全等三角形竞赛试题(含答案)

1、-WORDB式一可编辑一1.2.3.4.5.全等三角形提高练习如图所示， ABC组A ADE , BC的延长线过点 求/ DEF的度数。如图， AOB 中，/ B=3 0OB交于点C （ A'不在OB上），则/ A' CO如图所示，在 ABC中，/ A=90 度数是多少？E, / ACB= /AED=10 5O顺时针旋转52° ,得到 的度数为多少？C,/ B=50D'-jSA'B'OD、E分别是AC、BC上的点，若4 ADB EDBAA如图所示， 把 ABC绕点C顺时针旋转35则/ A=已知，如图所示,B得到 A' B' C,

2、A' B'交AC于点D,若/EDC ,则/ C(EA A DC=90ADB'A'B且 AB+AC+BC=50cm,而 AB+BD+AD=40cm ,则 AD 是多少?C CB6. 如图，Rt A ABC中，/ BAC=90 ° , AB=AC ,分别过点 B、C作过点 A的垂线 BC、CE,垂足分别为 D、E,若 BD=3 , CE=2 ,则 DE= BtDA7.如图，AD是 ABC的角平分线， DE ± AB , DF ± AC , 垂直吗？证明你的结论。垂足分别是E、F,连接EF,交AD于G,EF EAD与E/g8.如图所示，在

3、 ABC中，AD为/ BAC的角平分线, 28cm 2,AB=20cm , AC=8cm ,求 DE 的长。DE，AB 于BDE , DF，AC于F , ABC的面积是ACD-WORDB式一可编辑-9.已知,求证:如图： AB=AE , / B=/ E, / BAC=/ EAD , / CAF= / DAF ,AF± CD10.如图,AD=BD ,11.如图所示，已知,证：B E ± AC12. DAC、 EBCA D± BC于D, BEX AC于E, AD与BE相交于点 H,则BH与AC相等吗7为什么? / J” AAD 为 ABC均是等边三角形,(3) CMN

4、为等边三角形D的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF=AC , FD=CD ,求 AAF、BD分别与 CD、CE交于点 M、N,求证：(1) AE=BD (4) MN / BCDC(2) CM=CNEM N13.如图所示，已知 ABC和 BDE都是等边三角形，下列结论：AE=CD; BF=BG; BH 平分/ AHD;/ AHC=60A. 3个;BFG是等边三角形； FG / AD,其中正确的有(B. 4 个 C. 5 个D. 6 个14.已知:BD、CE是 ABC的高，点F 在 BD 上，BF=ACA G ± AF15. 如图：在 ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上

5、的高,FAD B，点G在CE的延长线上,CG=AB ,求证:GBE上截取BBD=AC ,在CF的延长线上截取CG=AB ,连结 AD、AG求证：(1) AD=AG(2) AD与AG的位置关系如 何CBD H且/ DAE=/FAE 求 a17.如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上, 证：AF=AD-CFABC中，AB=AC , D是CB延长线上一点,18.如图所示，已知求证：AC=BE+BCADB=60,E是AD上一点,19.如图所示，已知在AEC 中,/ E=90,AD 平分/ EAC ,DDFXAC,垂足为 F, DB=DCDE=DB,BC,求证：BE=CF20.已知如图

6、： AB=DE,直线AE、BD 相交于 C , / B+/ D=180,AF / DE ,交 BD 于 F,求证：CF=CDABF如图,OC是/ AOB的平分线,P是OC上一点，PD± OA于D, PE± OB于E, F是OC上一点,DF和EF,求证:DF=EFCF22.已知:如图,(2) 点D在/BF± AC 于点 F,A的平分线上CEXAB于点E,且BD=CD ,求证:(1 ) BDEA CDF23.如图，已知 的距离是多少?AB /CD, O是/ ACD与/ BAC的平分线的交点， OE，AC于E,且OE=2 ,则AB与CD之间24.如图，过线段 AB的两个

