工程传热学课件第三章

1、长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 利用导热微分方程对几种典型几何形状物体的一利用导热微分方程对几种典型几何形状物体的一维导热问题进行分析；确定物体内的温度分布以及通维导热问题进行分析；确定物体内的温度分布以及通过物体的导热量；了解接触热阻及形状因子的含义。过物体的导热量；了解接触热阻及形状因子的含义。掌握导热微分方程在四种典型几何形状物体中的应掌握导热微分方程在四种典型几何形状物体中的应用。用。如何判断问题是否为一维以及掌握具体一维稳态常如何判断问题是否为一维以及掌握具体一维稳态常物性导热问题的两种求解方法。物性导热问题的两种求解方法。长春理工大学

2、机电工程学院长春理工大学机电工程学院典型一维稳态导热问题的特征分析典型一维稳态导热问题的特征分析第三章第三章 稳态导热稳态导热稳态导热：稳态导热： 即温度不随时间而变化。即温度不随时间而变化。0/t一维：热物体的温度仅在一个坐标方向发生变化：一维：热物体的温度仅在一个坐标方向发生变化：通过平壁的导热通过平壁的导热直角坐标系中的一维问题；直角坐标系中的一维问题；通过（无限长）圆筒壁的导热通过（无限长）圆筒壁的导热圆柱坐标系的一维问题；圆柱坐标系的一维问题；通过球壁（壳）的导热通过球壁（壳）的导热球坐标系的一维问题；球坐标系的一维问题；通过肋片（表面有散热的长杆）的导热通过肋片（表面有散热的长杆）

3、的导热复杂一维问题。复杂一维问题。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院3-1 3-1 第三章第三章 稳态导热稳态导热一、单层平壁的导热一、单层平壁的导热 所谓单层平壁，是指符合以下条件的平壁所谓单层平壁，是指符合以下条件的平壁：（如图所示）：（如图所示）c，几何条件：平壁厚度为几何条件：平壁厚度为 （壁厚远小于高度和宽度），（壁厚远小于高度和宽度）， 由此判断出温度场是一维的；由此判断出温度场是一维的；物理条件：物理条件： 为常数，无内热源；为常数，无内热源； 时间条件：时间条件： 稳态导热；稳态导热；边界条件：第一类（两表面分别维持在均匀而恒定的温度）。边界条件：第一类（两表面分

4、别维持在均匀而恒定的温度）。0/t长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 单层平壁如图所示。根据上述条件可以判断此类问题为前面单层平壁如图所示。根据上述条件可以判断此类问题为前面所述的傅里叶导热微分方程第六种简化形式：所述的傅里叶导热微分方程第六种简化形式： 一维常物性稳态无内热源导热问题，其温度场控制方程为：一维常物性稳态无内热源导热问题，其温度场控制方程为：第一类边界条件为：第一类边界条件为：022dxtd21, 0ttxttx长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 计算求解：如何求解？计算求解：如何求解？21

5、cxct式中：式中： 为积分常数，利用两个边界条件求得：为积分常数，利用两个边界条件求得：21,cc10ttx ，代入上式代入上式2ttx ，代入上式代入上式12tc 121ttc积分两次，得其通解：积分两次，得其通解：解得：解得：长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布：如将两个积分常数代入原通解，可得平壁内的温度分布：如图所示。图所示。线性分布，与线性分布，与 无关无关 112txttt 利用傅里叶导热定律可得通过平壁的利用傅里叶导热定律可得通过平壁的热流密度和热流量：热流密度和热流量：12ttdxdttt

6、tdxdtq21 已知其中任意已知其中任意三个量，就可以求三个量，就可以求出第四个量。出第四个量。tAttAdxdtA21长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热解：解： 根据一维常物性稳态平壁导热公式：根据一维常物性稳态平壁导热公式： tA)/(0652. 05010906. 4005. 032. 04-1KmWtA)/(0815. 02010906. 4005. 016. 04-2KmWtA（第一次试验）（第一次试验）（第二次试验）（第二次试验）为什么不一样？为什么不一样？为了测量某种材料的导热系数，制成了厚为了测量某种材料的导热系数，制成了厚5 5

7、，直径直径25 25 的试验件，第一次试验时测得通过试验件的导热量的试验件，第一次试验时测得通过试验件的导热量为为 ，试验件两侧温度分别为，试验件两侧温度分别为 和和 ，第二次试验时测得第二次试验时测得 ， ， ，求两，求两次试验中材料的导热系数分别是多少？次试验中材料的导热系数分别是多少？W32. 012011wt7021wtW16. 0220012wt22022wtmmmm首先，导热面积为：首先，导热面积为： 长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 一维常物性稳态平壁导热问题也可以通过傅里叶定律求解一维常物性稳态平壁导热问题也可以通过傅里叶定律求解获

