曲面积分精解

1、第一节第一类曲面积分内容要点一、 第一类曲面积分的概念与性质定义 1 1 设曲面匕是光滑的,函数 f(x,y,z)在匕上有界,把匕任意分成 n 小块同时也表示第 i 小块曲面的面积),在上任取一点(,i, J,作乘积f(i,i,i.-Si(i =1,2- ,n)n并作和 f (i,i,i) .-：Si,如果当各小块曲面的直径的最大值 0 时，这和式的极限存在i 4则称此极限值为 f(x, y, z)在匕上第一类曲面积分 或对面积的曲面积分，记为nJJf (x,y,z)dS=pm 送 口,齐心)能(4.2)-0i 4其中 f (x, y,z)称为被积函数，二称为积分曲面.二、对面积的曲面积分的计

2、算法口 f (x, y, z)dS = fx,y,z(x, y) J +z(x,y)+z：(x, y)dxdy.(4.3)丈Dxy例题选讲dS2222例 1 1 计算曲面积分，其中 v 是球面 x y z a 被平面z二h(0：h：a)Zz截出的顶部.解 i 的方程为z = a2x2y2.二在 xOy 面上的投影区域 Dxy: (x,y)x2y2_a2-h2：ce . a=2 alnh例 2 2(E01E01)计算(x y z)dS,其中二为平面 y z二5被柱面x2y 25所截得Z的部分.又 z2zj,a2-x2-y2,利用极坐标十f ardrd &12血 q 十Ja22rdr22

3、=a. o3.0Da_rxya2_r2一丄 In (a2-r2)2a2-h210解 积分曲面 :z=5- y,其投影域Dxy二(x,y) x2 y2岂2$,10dS = J +z；+z：dxdy = (1+0 + (_1)2dxdy = J2dxdy,故(x y z)dS = 12 ! (x y 5 - y)dxdy = . 2 ! i (5 x)dxdyDxyDxy2昇5二、2 % dr (5 r cos)rdr 二 125 2 二.例 3 3 ( E02E02)计算lixyzdS,其中是由平面x=0, y=0,z = 0及 x，y z =1所围四面Z体的整个边界曲面.解如图(见系统演示)，

4、tpJxyzdS = J 广仃中+ JJ xyzdS.注意到在 11231123 上，被积函数 f(x, y, z) =xyz =0,故上式右端前三项积分等于零在二4上，z 二 1 -x-y,所以例 4 4 计算 xyzdS,其中 v 为抛物面z = x2 y2(0z1).解 根据抛物面 z = x2y2对称性，及函数| xyz |关于xOz、yOz坐标面对称，有11 xyzdS =4 i ixyzdS = 4 i ixy(x2y2) 1 (2x)2(2y)2dxdy二二Dxy= 402 dt0r2costsint1 4r2rdr = 202 sin2tdt；1 4r2dr1 ixyzdS =

5、 = . 3 xdx y(1 x -y)dy1-30 x (1-x)-* 1(1 - x3)=3 xdx063123y y23dxJ0(x3x2宀4曲嚅1匚125詬1- I du =-420立体的表面.11 xdS = xdxdy = 0,11 xdS =x. 1 1dxdy = 0, IDxy7 2Dxy31八32：y-x2)投影到zOx面上，得投影域: -1 _ x _1,0_ y _ x 1.JJxdS= JJxdS+ JjxdS = 2口xj1 + y 2 + y；dxdz 331 32Dzx= 2Hx：1+dxdz=2jDxz1 -x所以lixds =0 0二-二.i例 6 6( E

6、03E03)计算I i(x2y2z2)dS,匕为内接于球面 x2y2z2=a2的八面体Z|x| y |z|=a表面.解 被积函数 f (x,y,zx2y2z2关于三个坐标面和原点均对称积分曲面匕也具有对称性，故原积分 -.-8.,其中 : x y a(x,y,z 0),二在 xOy 面上的投影为 Dxy：0 乞 x 乞 a, 0 込 y 込 a - x,而z = a _x _y,所以dS =(1 +zj+z：dxdy =3dxdy.ii(x2y2z2)dS=8 i i(x2y2z2)dS15=4iU例 5 5 计算xdS,其中 v 是圆柱面x2- y2=1,平面 z = x 2 及 z =0

