(3600 -240 x 3x2)令V =0，即3x2-240 x 3600 =02x -80 x1200 =080-802-4 1 120080- -6400-4800y - -入2 280 - . 1600 =80 _402 2 = 60, x2二20其中为=60是极小值点，此时体积为0 0；X2=20是极大值点，也是最大值点，对应的圆柱60-xy7/丿24/ 25体最大体积值为25/ 25V 二 20 二(60 - 20)2二 20 二 402二 20 二 1600 = 3200 二(立方厘米)2.欲用围墙围成面积为 216216 平方 M M 的一成矩形

38、的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块, 地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？216解设土地一边长为x，另一边长为216，共用材料为yx因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为五、证明题（本题 5 5 分）函数f （x） =x- ex在（-0）是单调增加的.证 只需证明当x：0时，有f（x）二x_ex0因为f （x）二x -（ex） = 1 - ex当x：0时，ex：1,即有f （x） 0 x所以，当x: 0时，f（x）=x-e是单调增加的。作业(四)- 定积分及应用、微分方程一、填空题(每小题 2 2 分，共 2020 分)121 1.L(sin

39、 x cos2x _ x )dx =_ .2答案：一3提示：上式被积函数第一项和是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0 0，第二项数是偶函数，在对i2称积分限可化为2 o x2dx，所以12Jsin xcos2x - x )dx二2 2.J2；(x54x+cosx)dx =_问这块土于是y=3=3x 2216x二3x432y =3432x令yO得唯一驻点x=12（x=-12舍去）10101818 时，所用材26/ 252答案：-2提示：被积函数的第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0 0,第三项为是偶函P2数，在对称积分限下可化为2 p cosdx，所以卫5-J2；(x -4x

40、+cosx)dx =2 F cosxdx =-2sin x|7 = -223 3已知曲线y二f (x)在任意点x处切线的斜率为x，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程是。答案：y -2x - -3提示：切线在点(4 4, 5 5)处的斜率为k =4=2=2，根据切线方程= k，得该切线方程为X X。匸5=2，即y -2x = -3x -4134 4若4(5X3-3x 2)dx二.答案：2 2提示：上式被积函数第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0 0,第三项为是偶函1数，在对称积分限下可化为2.1dx，所以2 0/ 251311J i (5x -3x + 2)dx = 2 (1d

41、x = 2x o= 25 5由定积分的几何意义知，a. a2 x2dx= =。_ 2答案：邑，它是 1/41/4 半径为 a a 的圆的面积。48 8微分方程y、y, y(0) = 1的特解为. .答案：1 11提示：将微分方程y =y分离变量得dy = dxy两边积分得ln y二x，即y=ex，所以微分方程yy, y(0)=1的特解为y(0)二e0=19 9.微分方程y 3y =0的通解为. .答案：ee1提示：将微分方程分离变量得丄dy =-3dxy-3x_3x两边积分得lny -3x，即y =e，所以微分方程的通特解为y = e提示：设x = a sin u，贝U dx = a cosu

42、du。当x = 0,u = 0;当x = a,u所以0a2x2dx二JI._2a、_1sin2u * acosudu二a2JI2cosu cosudu2Jcos2u2zu =a 2 u =a(02 2+ sin 2u24它是 1/41/4 半径为 a a 的圆的面积(参见 P125P125( 3 3)d /26 6 Jln(x +1)dx=.dx1答案：0 0提示：因为定积分的结果是一个数值，常数的导数数为7 7 :e2xdx= =.提示：e2xdx= 2：e2xd(2x)二12xe2=丄(1 _e=) J二2、722 1/ 251010.微分方程(yj3 4xy(4)= y7si nx的阶数

43、为.答案：2 2提示：微分方程的阶数是微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶次。 二、单项选择题（每小题 2 2 分，共 2 20 0分）1 1.在切线斜率为 2x2x 的积分曲线族中，通过点（1,41,4）的曲线为（）2 2A A . y y = = x x + + 3B3B . y y = = x x + + 4 42 2C C.y=x2D.y=x 1答案：A A22提示：曲线方程由y = 2xdx = x c确定，将x = 1, y = 4代入y = x c得c = 3，所以通过点(1,4(1,4 )的曲线为y = x2 3。12.2. 若(2x - k)dx= = 2 2,则 k k

44、= =().”01A A . 1B1B . - - 1 1 C C. 0D.0D.- -2答案：A A_ 121提示：o(2x k)dx = x kx 1 k = 2，所以k二13.3.下列定积分中积分值为0 0 的是().x.x/ e eA A.dxB B .=2C C.(X cosx)dxD D.(x sinx)dx答案：A A为 0 0。a4 4.设f （x）是连续的奇函数，则定积分.f（x）dx=（-a00A A .2 f (x)dxB B.f (x)dxC C .-a-a答案：D D提示：奇函数在对称积分限下的定积分为0 0。315 5 .殆|si nxdx=()x.x1e e dx

45、42提示：因为积分式f1 e_edx中的被积函数42x_xe -e2是奇函数，奇函数在对称积分限下的定积分a0f(x)dxD D . 0 02 2/ 252A A . 0B0B . : C . D D .2 2答案：D Dnn提示：si nx是偶函数，所以2si nxdx = 2cosx02=201) = 2J006 6.F列无穷积分收敛的是（）.:x:Xoe dxB.oe_dx亠.1dxD D.x答案:1&-be 1Lxdx=inx0一1发散工dx7 7 .下列无穷积分收敛的是（asin xdxB B.0 0-: 1C C.dxD D .$11x答案:2:：2 e：1dx = In xxIn处-1发散& &下列微分方程中,）是线性微分方程.答案：D D9 9.微分方程y丄0的通解为（）A A .y=CxB B.y=x CC C.y=CD D . y =0答案：C C提示：由题