8、得热流量公式：获得热流量公式： 21tt0dtAdx 另一种求法：另一种求法： dxdtAconstdxdtAdtdxA)(Att21长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热一窑炉的耐火砖墙为厚度一窑炉的耐火砖墙为厚度 的硅砖。已知内壁面的硅砖。已知内壁面温度温度 外壁面温度外壁面温度 ，试求每平方米炉墙每小，试求每平方米炉墙每小时的热损失。时的热损失。于是于是)/(60. 124001500)/(0007. 0)/(93. 0mWmWmW代入公式得：代入公式得：221/704025.04001500)/(60.1)(mWmmWttqmm25015001t

9、4002t解：注意：这里要用到我们前面讲到的平均导热系数的知识。解：注意：这里要用到我们前面讲到的平均导热系数的知识。 从附录从附录4 4查得硅砖的导热系数为：查得硅砖的导热系数为：长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热热阻的含义热阻的含义（复习）（复习） 热量传递是自然界的一种转换过程热量传递是自然界的一种转换过程, ,与自然界的其他转换与自然界的其他转换过程类同过程类同, ,如如: :电量的转换电量的转换, , 动量、质量等的转换。其共同规律动量、质量等的转换。其共同规律可表示为可表示为: :过程的阻力过程的阻力过程的动力过程的动力过程中的转移量过程

10、中的转移量在电学中，这种规律性就是众所周知的欧姆定律，即在电学中，这种规律性就是众所周知的欧姆定律，即RUI)(在平壁导热中，与之相对应的表达式可改写为在平壁导热中，与之相对应的表达式可改写为tq过程的动力：电压过程的动力：电压过程的阻力：电阻过程的阻力：电阻过程的转移量：电流过程的转移量：电流过程的转移量：热流过程的转移量：热流过程的动力：温压过程的动力：温压过程的阻力：热阻过程的阻力：热阻长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热导热热阻：导热热阻：下面我们通过两个式子来进一步了解一下热阻的含义。下面我们通过两个式子来进一步了解一下热阻的含义。tq)(

11、At单位面积上的热阻：面积热阻单位面积上的热阻：面积热阻平壁的导热热阻平壁的导热热阻注意：注意：热阻的概念不限于导热，对于对流换热、辐射换热以及热阻的概念不限于导热，对于对流换热、辐射换热以及 复合换热等方式也是适用的。复合换热等方式也是适用的。热阻也遵守串并联规律。热阻也遵守串并联规律。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 已知钢板、水垢及灰垢的导热系数分别为已知钢板、水垢及灰垢的导热系数分别为 、 、 ，比较，比较 厚钢板、水垢厚钢板、水垢及灰垢的面积热阻。如图所示。及灰垢的面积热阻。如图所示。)/(4 .461KmW)/(16. 12KmW)/(

12、016. 03KmW可见：可见：1 水垢热阻相当于水垢热阻相当于40 钢板热阻，而钢板热阻，而1 灰垢热阻灰垢热阻相当于相当于3000 钢板热阻，因此，在换热器的运行过程中，要钢板热阻，因此，在换热器的运行过程中，要尽量保持换热面的洁净至关重要。尽量保持换热面的洁净至关重要。假设：（假设：（1 1）一维；（）一维；（2 2）稳态导热；）稳态导热；mm1计算：根据平壁导热热阻公式计算：根据平壁导热热阻公式WKmRA/1016. 24 .46001. 025-1WKmRA/1060. 816. 1001. 024-2WKmRA/1025. 6016. 0001. 022-3mmmmmmmm长春理工

13、大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 钢柱直径钢柱直径 为为30 ，长度，长度L为为300 ，导热系数为，导热系数为其两个端面温度分别保持其两个端面温度分别保持在在6060和和2020，四周为建筑保温材料。，四周为建筑保温材料。计算通过钢柱的导热量。如图所示。计算通过钢柱的导热量。如图所示。dmmmm分析：钢柱四周相当于绝热，温度仅沿着轴线方向变化。分析：钢柱四周相当于绝热，温度仅沿着轴线方向变化。假设：（假设：（1 1）一维；（）一维；（2 2）稳态导热；）稳态导热；长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热计算：计算：W

14、tA71. 43 . 0/2060403. 014. 3502讨论讨论：对通过一个等截面物体的导热，如果温度仅在厚度方：对通过一个等截面物体的导热，如果温度仅在厚度方向发生变化，就可以作为直角坐标系中的一维导热问题，至于向发生变化，就可以作为直角坐标系中的一维导热问题，至于物体截面积则可大可小，截面也未必是方形的。物体截面积则可大可小，截面也未必是方形的。 我们常说的我们常说的“通过无限大平板的导热通过无限大平板的导热”的提法，其实的提法，其实“无无限大限大”只是为一维创造条件，并不十分确切。只是为一维创造条件，并不十分确切。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导