7、端点作射线 画/ MAB、/ NBA的平分线交于E(1)Z AEB是什么角？AM、BN,使AM / BN,按下列要求画图并回答:(2)过点E作一直线交 AM于D,交BN于C,观察线段 DE、CE ,你有何发现?EBCN(3)无论DC的两端点在 AM、BN如何移动，只 要理由。DC经过点 E,AD+BC=AB;AD+BC=CD谁成立？并说 明AD25.如图， ABC的三边 AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将一ABC分为三个三角形、则 ABO BCO CAO等于?:SABCD 中，AC、BD 交于 O,26 .正方形则/ EOF=90° ,已知 AE=3, CF=

8、4, SBef为多少?BF27 .如图，在RtA ABC中，/F, BE / AC交AF的延长线于ACB=45E,求证:,/ BAC=90BC垂直且平分,AB=AC，点D是AB的中点，AF XCD于H ,交BC于 DEACEPBD E28 .在 ABC 中,/ ACB=90当直线当直线MN绕点C旋转到图的位置时,MN绕点C旋转到图的位置时,直线MN求证：求证：经过点C ,且AD，MN于D , BE ± MN于E DE=AD+BEDE=AD-BE(3)关系。当直线MN绕点C旋转到图的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量CCENDB2E空1EDABN-WOR

9、DB式-可编辑-1 解： ABC AED ./ D=/ B=50 ° / ACB=105 ° . / ACE=75 °/ CAD=10 °/ ACE=75 ./ EFA= / CAD+ /ACE=85 ° (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) 同理可得/ DEF= / EFA- / D=85° -50 ° =35 °2根据旋转变换的性质可得/B' =/ B ,因为 AOB绕点O顺时针旋转52° ,所以/ BOB' =52 , 0而/A'CO是 B' OC的外角，

10、所以/ A' CO=/ B' +/ BOB ',然后代入数据进行计算即可得解.解答：解：: A' OB'是由 AOB绕点O顺时针旋转得到，/B=30° , / B' =/ B=30 ° , AOB绕点O顺时针旋转52。， / BOB' =52 , / A' CO 是 B' OC 的外角， ./ A' CO=/B' +/ BOB' =30° +52° =82. ° 故选D.3全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理.分析：根据全等三角形的性质

11、得出/A= / DEB= / DEC, / ADB= / BDE= / EDC ,根据邻补角定义求出/DEC、/ EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可.解答： 解：: ADB EDB EDC ,. / A= / DEB= / DEC , / ADB= / BDE= / EDC , / DEB+ / DEC=180 ° , / ADB+ / BDE+EDC=180 °, . / DEC=90 ° , / EDC=60 ” ,./ C=180 ° -/ DEC- / EDC , =180 0 -90-60=30.4分析：根据旋转的性质，可得知/ACA

12、' =35 ,。从而求得/ A'的度数，又因为/A的对应角是/ A',即可求出/ A的度数.解答：解：.三角形ABC绕着点C时针旋转35° ,得到 AB' C' / ACA' =35 ° , / A'DC=90 ° / A' =55 ” , / A的对应角是/ A即/ A= / A / A=55;故答案为：55 ° .点评：此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置 移动.其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变.解题的关键

13、是正确确定 对应角.5因为AB=AC 三角形 ABC是等腰三角形 所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因为AD垂直于BC于D ,所以 BC=2BD BD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6 解：; BD ± DE, CE± DE ./ D=/ E / BAD+ / BAC+ / CAE=180 ° 又BAC=90 ” , / BAD+ / CAE=90 ° .在 RtA ABD 中，/ ABD+ / BAD=90 ° ./ ABD= / C

14、AE 在 ABD与人CAE 中 / ABD= / CAE / D=/ EAB=AC. ABD CAE （ AAS ） .BD=AE , AD=CEDE=AD+AE .DE=BD+CE . BD=3 , CE=2 .DE=57证明：: AD是/ BAC的平分线 ./ EAD =/ FAD又,: DE± AB , DF ± AC ./ AED =/ AFD = 90°边AD公共 RtA AED 应 RtA AFD （ AAS ） . AE = AF即 AEF为等腰三角形而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线 AD，底边 EF（等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边