7、所围成的空间2 在xOy面上得投影域Dxy:x2y2胡.x 2dz =二：i= 8|x2y2(axy)2、3dxdyDxyy2 (a - x - y)2、3dy = 2.3a4.例 7 7 ( E04E04)求球面 x2y2z2=a2含在圆柱体 x2yax 内部的那部分面积解 由对称性知，所求曲面面积A是第一卦限上面积 人的 4 倍.2 2A 的投影区域Dxy: x +y兰ax(x,yO),曲面方程z = a2- x2- y2,故1 + z：+ z* = .a=x y2 2 2a _x _y31=4a2o2(si-1)d)-2二a2-4a2.例 8 8 设有一颗地球同步轨道卫星，距地面的高度为

8、 h =36000 km，运行的角速度与地球 自转的角速度相同试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径 R =6400 km).解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面 a 是上半球面倍半顶角为:的圆锥面所截得的部分.a的方程为zR2-x2- y2,它在xOy面上的投影区域Dxy:x2y2乞R2sin2:.于是通讯卫星的覆盖面积为2A =2二R (1 - cos：).简R2 R、2h将cosa =代入上式得A = 2兀R 1 - 2兀R-.R+h R+h丿R+hA由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为-”42.5%.4兀R2a

9、a_x 2叫dx0X所以A =4+ z：+zydxdy = 4 丁畀x2Dxy. a f x f y? acos日rdr =4a2dr 0 02 2x a - r2二角度的通讯Dxy由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔卫星就可以覆盖几乎地球全部表面课堂练习1当 a是xOy面内的一个闭区域时，曲面积分f(x,y,z)dS与二重积分有什么关S系？2 2 2 2 22计算(x y )dS,其中匕为锥面z -3(x y )被平面z = 0和z=3所截得的部分.3.求半径为a的球的表面积第二节第二类曲面积分内容要点一、 有向曲面：双侧曲面单侧曲面在科学幻想故事“一列名叫麦比乌

10、斯的地铁”中，故事情节围绕一列从波士顿地铁 系统中神秘消逝的第86 号列车而展开这个地铁系统前一天才举行通车仪式，但是现在第86 号却消失了，什么痕迹也没有留下事实上，很多人都报告说他们听到了列车在它们的正 上方或正下方飞驰的声音，但是谁也没有真正地看到过它当确定这列火车为止的所有努力都失败之后，哈佛的数学家罗杰图佩罗给交通中心打电话，并且提出了一个惊人的理论：这个地铁系统非常复杂，以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分，而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线面对极度惊愕的市政官员，他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性在经过一段时间一一确切地说是十星期

11、之后这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累二、 第二类曲面积分的概念与性质定义 1 1 设3为光滑的有向曲面，其上任一点(x, y,z)处的单位法向量n =cos：i 亠 cos :j cos k，又设 A(x,y,z) =P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k其中函数 P,Q,R 在二上有界，则函数vn=Pcos Qc o s Rco s则1上的第一类曲面积分iiv ndS = (Pcos：亠Qcos，亠Rcos )dS.(5.5)z z称为函数A(x,y,z)在有向曲面3上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面 Z：z=z(x,y)

12、，与平行于z轴的直线至多交于一点，它在xOy面上的投影区域为 Dxy,则R(x,y,z)dxdy 二 Rx, y, z(x, y)dxdy (5 9)ZDyz上式右端取“ + ”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定例题选讲第二类曲面积分的计算法例 1 1 (E01)(E01)计算曲面积分！)x2dydz - y2dzdx - z2dxdy,其中匕是长方体X；.；-( x, y, z) | 0 _ x _ a,0 _ y _ b,0 _ z _ c的整个表面的外侧.解 如图(见系统演示),把有向曲面 二分成六部分.除二 3, 74外，其余四片曲面在 yOz 面上的投影值为零，因此11x2dydz

13、 二 x2dydz 亠 x2dydz 二 a2dydz 02dydz = a2bc.113Z4DyzDyz类似地可得 11 y2dzdx 二 b2ac, 11 z2dxdy 二 c2ab.于是所求曲面积分为(a b c)abc.例 2 2 (E02)(E02)计算| ixyzdxdy,其中匕是球面x2y2z1外侧在x _ 0, y _ 0的部分.Z解 把 Y Y 分成 i i1 1和 Z Z2 2两部分:Zi i = =、.1 -x2-y2,三2：z2-1 -x2-y2,xyzdxdy二xyzdxdy亠iixyzdxdy：i5二 xy .1 -x2-y2dxdy - xy(-、1 - x2-