15、热稳态导热二、多层平壁的导热二、多层平壁的导热 多层平壁就是由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。多层平壁就是由几层不同材料叠在一起组成的复合壁。如图所示。如图所示。如：锅炉炉墙：采用耐火砖层、保温砖层和普通砖层叠合而成。如：锅炉炉墙：采用耐火砖层、保温砖层和普通砖层叠合而成。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 如图所示为三层平壁的稳态导热。假定层与层间接触良好，如图所示为三层平壁的稳态导热。假定层与层间接触良好，没有引入附加热阻（接触热阻，没有引入附加热阻（接触热阻，contact thermal resistance），），因此，通过层间分界面就不

16、会发生温度降落，可以近似地认为因此，通过层间分界面就不会发生温度降落，可以近似地认为结合面上各处温度相等。结合面上各处温度相等。假定：一维常物性稳态无内热源，两侧均为第一类边界；假定：一维常物性稳态无内热源，两侧均为第一类边界；方法：应用热阻分析法可以很方便地导出通过多层平壁的导热方法：应用热阻分析法可以很方便地导出通过多层平壁的导热量计算式，再导出层间温度。量计算式，再导出层间温度。t1t2t3t4t1t2t3t4三层平壁的稳态导热三层平壁的稳态导热1110nniittxttx边界条件：边界条件：热阻：热阻：nnnrr,111长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态

17、导热稳态导热根据热阻分析法导出根据热阻分析法导出 层平壁导热热流密度的计算公式层平壁导热热流密度的计算公式如如:三层平壁导热的热流密度的计算公式为三层平壁导热的热流密度的计算公式为:33221141ttqniiinniinttrttq111111n长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 现在已经知道了现在已经知道了q q，如何计算其中第，如何计算其中第 层的右侧壁温？层的右侧壁温？第一层：第一层： 11122111)(qttttq第二层：第二层：22233222)(qttttq第第i i 层：层： iiiiiiiiqttttq111)(i长春理工大学机电

18、工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热窑炉炉墙里层为厚度窑炉炉墙里层为厚度115 115 的耐火粘土砖，中间的耐火粘土砖，中间层为厚度层为厚度125 125 的的B B级硅藻土砖，最外层为厚度级硅藻土砖，最外层为厚度70 70 石棉板。石棉板。内、外表面温度分别为内、外表面温度分别为495495和和6060，试求每平方米炉墙每小，试求每平方米炉墙每小时的热损失及耐火粘土砖与硅藻土砖分界面、硅藻土砖与石时的热损失及耐火粘土砖与硅藻土砖分界面、硅藻土砖与石棉板分界面上的温度。棉板分界面上的温度。假设假设：（1 1）一维问题；（）一维问题；（2 2）稳态导热；（）稳态导热；（

19、3 3）无接触热阻。）无接触热阻。分析：分析：材料的导热系数都是温度的函数，按平均温度计算其材料的导热系数都是温度的函数，按平均温度计算其导热系数时需要知道层间温度，而层间温度是待求解的，因此导热系数时需要知道层间温度，而层间温度是待求解的，因此需要采用需要采用 （iteration methoditeration method）。）。 即：先估计各层间温度，计算热流密度及即：先估计各层间温度，计算热流密度及各层间温度，如各层间温度，如果计算出的层间温度值与估计值相差超过工程上允许值（一般果计算出的层间温度值与估计值相差超过工程上允许值（一般为为4%），重设层间温度值再迭代，直至结果满意为止。

20、），重设层间温度值再迭代，直至结果满意为止。mmmmmm长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热计算：计算：假设层间温度为假设层间温度为因：计算热流密度需要知道材料的导热系数，故需先计算平因：计算热流密度需要知道材料的导热系数，故需先计算平均温度均温度33221141ttq222433432232112ttttttttt耐火粘土砖、硅藻土砖、石棉板的导热系数则为：耐火粘土砖、硅藻土砖、石棉板的导热系数则为：32tt ，343332322212111tbatbatba求热流密度及求热流密度及32tt ，1112qtt2223qtt长春理工大学机电工程学院长春

21、理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热判断判断 是否满足是否满足 ，否则再代入，否则再代入式式222433432232112ttttttttt重新开始迭代计算，直到预估值与计算结果一致（在重新开始迭代计算，直到预估值与计算结果一致（在一定允许偏差范围内）。一定允许偏差范围内）。32tt ，最终计算结果最终计算结果32tt ，)/(116. 0)/(116. 0)/(12. 1321mWmWmW长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热233221141/244116. 0070. 0116. 0125. 012. 1115. 060-495mWt

22、tq32tt ，47012. 1115. 02444951112qtt207116. 0125. 02444702223qtt长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热niiiffhhttq1211121长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院3-2 3-2 第三章第三章 稳态导热稳态导热一、通过圆筒壁（也称为管壁或管壳）的导热一、通过圆筒壁（也称为管壁或管壳）的导热 圆筒壁（如图）在工程上应用很广，如：各种管道、轧圆筒壁（如图）在工程上应用很广，如：各种管道、轧机辊子等机辊子等 都是实例。都是实例。 通过圆筒壁的导热当作圆柱坐标系上的一维导热问题。