15、上的高的重合（简写成“三线合一 ”）8 AD 平分/ BAC ,则/ EAD= / FAD , / EDA= / DFA=90 度，AD=AD所以 AED AFDDE=DFSA ABC=S AED+S AFD28=1/2（AB*DE+AC*DF）=1/2（20*DE+8*DE）DE=29AB=AE , / B= / E, / BAC= / EAD则 ABC AEDAC=AD ACD是等腰三角形 / CAF= / DAFAF平分/ CAD 则 AF ± CD10 解：; AD ± BC . / ADB = / ADC = 90 / CAD+ / C = 90: BEX AC

16、./ BEC =/ ADB = 90 / CBE+ /C = 90 ./ CAD =/ CBE; AD = BD . BDH ADC （ ASA ） . BH = AC11 解：（1）证明：; AD ± BC （已知），.二 / BDA= / ADC=90 ° （垂直定义）， / 1 + / 2=90 ° （直角三角形两锐角互余）在 RtA BDF 和 RtA ADC 中，RtA BDF 应 RtA ADC （ H.L ）./ 2=/ C （全等三角形的对应角相等）/ 1 + / 2=90 ° （已证），所以/ 1 + / C=90° ./ 1

17、+/ C + / BEC=180 ° （三角形内角和等于180。）， . / BEC=90 ° . . BE ± AC (垂直定义)；12证明：(1) . DAC、 EBC均是等边三角形， . AC=DC , EC=BC , / ACD= / BCE=60 , / ACD+ / DCE= / BCE+ / DCE ,即/ ACE= / DCB . 在 ACE和 DCB中， AC=DC / ACE= / DCB EC=BC . ACE DCB ( SAS). . AE=BD(2)由(1)可知： ACE DCB , ./ CAE= / CDB ,即/ CAM= / C

18、DN . DAC、 EBC均是等边三角形， . AC=DC , / ACM= /BCE=60 °.又点 A、C、B 在同一条直线上， ./ DCE=180 ° -/ ACD- / BCE=180 ° -60 ° - 60 ° =60 ° ,即/ DCN=60 °. . / ACM= / DCN .在 ACM 和 DCN 中，/ CAM= /CDN AC=DC / ACM= /DCN . ACM DCN (ASA ). . CM=CN . 由(2)可知 CM=CN, /DCN=60 ° . CMN为等边三角形由知/

19、CMN= / CNM= / DCN=60 ° / CMN+ / MCB=180 ° . MN/BC13分析：(1)由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到 CAN MCB ,结论得证；(2)由(1)中的全等可得/ CAN= / CMB ,进而得出/ MCF= / ACE ,由ASA得出 CAE CMF ,即 CE=CF ,又ECF=60 ° ,所以 CEF为等边三角形.解答： 证明：(1) . ACM , CBN是等边三角形， . AC=MC , BC=NC , / ACM=60 ° , / NCB=60 ” , 在 CAN和 MC

20、B中，AC=MC , / ACN= / MCB , NC=BC , . CAN MCB ( SAS ), .AN=BM .(2) CAN CMB , . / CAN= / CMB , 又./ MCF=180 ° -/ ACM- / NCB=180 ° -60 ° - 60 ° =60 ° , . / MCF= / ACE , 在 CAE和 CMF中，/ CAE= /CMF , CA=CM , / ACE= / MCF , . CAE CMF ( ASA ), . CE=CF , . CEF为等腰三角形， 又./ ECF=60 ° ,

21、. CEF为等边三角形.点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够掌握弁熟练运用. 14考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 ；旋转的性质.分析：由题中条件可得 ABE CBD ,得出对应边、对应角相等，进而得出BGD BFE , ABF二 CGB ,再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论.解答： 解：ABC 与 BDE 为等边三角形，AB=BC , BD=BE , / ABC= / DBE=60 ° , . / ABE= / CBD ,即 AB=BC , BD=BE , / ABE= /CBD . ABE 9、CBD , . A

