《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

1、(第 1 页，共 18 页)试卷:得分一、单项选择题 (3 分X5=15 分)1、1、下列各式正确的是(QQQQ(A)limA - 宀;n：4k nQQQQ(C) limAn=QHAk；1 k HQQQQ(B)lim代八一宀；nn二心oO oo(D)UmAnAk；n k t2、设 P 为 Cantor 集，则下列各式不成立的是(A)P =c (B)mP=0(C)P=P(D) P=P3、下列说法不正确的是(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设 fn(x) / 是E上的 a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的是(A)若 f

2、n(X) f(X),则 fn(X)r f(X)(B)SUp：fn(X)f是可测函数n(C)inf fn(x)是可测函数；(D)若 fn(x)= f(x),则f(x)可测5、设 f(x)是a,b上有界变差函数，则下面不成立的是(A)f(x)在a,b上有界(B)f(x)在a,b上几乎处处存在导数b(C) f(x)在a,b上 L 可积(D).f(x)dx二f (b) - f (a)a1、(CSAJCSB)C(A-(A-B) =_o2、设E是 10,1】上有理点全体，贝U E=_ ,E=_ ,E=_.得分填空题(3 分X5=15 分)(第 2 页，共 18 页)3、设E是Rn中点集，如果对任一点集T都

3、有,则称E是L可测的4、f(x)可测的_ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设f (x)为a,b I 上的有限函数，如果对于 la,b的一切分划，使_卩称f(x)为l. a,b1上的有界变差函数。三、下列命题是否成立？若成立，则证明之；若不成立，则举反例说明.(5 分X4=20 分)1 设E R1，若 E 是稠密集，则CE是无处稠密集2、若mE = 0,则E一定是可数集.3、若|f(x)|是可测函数，则f (x)必是可测函数。4. 设f (x)在可测集E上可积分，若E, f (x) 0,则Ef(x) 0（第 3 页，共 18 页）1、（8分）设f J

4、为无理数1,x 为有理数可积，若可积，求出积分值。得分四、解答题（8 分X2=16 分）2、（8分）求limn *0cosxdx，则f（x）在1.0,11上是否R-可积，是否L-1、（6 分）证明 0,11 上的全体无理数作成的集其势为 c.2、（ 6 分）设f（x）是上的实值连续函数，则对于任意常数a,E二x | f （x） _a是闭集。3、（ 6 分）在 l.a,b 1 上的任一有界变差函数f （x）都可以表示为两个增函数之差（第 4 页，共 18 页）得分五、证明题（6 分X4+10=34 分）(第 5 页，共 18 页)4、(6 分)设mE：二，f (x)在E上可积,e.二 E(| f

5、 - n)，则liim n me* =0 .5、( 10 分)设f(x)是E上 a.e.有限的函数，若对任意0,存在闭子集 F. E ,使f(x)在 F.上连续，且 m(E-FJ，证明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)(第6页，共 18 页)试卷一答案:试卷一(参考答案及评分标准)一、 1. C 2 D 3. B 4. A 5. D二、 1. 一2、0,11;一 ;0,1 3、m*T=m*(T - E)m*(T - CE)fn14、充要 5、v| f(xj -f(Xi|成一有界数集。x x运E例如：设E是 l.a,b 1 上的不可测集，f(x)二:-x,la,N - E;则I f

6、(x)|是 a,bl 上的可测函数，但f(x)不是a,bl 上的可测函数. .5 分4 .错误. 2 分mE =0 时，对 E 上任意的实函数f(x)都有.f(x)dx = 05 分E四、1.f (x)在 1.0,11 上不是 R-可积的，因为f(x)仅在x=1处连续，即不连续点为正测度集.3 分因为f (x)是有界可测函数，f (x)在 1.0,11 上是L -可积的6 分2J三、 1.错误.2 分例如： 设E是10,1 上有理点全体，贝 UE（第 7 页，共 18 页）因为f (x)与x2a.e.相等，进一步，(x)dx= J0 x2dx8 分(第8页，共 18 页)2.解：设fn(x)n

7、(xn)ecosx，贝U易知当 n时，fn(x)r 0n.2 分I又因lntlnt/_2ntnt00, (t_3),所以当n_3,x_0时，It 丿t2In(x+ n) n +x ln(x+ n) n+x In 3 ln34八(1 x).4 八nn x n n 33从而使得| fn(x) |_ (l x)e.6 分3但是不等式右边的函数，在0：上是L可积的，故有QQQQ1 叩 fn(x)dx = Iimfn(x)dx=0. 8 分五、1.设E二0,1, A二E - Q,B = E (E - Q).B 是无限集，.可数子集 M B-A 是可数集，.A M : M .B =M (B M ), E