23、通过圆筒壁的导热当作圆柱坐标系上的一维导热问题。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热1、单层圆筒壁、单层圆筒壁假设假设：圆筒壁内外表面维持均匀恒定的温度；圆筒壁内外表面维持均匀恒定的温度；圆筒壁长度很长（圆筒外壁半径小于长度的圆筒壁长度很长（圆筒外壁半径小于长度的1/10）；）；c，ztztrrtrrrtc)()(1)(12 为常量（或称常物性）。为常量（或称常物性）。前面讲过圆柱坐标系下的导热微分方程为：前面讲过圆柱坐标系下的导热微分方程为：分析：分析：此问题为一维常物性稳态无内热源导热问题。此问题为一维常物性稳态无内热源导热问题。长春理工大学机电工

24、程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热0drdtrdrd求解：求解：其导热微分方程为（如图）：其导热微分方程为（如图）：第一类边界条件：第一类边界条件：2211ttrrttrr长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热对上述微分方程积分两次得其通解：对上述微分方程积分两次得其通解：应用边界条件并联解得两个系数：应用边界条件并联解得两个系数：211ln crctcdrdtr第一次积分第一次积分第二次积分第二次积分将系数代入第二次积分结果得温度分布为：将系数代入第二次积分结果得温度分布为：)ln()ln( 112121rrrrtttt显然，

25、温度呈对数曲线分布。显然，温度呈对数曲线分布。)ln( 12121rrttc)ln(ln 1211212rrrtttc长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热下面来求一下圆筒壁内部的热流密度和热流量下面来求一下圆筒壁内部的热流密度和热流量：则通过圆筒壁的热流密度：则通过圆筒壁的热流密度： 可见，通过圆筒壁的稳态导热中，不同半径处的热流密可见，通过圆筒壁的稳态导热中，不同半径处的热流密度与半径成反比。度与半径成反比。)ln()ln( 121211rrrrtttt通过圆筒壁的热流量：通过圆筒壁的热流量：求导求导)ln(1 1221rrttrdrdt)rrln(

26、ttrdrdt q1221)rrln(l21ttrlq1221 2 显然，通过圆筒壁的热流量为常量，不随半径而异。显然，通过圆筒壁的热流量为常量，不随半径而异。12dd 长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热对于圆筒壁，总面积热阻对于圆筒壁，总面积热阻：思考：思考：如何根据温度曲线判断两侧温度高低？如何根据温度曲线判断两侧温度高低？2122122r1)rrln(ttdrtd l2)rrln(t R12向上凹向上凹若若0 2221drtdtt：长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热2 2、多层圆筒壁（如图）、多层圆筒

27、壁（如图） 与分析多层平壁一样，运用串联热阻叠加的原则。在稳与分析多层平壁一样，运用串联热阻叠加的原则。在稳态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等（假定层间态、无内热源的情况下，通过各层的热流量相等（假定层间接触良好）。接触良好）。其导热热流量及热流密度可按总温差其导热热流量及热流密度可按总温差和总热阻计算：和总热阻计算： W)rrln(l21tt i1in1ii1n1 W/m)rrln(21tt qi1in1ii1n1i 通过单位长度圆筒壁的热流量通过单位长度圆筒壁的热流量长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热： 外径为外径为133133 的蒸汽管

28、道外覆盖保温层，蒸汽管外壁的蒸汽管道外覆盖保温层，蒸汽管外壁温温度为度为400400，保温层外侧温度不得超过，保温层外侧温度不得超过5050，并把每米长管道并把每米长管道的热损失的热损失 控制在控制在 以内，问保温层厚度应为多少以内，问保温层厚度应为多少毫米？毫米？/lmW /465225250400t代入从附录代入从附录3中查得水泥蛭石的导热系数表达式得：中查得水泥蛭石的导热系数表达式得：)/(148. 0225000198. 0103. 0000198. 0103. 0mWtmm假设：假设：（1 1）圆柱坐标系一维问题；（）圆柱坐标系一维问题；（2 2）稳态导热；（）稳态导热；（3 3）导

29、）导热系数为温度的线性函数。热系数为温度的线性函数。计算：为确定导热系数值，先计算材料的平均温度：计算：为确定导热系数值，先计算材料的平均温度：长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热求保温层厚度求保温层厚度（ 求求 ）mmd1331？2d)ln(dttl2)ln(dttl2) ddln(12122112)133. 0(50400465148. 02ln)ln(d2则保温层厚度为：则保温层厚度为：mdd0675. 02133. 0268. 02-12讨论：讨论：根据已知条件的不同，以及导热热流量计算式可以根据已知条件的不同，以及导热热流量计算式可以计算热流

30、量、导热层厚度及表面温度（或温差）。计算热流量、导热层厚度及表面温度（或温差）。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热二、通过球壁（壳）的导热二、通过球壁（壳）的导热 对于内、外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，在对于内、外表面维持均匀恒定温度的空心球壁的导热，在球坐标系中也是一个一维的问题。球坐标系中也是一个一维的问题。前面讲过球坐标系下的导热微分方程为：前面讲过球坐标系下的导热微分方程为：c，trtrrtrrrtc22222sin1sinsin11假设：球壁内、外表面维持均匀恒定的温度；假设：球壁内、外表面维持均匀恒定的温度； 为常为常 量；无内