22、E=CD , / BDC= / AEB ,又/ DBG= / FBE=60 ” ,BGD 9、BFE , . BG=BF , / BFG= / BGF=60 , . BFG是等边三角形， . FG / AD ,; BF=BG , AB=BC , / ABF= / CBG=60 , . ABF 9、CGB , ./ BAF= /BCG , / CAF+ /ACB+ /BCD= /CAF+ / ACB+ / BAF=60 °+60° =120 ° , . AHC=60 ” ,.一/ FHG+ / FBG=120 ° +60 ° =180°

23、 , B、G、H、F四点共圆， FB=GB , ./ FHB= /GHB , BH 平分/ GHF , .题中都正确.故选D.点评：本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握.15考点：全等三角形的判定与性质.分析：仔细分析题意，若能证明 ABF 9、GCA ,则可得 AG=AF .在 ABF和 GCA中，有BF=AC、CG=AB 这两组边相等，这两组边的夹角是/ABD和/ ACG ,从已知条件中可推出/ ABD= / ACG .在RtAAGE中，/ G+ /GAE=90 ° ，而/ G= / BAF ,则可得出/GAF=90 ° ，即 AG

24、±AF .解答：解：AG=AF , AG ±AF .: BD、CE分别是 ABC的边AC , AB上的高. . / ADB= / AEC=90 ° ./ ABD=90 ° -/ BAD , / ACG=90 ° -/ DAB , . / ABD= / ACG在 ABF 和 GCA 中 BF=AC / ABD= / ACG AB=CG . . ABF GCA (SAS) . AG=AF/ G= / BAF又 / G+/ GAE=90 度. / BAF+ /GAE=90 度. . / GAF=90 ° . AG ± AF .点评

25、：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题， 考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广.161、证明：; BE ± AC ./ AEB =90 / ABE+ / BAC = 90; CF± AB ./ AFC =/ AFG =90 / ACF+ / BAC = 90, / G+ / BAG = 90 ./ ABE =/ ACF; BD = AC , CG=AB . ABD GCA ( SAS) . AG = AD2、AG ± AD证明 ABD 9、GCA ./ BAD =/ G ./

26、GAD =/ BAD+ / BAG = / G+ / BAG =90 . AG ± AD17过E做EG ± AF于G ,连接EF: ABCD是正方形./ D=/ C=90 °AD=DC / DAE= / FAE , ED ±AD , EG ± AF . DE=EGAD=AG E是DC的中点 . DE=EC=EG; EF=EF RtA EFGRtA ECF . GF=CF . AF=AG+GF=AD+CF18 因为：角 EDB=60 DE=DB所以： EDB是等边三角形，DE=DB=EB过A作BC的垂线交BC于F因为： ABC是等腰三角形所以：B

27、F=CF , 2BF=BC 又：角 DAF=30 °所以：AD=2DF又：DF=DB+BF所以：AD=2 ( DB+BF ) =2DB+2BF=【2DB+BC (AE+ED ) =2DB+BC ,其中 ED=DB所以：AE=DB+BC , AE=BE+BC19补充：B是FD延长线上一点；ED=DF (角平分线到两边上的距离相等)；BD=CD ;角EDB=FDC (对顶角)；贝U三角形 EDB全等CDF ;贝U BE=CF ;或者补充：B在AE边上；ED=DF (角平分线到两边上的距离相等)；DB=DC则两直角三角形EDB全等CDF ( HL )即 BE=CF20 解：= AF/DE.