14、y2)dxdyDxyDxy=2 11 xy 1 - x2- y2dxdy 利用极坐标Dxy例 3 3 (E03)(E03)计算I i(z2 x)dydz - zdxdy,其中匕是旋转抛物面z = (x2 y2)/2介于平Z面z=0及z=2之间的部分的下侧.cos-解II(Z2x)dydz=(z2x)cos：dS = (z2x) dxdy.zZZcos在曲面匕上，有cos=Zx =xx.cos-1-1I i(z2x)dydz - zdxdy =(z2x)( _x) _ zdxdy=2 11 r2sin X1 -r2以yrdrdY21222兀2(22121=fj |x+_(x+ y ) dxdy

15、= ( d日r cos 0 +- rdr =8兀.I；2一I2丿课堂练习1当工是xOy面内的一个闭区域时，曲面积分JJ f (x, y,z)dxdy与二重积分有什么关系？2.计算曲面积分Axdydz ydzdx - zdxdy,其中匕为平面x=0, y=0, x，y，z = 1 Z所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧第二节咼斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理 1 1 设空间闭区域 I 由分片光滑的闭曲面 匕围成，函数 P(x, y,z)、Q(x,y,z)、 R(x, y, z)在门上具有一阶连续偏导数，则有公式M 生+皂十迅 dv=%Pdydz+Qdzdx+Rdxdy (6.1) 五 矽

16、往丿 z这里二是 11 的整个边界曲面的外侧，cos ,cos:,cos 是二上点(x,y,z)处的法向量的方向余 弦.(6.1)式称为高斯公式.若曲面 3 与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为 d =(PcoSf - Qcos,亠 Rcos )dS.门汶；:y：z、通量与散度 般地，设有向量场A(x,y,z)二 P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k ,其中函数P、Q、R有一阶连续偏导数，二是场内的一片有向曲面，n

17、是曲面二的单位法向量.则沿曲面2的第二类曲面积分：一A dS = A n dS二Pdydz Qdzdx Rdxdyi 称为向量场A通过曲面v流向指定侧的 通量.而称为向量场 A 的散度，记为 divA，即?曲+打扣2例题选讲利用高斯公式计算例 1 1 (E01E01)计算曲面积分$i(x -y)dxdy，(y-z)xdydz,其中匕为柱面x? y?= 1及Z平面Z =0, Z = 3所围成的空间闭区域-,1的整个边界曲面的外侧(图10-6-2)解 P =(y z)x, Q =0, R 二 x _y,汩=y _z, 0,=0,利用高斯公式，得 原式=111 (yz)dxdydz (利用柱面坐标)

18、= (r sin v-z)rdrdTdzsin v - z)rdz例 2 2( E02E02)计算Ii(z2- y)dzdx (x2- z)dxdy,其中 3 为旋转抛物面 z=1-x2-y2在z0_z_1 部分的外侧.解 作辅助平面 a:z=0,则平面 a 与曲面 a围成空间有界闭区域1.1,11由高斯公式得(z2-y)dzdx (x2-z)dxdyZ(z2- y)dzdx (x2- z)dxdy -(z2- y)dzdx (x22二-20d0dr0divA 二兰卫空xcy(6.5)-z)dxdy2rdz nx d-Dxy122二12 2二+0(1一)d0r cosrdr二例 3 3(E03

19、E03)计算II(X2COSX y2co z2cos )dS,其中为Z锥面x2 y2二z2(0 - z - h), cos,cos :,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦览(-2)dv- . .(x;._1- z)dxdy解 补充平面:1：z = h(x2y2h2),取 Zi 的上侧，则，Zi 构成封闭曲面, 设其所围成空间区域为 于是! !(x2cos二 亠y2cos“1z2cos )dS=2 111 (x y z)dvQh= 2JJdxdyJ(x + y+z)dzxyDxy2222応 _h2214zdz= (h2_x2_ y2)dxdy d o(h2_r2)rdrh4.Dxy2y2cos

20、：z2cos )dSz2dxdy二h2dxdy二:h4,/1Dxyh=2dxdy ,y2DxyI| (x2cos：I I(x2co sZy2cos z2cos)dSTh4h4-h4.+：:y.v.u :v: u .vd c cc f I例 4 4 (E04E04)证明：若工为包围有界域0的光滑曲面，则MvddVTJvdS-M.:u；:v.x；:x上卫上二 dV；y :y；z :z其中 旦为函数u沿曲面匕的外法线方向的方向导数,u,v 在门上具有一阶和二阶连续偏导数，符号L+_d_+兰称为拉普拉斯算子.这个公式称为格林第一公式.y:z因为证cos.c:xcos： cos =1 u n， 其中 n