31、热源；第一类边界条件。量；无内热源；第一类边界条件。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热导热微分方程与相应边界条件（如图）导热微分方程与相应边界条件（如图）0222drdtrdrtd2211ttrrttrr分析：为一维常物性稳态无内热源导热问题。分析：为一维常物性稳态无内热源导热问题。导热微分方程：导热微分方程：边界条件：边界条件：长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热求解导热微分方程得：求解导热微分方程得：rrrrtttt11111121211温度分布：温度分布：或或22121211111rrrrtttt热流量

32、及热阻：热流量及热阻：tddrrtt212121114例题例题3-73-7（书例题（书例题3-53-5）：）：长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热三、带第二类、第三类边界条件的一维导热问题三、带第二类、第三类边界条件的一维导热问题 一个电熨斗电功率为一个电熨斗电功率为1200 1200 ，底面，底面竖直置于环境温度为竖直置于环境温度为2525的房间内，金的房间内，金属底板厚为属底板厚为5 5 ，导热系数，导热系数，底板面积，底板面积 。考虑辐射作用。考虑辐射作用在内的表面传热系数在内的表面传热系数 ，今要确定稳态条件下底板两表面的温度。今要确定稳态条件

33、下底板两表面的温度。)/(15KmW2300cmA )/(802KmWhmmW长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热假设：假设： 电熨斗绝热层的性能良好。因而加热器的功率全部通过底电熨斗绝热层的性能良好。因而加热器的功率全部通过底板散到环境中去，再将这个问题近似处理为一维平壁导热，底板散到环境中去，再将这个问题近似处理为一维平壁导热，底板右侧处理为对流边界条件，左侧为给定热流密度边界条件，板右侧处理为对流边界条件，左侧为给定热流密度边界条件，其值为：其值为：220/4000003. 01200mWmWq根据单层平壁前面所述，温度场的数学描写：根据单层平壁

34、前面所述，温度场的数学描写：tthdxdtxqdxdtx, 00022dxtd控制方程控制方程边界条件边界条件长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热通解：通解：21cxct代入边界条件代入边界条件0101qcqctcchc21100112qhqtchctchxqtt10温度分布：温度分布：长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热53880115005. 04000025100hqttx讨论：讨论：与第一类边界条件求解的区别在于确定积分常数与第一类边界条件求解的区别在于确定积分常数 和和 所利用的条件不同。所利用的条件

35、不同。5258014000025100hqttx1C2C长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热讨论讨论：两个边界条件均为第二类，温度场能否：两个边界条件均为第二类，温度场能否得出确定的解，进一步，可以考虑对于一维问得出确定的解，进一步，可以考虑对于一维问题，常见的三类边界条件中有哪些组合可得出题，常见的三类边界条件中有哪些组合可得出温度场的确定的解？温度场的确定的解？长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热四、变截面或变导热系数的一维问题四、变截面或变导热系数的一维问题 一般来说，求解导热问题的主要途径分两步。一般来

36、说，求解导热问题的主要途径分两步。求解导热微分方程，获得温度场；求解导热微分方程，获得温度场；根据傅里叶定律和已获得的温度场计算热流密度及热流量。根据傅里叶定律和已获得的温度场计算热流密度及热流量。 但是，对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导但是，对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热问题，如果求解的目的仅在于获得热流量的计算式，采用直热问题，如果求解的目的仅在于获得热流量的计算式，采用直接对傅里叶导热定律表达式做积分的方法更方便。接对傅里叶导热定律表达式做积分的方法更方便。2121 ttxxAdtdxdxdtA 当导热系数为变数或导热面积沿热流密度矢量方向改变时，当导热系数为

37、变数或导热面积沿热流密度矢量方向改变时，这一方法更行之有效。这一方法更行之有效。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热导热系数一般可表示为温度的函数，即导热系数一般可表示为温度的函数，即 t 分离变量后积分（注意：热流量分离变量后积分（注意：热流量 与与 无关，即稳态）得：无关，即稳态）得：所谓变截面是指导热面积沿热流方向为坐标的函数，即所谓变截面是指导热面积沿热流方向为坐标的函数，即 xAA 则傅里叶导热定律表达式为：则傅里叶导热定律表达式为： dxdtxAt 2121ttxxdttxAdx 长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章

38、 稳态导热稳态导热为解决问题方便，等式右侧我们来处理一下：为解决问题方便，等式右侧我们来处理一下：众所周知，众所周知， 在在 至至 范围内的积分平均值为：范围内的积分平均值为： 12121212212121 ttttdttttttdttdtttttttt 1221 ttdtttt 1 t2 t则所求热流量计算式为：则所求热流量计算式为： 2121xxxAdxtt 长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热请注意：请注意：则则 dtttttt2121 与与 21 xxxAdx无关无关 在工程计算中，材料导热系数对温度的依变关系往往可表在工程计算中，材料导热系数