28、 / D= / AFC/ B +Z D=180, / AFC + / AFB=180./ B= / AFB. AB=AF=DEAFC 和 EDC 中：/ B=/ AFB, / ACF= / ECD(对顶角),AF=DE. AFCEDC /.CF=CD-WORDB式一可编辑-21证明：二.点 P在/ AOB的角平分线 OC上，PE± OB, PD ± AO ,. PD=PE , / DOP= / EOP , / PDO= /PEO=90 , . . / DPF= / EPF ,在 DPF和 EPF小PD=PE/ DPF= / EPFPF=PF（AS），DPF A£P

29、F. DF=EF . Xi!）22考点：全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得 BED CFD;（2）连样AD .利用t 1）中的 BED CFD，推知全等三角形的对应边 ED=FD ,因为角平分线上的点 到角的两山的距离相等彳所以点D D在/ A的平分线上.解答：证明：（1） BF，AC , CE± AB , / BDE= / CDF （对顶角相等），. / B= / C （等角的余角相等）；在 RtA BED 和 RtA CFD 中，/ B= / CBD=CD（已知）/ BDE= / CDFBED 9、CFD （ASA ）;（2）连接AD

30、 .由（1）知， BED CFD , . ED=FD （全等三角形的对应边相等）， . AD是/ EAF的角平分线，即点 D在/ A的平分线上.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质.常用的判定方法有：ASA , AAS , SAS, SSS , HL等，做题时需灵活运用.23考点：角平分线的性质 .分析：要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点O作FG± AB ,可以得到 FG± CD,根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG ,即可求得 AB与CD之间的距离.解答： / jft解：过点O作FG± AB ,v AB / CD , /厂 / BFG+/FGD=1

31、80 ° , / BFG=90 ° ，广 n *7 f . / FGD=90 °” . FG± CD ,二 FG就是AB与CD之间的距离.: O为/ BAC , / ACD平分线的交点， OELAC交AC于E, . OE=OF=OG (角平分线上的点，到角两边距离相等)， AB与CD之间的距离等于 2?OE=4 .故答案为：4 .点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键.24考点：梯形中位线定理；平行线的性质 ；三角形内角和定理；等腰三角形的性质.专题：作图题；探究型.分析：(1)由两直线平行

32、同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出/1 + / 3=90° ,再由三角形内角和等于180° ,即可得出/ AEB是直角的结论；(2)过E点作辅助线EF使其平行于AM ,由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系；(3)由(2)中得出的结论可知 EF为梯形ABCD的中位线， 可知无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要 DC经过点E, AD+BC的值总为一定值.解答：解：(1) ; AM / BN , / MAB+ /ABN=180 ° ,又AE , BE分别为/ MAB、/ NBA的平分线， / 1+/ 3= 12(/ MAB+ / ABN

33、) =90 ° , ./ AEB=180 ° -/ 1-/ 3=90 ° ,即/ AEB为直角；(2)过E点作辅助线 EF使其平行于 AM ,如图则EF / AD / BC , ./ AEF= / 4, / BEF= /2,/ 3= / 4, / 1= / 2 , ./ AEF= / 3, / BEF= / 1 ,卜.I/mr J ".AF=FE=FB , J,''. F 为 AB 的中点，艮,，EF / AD / BC ,根据平行线等分线陟画得到 卜E为DC .中点，. ED=EC ;、+(3)由(2)中结论可知，无论 DC的两端点在A

34、M、BN如何移动，只要DC经过点E,总满足EF为梯形 ABCD中位线的条件，所以总有 AD+BC=2EF=AB .25点评：本题是计算与作图相结合的探索.对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形 性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求.如图， ABC的三边 AB , BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将-WORDB式-可编辑- ABC 分为三个三角形，则Saabo : Sabco : SA cao等于()A .1:1:1B .1:2:3C. 2:3:4D .3:4:5考点：角平分线的性质.专题：数形结合.分析：利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是 20, 30, 40,所以面积之比就是2: 3: 4.解答：解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式.做题时应用了三 个三角形的高时相等的，这点式非常重要的.26解：正方形ABCD; AB = BC , AO = BO = CO , / ABC = / AOB = / COB = 90, /