8、= A B = A M (B M ), 且(A_. M厂(B M)M - (B M)*,E : B, B = c. 6 分2.-x E；则存在 E 中的互异点列xn,使 limxn=x.2 分n/.:XnE,. f(xn) a. .3 分f(x)在 x 点连续，f(x) =lim f(xn)-a n咨x E.5 分E 是闭集 .6 分3.对名=1，为）0,使对任意互不相交的有限个（a,b）u（a,b）nn当(b a)时，有f(b)i f(aj F0，则 F0是E的聚点(D)内点必是聚点3. 下列断言()是正确的。(A)任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集

9、；(D)以上都不对；4. 下列断言中()是错误的。(A)零测集是可测集；(B)可数个零测集的并是零测集；(第 9 页，共 18 页)试卷二:专业_ 级_ 生名_ 学号得分一.单项选择题(3 分X5=15 分)（第11页，共 18 页）（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集;5.若 f（x）是可测函数，则下列断言（ ）是正确的(A)f (x)在a,b1L-可积二| f (x) |在a,b 1L -可积；(B)f(x)在 la, bR-可积二 | f (x) |在 l.a,b 】R -可积(C)f (x)在 l.a,blL -可积=| f (x)| 在 la,blR-可积；

10、(D)f(x)在 a：R-广义可积=f(x)在 a,+ ： L-可积111、_ 设代=,2 , n= 1,2,，则血代=_ 。nnn_）pco2、_设 P 为 Cantor 集，贝 U P = , mP =, P =。3、 设 是一列可测集，则 mQsJ_ mSr丿 y4、鲁津定理：_5、设F（x）为 la,b】上的有限函数，如果_则称F（x）为 la,b】上的绝对连续函数。得分得分二.填空题（3 分X5=15 分）（第12页，共 18 页）三.下列命题是否成立？若成立，则证明之；若不 成立，则说明原因或举出反例.（5 分X4=20 分）1、由于0,1- 0,1，故不存在使 0,1 和01 1

11、 之间 1T 对应的映射。（第13页，共 18 页）2、可数个零测度集之和集仍为零测度集3、a.e 收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数1、设 f（x）才 x，x xjj 理:数，则f（x）在 10,1 上是否 R-可积，是否 L-可积, 1,x 为有理数得分四.解答题（8 分X2=16 分）（第14页，共 18 页）若可积，求出积分值。1.（6 分）1、设 f（x）是（：，=）上的实值连续函数，则对任意常数2、求极限limnx2n01nx2sin3nxdx.得分五.证明题（6 分x3+8 2=34 分）（第15页，共 18 页）E =x | f (x) c是一开集.2.

12、(6 分)设；0,开集 G 二 E,使 m*(G-E)：；,则 E 是可测集3.(6 分)在 la,b 1 上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为两个增函数之差4. ( 8 分)设函数列 fn(x)(n =1,2/ )在有界集E上“基本上” 一致收敛于f (x)，证明：fn(x)a.e 收敛于f (x)。5. (8 分)设f(x)在 E=a,b 1 上可积，则对任何；0，必存在E上的连续函b数(x)，使 | f (x)(x) |dx：；.La(第16页，共 18 页)试卷二(参考答案及评分标准)一、 1，C 2,C 3, B4, C5, A二、 1， 0,22，c ； 0 ; 一3， 1,当

13、X E。但当 0 =) . 2 分又|fn(x). 4 分1+n x但是不等式右边的函数，在 0,亠上是L可积的.6 分odCO)fn(x)dx 二 o lim fn(x)dx =0五、1.-x E, f (x) cf (x)在 x 点连续，.对；二f(x)-c 0, U(x,当U(x,、J时,有 f (y) - f (x)| ；：. 3 分.- f (x) c：f (y) - f (x)：f (x) -c. f ( y) c,. yE.5 分因此U(x)E,从而E为开集. .6 分2. 对任何正整数 n , 由条件存在开集 3 二 E,使*1m (Gn-Ep . 1分nQQ令G二Gn，则G是可测集.3 分n吐1又因 m (G-E)岂m (Gn-E)对一切正整数 n 成立，因而 m (G-日二 0,即nM二G-E是一 零 测 度 集， 所 以 也 可测. 5 分由E =G -(G _E)知，E可测。.6 分x11因为f (x)与 x a.e.相等,进一步，斤订f (x)dx = J0 xdx = .8 分2 设fn(x)n；2sin3nxdx, 贝 U 易 知 当时故有 lim .1 分(