39、对温度的依变关系往往可表示成下列关系：示成下列关系：atbt001 或或2210tta长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热例如：球壁导热例如：球壁导热2122111rrrttqconstdrdtrdrdtA 24 212124ttrrdtrdr长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热变截面例题：变截面例题： 一高一高为为30 30 的铝制圆台形锥台，顶面直径为的铝制圆台形锥台，顶面直径为8.2 8.2 ，底，底面直径为面直径为13 13 。底面及顶面温度各自均匀，分别为。底面及顶面温度各自均匀，分别为520520及

40、及2020，锥台侧面绝热。试确定通过该锥台的导热量。铝的导热，锥台侧面绝热。试确定通过该锥台的导热量。铝的导热系数为系数为100 100 。cmcmcm)/(KmW解：根据傅里叶导热公式有：解：根据傅里叶导热公式有：dxdtxA)(03. 0)08. 0041. 0()()(22xxxrxA即即dxdtx2)08. 0041. 0(分离变量后积分整理得分离变量后积分整理得3 . 002)08. 0041. 0(21xxttxdxdt得得W1397长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热3-33-3 肋片的导热（表面有散热的长杆的导热）肋片的导热（表面有散热

41、的长杆的导热）如何强化换热如何强化换热?如何增加对流换热量？如何增加对流换热量？thA 三种方法：三种方法：增加温差增加温差: :增加温差是以增加过程的不可逆损失为代价的，增加温差是以增加过程的不可逆损失为代价的，同时也受到具体的工艺工程所制约，很少采用；同时也受到具体的工艺工程所制约，很少采用；增加表面传热系数：在后续章节讲述；增加表面传热系数：在后续章节讲述；增加换热面积：增加换热面积的有效方法，即指在材料消耗增加换热面积：增加换热面积的有效方法，即指在材料消耗量增加较小的条件下能较多地增大面积的方法。量增加较小的条件下能较多地增大面积的方法。 例如例如: :肋片（传统暖气片、电机外壳、换

42、热器等）肋片（传统暖气片、电机外壳、换热器等）长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 肋片（又称翅片，肋片（又称翅片，finfin）：指依附于基础表面的扩展表面。）：指依附于基础表面的扩展表面。 如图所示。如图所示。常见的典型肋片有四种：常见的典型肋片有四种：从形状上分类大致有如下五种：从形状上分类大致有如下五种：直肋直肋环肋环肋大套片大套片针肋针肋矩形矩形圆柱形圆柱形三角形三角形圆锥形圆锥形圆环形圆环形长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 肋片可以由管子整体轧制或缠绕、嵌套金属薄片并经加工肋片可以由管子整体轧制

43、或缠绕、嵌套金属薄片并经加工而制成。加工的方法有焊接、浸镀（例如镀锡等）或胀管等。而制成。加工的方法有焊接、浸镀（例如镀锡等）或胀管等。 与前面讲过的平壁导热热流量沿传递路径处处相等与前面讲过的平壁导热热流量沿传递路径处处相等不同，通过肋片导热有两个特点：不同，通过肋片导热有两个特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热；在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热；肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。肋片中沿导热热流传递的方向上热流量是不断变化的。问题：问题：肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？ 通过肋片的散热热流量有多

44、少？通过肋片的散热热流量有多少？长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热解决问题的方法：解决问题的方法： 前面讲过，一根长杆两端有温差时，不论横截面形状如何，前面讲过，一根长杆两端有温差时，不论横截面形状如何，导热总是一维的。但如图所示的肋片问题就复杂一些。其长导热总是一维的。但如图所示的肋片问题就复杂一些。其长杆是从基面伸展出来的，表面有散热。如何用前面所学的定杆是从基面伸展出来的，表面有散热。如何用前面所学的定律来解决呢？律来解决呢？ 对复杂的工程传热问题（如：书图对复杂的工程传热问题（如：书图3-83-8，插入温度不同于，插入温度不同于筒壁的气体中的

45、测温套管，它两端有温差筒壁的气体中的测温套管，它两端有温差而套管表面有散热或吸热）经过适当的简而套管表面有散热或吸热）经过适当的简化建立起合理的物理与数学模型，从而运化建立起合理的物理与数学模型，从而运用已有的数学及传热学知识进行求解的一用已有的数学及传热学知识进行求解的一整套分析方法。整套分析方法。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热一、通过等截面直肋（长杆）的导热一、通过等截面直肋（长杆）的导热 肋片与基础表肋片与基础表面相交处（称为面相交处（称为 ）的温）的温度为已知，且此处设大于周度为已知，且此处设大于周围流体温度。该肋片与周围围流体温度。该肋