21、 =cos _：/cos :,cos 是 在点(x,y,z)处一 n :xjy；z的外法线的方向余弦，于是iivdS = vCu n)dS =(v，u n)dS；0S + V 型 icos P +! V濯cos dSI czvudv.:u1.y :y:z :z将上式右端移至左端即得所要证明的等式 通量与散度例 5 5 ( E05E05)求向量场 r =xi u yj : zk 的流量穿过圆锥 x2 y2乞 z2(0 乞 z 乞 h)的底(向上);(2)穿过此圆锥的侧表面(向外)解 设 S“S2 及 S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q =，r dS = divrdv=

22、3 ji | dv - :h3.SVV(1)穿过底面向上的流量Q_! = r dS 二 zdxdy 二 hdxdy = h3.x2y2空2x2-y2z2z(2)穿过侧表面向外的流量Q2=Q _Qi= 0.课堂练习1.利用高斯公式计算2 2 2Il(x -yz)dydz (y -xz)dzdx (z -xy)dxdy,S亠其中 S 为球(x a)2 (y b)2 (z-c)2=R2面的外侧.第四节斯托克斯公式 环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广， 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面Z Z 的曲面积分与沿 二的边界曲线-的

23、曲线积分之间的联系. .分布图示斯托克斯公式例 1例 2例 3空间曲线积分与路径无关的条件三元函数的全微分求积环流量与旋度例 4例 5例 6斯托克斯公式的向量形式向量微分算子内容小结课堂练习习题 11-7返回内容要点一、斯托克斯公式定理 1 1 设为分段光滑的空间有向闭曲线，二是以为边界的分片光滑的有向曲面，】的正向与三的侧符合右手规则，函数 P(x, y,z),Q(x,y,z),R(x,y, z)在包含曲面匕在内的一个 空间区域内具有一阶连续偏导数，则有公式空-卫 dydz dzdx dxdy =：Pdx Qdy Rdz.(7.1)V :y工；z:-X:-X:-yL公式(7.1)称为斯托克斯

24、公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：dydzdzdxdxdy11&即dz=”Pdx +Qdy +RdzPQR利用两类曲面积分之间的关系,斯托克斯公式也可写成co coS coSrl、y exQP Q二、 空间曲线积分与路径无关的条件三、 环流量与旋度设向量场A(x,y,z)二 P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k,则沿场 A 中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分-=:c Pdx 亠 Qdy 亠 Rdz称为向量场 A 沿曲线 C 按所取方向的 环流量.而向量函数称为向量场 A 的旋度，记为 rot A，即旋度也可以写成如下便于记忆的形式:dS =c”P

25、dx +Qdy + Rdz. R:P-y迅 cQf-.，:x x92例题选讲利用斯托克斯公式计算例 1 1 ( E01E01)计算曲线积分：|j_zdx + xdy+ydz,其中 f f 是平面 x+y+z=1 被三坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则解按斯托克斯公式，有由于 v 的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知Ildydz dzdx dxdy = 3 iid,i3所以fzdx xdy ydz -例 2 2 计算曲线积分：.(y2- z2)dx (z2- x2)dy (x2- y2)dz,其中】是平面x y z =3/2 截立方体：0 乞

26、x 乞 1, 0 乞 y 乞 1, 0 乞 1 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向解 取为题设平面的上侧被丨所围成部分，则该平面的法向量n -1,1,33,即cos：二cos：二cos；=13,1322y -z13:y22y -x13:z22x - ydS = -2 3 . 3dxdy二送Dxy四、向量微分算子rot A二-zdx xdy ydz二11dydz dzdx dxdy,fDxy原式dS可=k_.:zRi -.:xpdiv(gradu)五 + 込1+心： :y.z=2y 4x -6y = 4(x _ y).例 3 3(E02E02)计算:(y2- z2)dx - (x2- z2)dy - (x2y2)dz,式中是r2 2 2 2 2x 亠 y 亠 z 2Rx,x 亠 y 2rx(0 : r : R,z . 0).此曲线是顺着如下方向前进的：由它所包围在球面 x2y2z2=2Rx 上的最小区域保持在左方.解由斯托克斯公式，有原式=2 11( y-z)cos篇川-(z-x)cos：(x-y)cos dS= 2ii(z-y)dS(利用对称性)=zdS = Rcos dSff f2= Rdxdy二Ri id；=：r R.瓦xy2rx例 4 4 求矢量场 A=x2i -2xyjz2k 在点