46、片与周围环境之间有热交换，并已知环境之间有热交换，并已知包括对流与辐射换热在内的包括对流与辐射换热在内的复合换热的表面传热系数复合换热的表面传热系数 ，确定肋片中的温度分布及通确定肋片中的温度分布及通过肋片的散热量。过肋片的散热量。h长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热1、物理模型（简化假设）、物理模型（简化假设）cADD23DD120dxdth肋片温度在垂直于纸面方向（即长度方向）不发生变化，肋片温度在垂直于纸面方向（即长度方向）不发生变化，因此可取一个截面（即单位长度）来分析；因此可取一个截面（即单位长度）来分析；材料的导热系数材料的导热系数 ，表

47、面传热系数，表面传热系数 及沿肋高方向的横截面及沿肋高方向的横截面积积 均各自为常数；均各自为常数；表面上的换热热阻远大于肋片中的导热热阻，因而在任一截表面上的换热热阻远大于肋片中的导热热阻，因而在任一截面上肋片温度可认为是均匀的；面上肋片温度可认为是均匀的；肋片顶端可视为绝热，即在肋的顶端肋片顶端可视为绝热，即在肋的顶端 ；长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热，如图所示。并将沿程散热量态导热，如图所示。并将沿程散热量 视为负的内热源，则导视为负

48、的内热源，则导热微分方程式简化为：热微分方程式简化为：022dxtd边界条件：边界条件：0, 00dxdtHxttx；那么，方程中的内热源项如何确定呢？那么，方程中的内热源项如何确定呢？肋片的两个侧面肋片的两个侧面并不是计算区域的边界并不是计算区域的边界（计算区域的边界（计算区域的边界是是 ），但通），但通过这俩侧面有热量传递。过这俩侧面有热量传递。Hxx , 02 2、数学描写、数学描写长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热处理方法：处理方法： 通过边界上所交换的热量折算成整个截面上的体积源项。通过边界上所交换的热量折算成整个截面上的体积源项。内热源强

49、度：内热源强度：httPdx 对肋高方向对肋高方向 的微元段进行的微元段进行分析。设横截面积为分析。设横截面积为 ，肋片参，肋片参与换热的截面周长为与换热的截面周长为 ，则表面，则表面换热面积为换热面积为 。通过上下表面散失的热量：通过上下表面散失的热量：ccAtthPdxAhttPdxcAPPdxdx长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热代入导热微分方程得到肋片导热的数学描写：代入导热微分方程得到肋片导热的数学描写： 022cAtthPdxtd为什么为负号？为什么为负号？0, 00dxdtHxttx；这是怎么得来的？这是怎么得来的？温度分布：温度分布：

50、 边界条件：边界条件： 长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热利用能量守恒定律来推出肋片导热的数学描写：利用能量守恒定律来推出肋片导热的数学描写： 根据能量守恒定律有：根据能量守恒定律有：cdxxx根据牛顿冷却公式：根据牛顿冷却公式：fctthPdx而而dxdxtdAdxdxdtAdxddxdxddxdxdccxxxxdxxx22代入能量守恒公式得：代入能量守恒公式得：022cAtthPdxtd长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热3 3、分析求解、分析求解 222mdxd 可见，该方程为关于温度的二阶非齐次常微分

51、方程，为了可见，该方程为关于温度的二阶非齐次常微分方程，为了便于求解，引入便于求解，引入 （excess temperature）。）。ttcAhPm令令方程变为关于过余温度的齐次方程：方程变为关于过余温度的齐次方程：边界条件变为：边界条件变为：0, 00dxdHxx；为什么加根号？为什么加根号？长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热二阶线性齐次常微分方程，其通解为：二阶线性齐次常微分方程，其通解为： mxmxecec21代入边界条件：代入边界条件：021cc021mHmHmecmec则肋片中的温度分布为：则肋片中的温度分布为：mHchHxmcheeee

52、mHmxmHmx022012xxeechx2sxxeehx长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热mHthmhPAhPmAmHmthAmHchmHshmAmHchxHmshmAddtAdxdtAccccxcxcxc020000000 由肋片散入外界的的全部热量都必须通过由肋片散入外界的的全部热量都必须通过 处的肋根处的肋根截面。根据傅里叶定律的表达式，得热流量为：截面。根据傅里叶定律的表达式，得热流量为： 0 x长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 肋片内部温度实际分布：肋片内部温度实际分布：长春理工大学机电工程学

53、院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热讨论：讨论： 以上根据肋片末梢端面绝热的近似边界条件得到的理论解，以上根据肋片末梢端面绝热的近似边界条件得到的理论解，应用于大量实际肋片，可以获得实用上足够精确的结果。应用于大量实际肋片，可以获得实用上足够精确的结果。 对于必须考虑肋片末梢端面散热的少数场合，怎么办？对于必须考虑肋片末梢端面散热的少数场合，怎么办？利用数值计算；利用数值计算；为了照顾末梢端面的散热而把端面面积铺展到侧面上去。为了照顾末梢端面的散热而把端面面积铺展到侧面上去。 实际上沿整个肋表面换热系实际上沿整个肋表面换热系数常常是不均匀的，这时可以按数常常是不均匀的，这时

54、可以按其平均值来计算，如果出现严重其平均值来计算，如果出现严重不均匀性，则问题的求解可以采不均匀性，则问题的求解可以采用后续要介绍的数值方法。用后续要介绍的数值方法。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热4 4、解的应用、解的应用已知：已知： 100HtmmH140)/(2 .58mW2/1 .29mWh试问试问：（：（1）由于有钢套管而引入的测量）由于有钢套管而引入的测量 误差多大？误差多大？ （2）采用什么样的材料（铜）采用什么样的材料（铜/钢）钢） 作为温度计套管，以提高测作为温度计套管，以提高测 温的准确性？温的准确性？长春理工大学机电工程学院长

55、春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热分析：分析： 温度计的感温泡与套管顶部直接接触，可以认为温度计的温度计的感温泡与套管顶部直接接触，可以认为温度计的读数就是套管顶端的壁面温度。读数就是套管顶端的壁面温度。d 套管四周换热条件一致，套管中每一截面上的温度可认为是套管四周换热条件一致，套管中每一截面上的温度可认为是相等的，因而不同高度相等的，因而不同高度 处的截面上温度均匀（为何充油？）套处的截面上温度均匀（为何充油？）套管中的导热可以看成是截面积为管中的导热可以看成是截面积为 的等截面直肋中的导热。的等截面直肋中的导热。 温度计套管与其四周环境之间发生着三种方式的热量传递：温度

56、计套管与其四周环境之间发生着三种方式的热量传递：从套管顶端向根部的导热；从套管顶端向根部的导热；从压缩空气向套管外表面的对流换热；从压缩空气向套管外表面的对流换热；从套管外表面向储气筒筒身的辐射换热。从套管外表面向储气筒筒身的辐射换热。H长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热分析：分析： 设设 温度比外界环境温度高，则套管顶端从流体吸收热量，温度比外界环境温度高，则套管顶端从流体吸收热量，一部分向根部导热传递，一部分向筒身辐射传递，因此，即存一部分向根部导热传递，一部分向筒身辐射传递，因此，即存在测温误差，该偏差即是顶端的过余温度。在测温误差，该偏差即是

57、顶端的过余温度。10000mHchtmHchttmHchttmHchmHchHxmchttHfffHHft 10 chHx；时时假设假设：将所研究的问题看成是一维稳态等截面直肋的导热问题，：将所研究的问题看成是一维稳态等截面直肋的导热问题，采用肋片分析中的各项假定。采用肋片分析中的各项假定。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热代入各个已知参数代入各个已知参数 13.314.0001.02 .581 .29HhHddhHAhPmHc由附录查得由附录查得 代入代入 计算式得：计算式得：5 .1113. 3chft7 .10415 .11505 .11100

58、ft）（7 . 41007 .1041Hftt可见，误差大，不允许。但如何减少？可见，误差大，不允许。但如何减少？ 长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热（2）如何降低测量误差即）如何降低测量误差即提高测温的准确性？提高测温的准确性？ 热阻定性分析图热阻定性分析图外界环境温度外界环境温度 代表储气筒外侧与环境间的换热热阻；代表储气筒外侧与环境间的换热热阻；3R21,RR3R套管外壁包覆绝热处理以增加套管外壁包覆绝热处理以增加 。HcA32,RR增加增加 ，增大，增大 ，减小，减小 和和 ；1Rh强化气体与顶端的换热，减小强化气体与顶端的换热，减小 ，增大

59、，增大 ；fHttHtt从物理角度分析：减小温差（使从物理角度分析：减小温差（使 或或 远离远离 ） 分别代表套管顶端与环境间的换热热阻。分别代表套管顶端与环境间的换热热阻。长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热 从数学角度分析：从数学角度分析：mHchttttffHH0HhHddhHAhPmHc0减小减小 就是要减小沿套管长度方向的温度降。在储气筒就是要减小沿套管长度方向的温度降。在储气筒外包覆隔热材料进行保温即是减小外包覆隔热材料进行保温即是减小 的措施。的措施。 增加增加 ，就是增大，就是增大 及及 ； 减小减小 和和 。 所以如果在铜与钢之间选择

60、的话，当然应选择钢。所以如果在铜与钢之间选择的话，当然应选择钢。 hH0mH0长春理工大学机电工程学院长春理工大学机电工程学院第三章第三章 稳态导热稳态导热综合以上物理及数学分析得出如下结论：综合以上物理及数学分析得出如下结论： 如果若想提高测量的准确性，应采取以下方法：如果若想提高测量的准确性，应采取以下方法：3R在储气筒外包覆保温材料（增加在储气筒外包覆保温材料（增加 ）。）。1R强化套管与流体间的换热（减小强化套管与流体间的换热（减小 ）；）；2R如果条件允许，尽量增加套管高度，并减小壁厚（增加如果条件允许，尽量增加套管高度，并减小壁厚（增加 热阻热阻 ）；）；2R选用导热系数更小的材料