《推荐》考点09函数与方程-2018版典型高考数学试题解读与变式Word版含解析

1、典型高考数学试题解读与变式2018版考点9函数与方程【考纲要求】1 .结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存 在性及根的个数.2 .根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.【命题规律】函数与方程是高考题中一定出现的，一般是在选择题或填空题中考查，在解答题中也会出现与零点有关的问题.【典型高考试题变式】(一)判断零点所在的区间6一例1.12014北东卷】已知函数 f(X )= log 2 X ,在下列区间中，包含 f(X)零点的X区间是()A. 0,1B. 1,2C. 2,4D. 4,二【答案】C3【解析】因为f(2) =4-1 >0, f (

2、4) =2 <0 ,所以由根的存在性定理可知，故选2C.【名师点睛】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理.当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断； 当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.【变式1】【改变例题中的函数式】已知函数f (x) = 2x + 3 log2x,在下列区间中，包含f(x )零点的区间是()A. (-1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,4)B.【解析】因为f(1) = 1>0, f(2)=/

3、<0,所以由根的存在性定理可知，故选6【变式2】【改变例题中的结论】已知函数f(x) = - log2 X的零点的区间是X(k,k+ 1)(ke Z)则 k的值为.【答案】3【解析】作图可知函数f(x)的零点所在的区间是(3,4),所以k=3.【答案】1(二)判断函数零点的个数例2.12014福建卷】函数f（X ）= «广 2 一_x -2, x <02x - 6 + ln x,x > 0的零点个数是【解析】令x2 一2 =0得,x=±J2,只有x = J2符合题意；令2x 6 + lnx = 0得,62x=lnx,在同一坐标系内，画出 y =62x, y

4、 = ln x的图象，观察知交点有 1个，所以零点个数是2.J 尸一加y . ln(时-4*#«¥F 1«t【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极 值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性 等.一. .x2ix1.x_0,一 ,一【变式1】【改变例题中的函数式】函数 f(x) = «,的零点个数是2x-6 ln x, x 0i a【解析】因为x+l = g十一>0,所以XV。时函数/Q)无零

5、点3令2x6+lfl = 0得， 246-2K = In#,在同一坐标系内?画出尸=6-2兀尸=111元的图象，观察矢咬点有1个，所以零点个数是1-/ = 6 - 2 -X【变式2】【改变例题的结论】函数 f(X)=X _2，X-0的零点之和为.1 -ln x,x>0【答案】2 e【解析】令 x2 -2 =0得，x = ±42，只有x = -V2符合题意，即 = -V2 ；令1lnx=(W, x=e,所以函数f(x)的零点之和为2+e. I /-3 -2 VI o1.-l- /(三)函数的零点的运用例3.【2016山东卷】已知函数f(x)=lx|,x"m ,其中m&g

6、t;0 ,若存在实数x - 2mx 4m, x mb,使得关于x的方程f (x) =b有三个不同的根，则 m的取值范围是 .【答案】3, 二【解析】画出函数图象如下图所示：a由图所示，要f (x ) = b有三个不同的根，所以 m a m22m,m + 4m,m2 -3m > 0,解得m 3.【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式|x|, x<3f(x) =2 C 。x -2x, x . 3本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等【变式1】

7、【改编例题中的函数式，减少一个字母】已知函数 若关于x的方程f (x) =b有两个不同的根，则 b的取值范围是 【答案】0,二【解析】画出函数图象如下图所示:由图所示，要f (x ) = b有两个不同的根，则 b>0.【变式2】【改编例题中的函数式，减少一个字母】已知函数f(x) =|x|, x< m2x - 2x,x m其中mR,若关于x的方程f(x)=1恒有三个不同的根，则m的取值范围是【答案】1, .2)【解析】画出函数图象如下图所示:由72#=1得x = l土也,由图所示,要/(力=1有三个不同的根，贝心工8工1+0.【数学思想】 数形结合思想：借助函数图象，可以研究函数的

8、定义域、值域、单调性、奇偶性、对 称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x) = g(x)的解的个数、求不等式的解集等.分类讨论思想：画函数图象时，如果解析式中含参数， 还要对参数进行讨论， 分别画 出其图象.转化与化归思想【温馨提示】 函数的零点不是函数 y= f (x)与x轴的交点，而是y = f (x)与x轴交点的横坐标，也 就是说函数的零点不是一个点， 而是一个实数；并非任意函数都有零点， 只有f (x) = 0有根 的函数y = f(x)才有零点.连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分 条件，但不是必要条件.精确度不是近似值.【典例试题演练】

9、21.12017陕西渭南市检测】函数 f (x ) = lnx-的零点所在的大致区间是 ()x TA. 1,2 B.2,3C.3,4D.4,5【答案】B【解析】由题意可知由数fg的定义域为2)=加2-2<0和"3)二宿3-1>0,所 以2)3)<。，根据零点存在性定理，函数对=-一在区间仅3)上必存在零点，故选仇X12.12017山东省淄博市期末】设函数 f (x)=log2X_2。 g(x)=logix-2x的零点分2别为xi , x2 ,则下列结论正确的是()A. 0 ： x1x2 ：1 b.x1x2 =1 C. 1 ： x1x2 ： 2 D.x1x2 . 2【

10、答案】A1 VV【斛析】令 f(x) =0 得：10g2x = (-)，令 g( x) =0 得：10gl x = 2 , 22分别画出左右两边函数的图象，如图所示.由指数与对数函数的图象知：x2> 1>x1>0x 1 %11于有 10gl x= 2 > () = log 2x2= log 1 (一)，得 x1< 一，故选 A.2 o x2x2【答案】C,、.一2 一)4,53.12017陕西渭南市检测】函数 f (x ) = 1nx的零点所在的大致区间是 x -1A. 1,2 B.2,3C.3,4D.【答案】B【解析】由题意可知函数f(x)的定义域为(0,1上(

11、1,收)，f (2) = 1n22<0和f (3)=1n31a0,所以f (2)f (3)<0,根据零点存在性定理，函数 f (x)=1nx二一x -1在区间(2,3 )上必存在零点，故选 B. 2x.x < 04.12017北京市昌平区模拟】已知函数f(x) = :, ,若函数g(x)= f (x)k(x1 )x2,x 0恰有两个零点，则实数 k的取值范围是()A.-二，-1lj4, 二B.-二，-1U14, 二C. 1-1,0 U 4,二D.1-1,0 U 4 ,二【解析】g(x )= f (x )k(x1 )恰有两个零点，等价于 y = f (x )与y = k(x 1

12、 )有两个交点，同一坐标系，画出y = f (x)与y = k(x1)的图象，直线过(0,1)时，k = 1,直线与y=x2(x之0 ),相切时k=4,由图知， kw 1,0)2(4,十无)时，两图象有两交点,即k的取值范围是11,0 2(4,"),故选C.5.12016湖北黄冈市黄冈中学模拟】已知函数f (x) = x2ex+ln ta ,若对任意的 tw1,e,f(x)在区间-1,1总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是()A. 1,e1 (1 -,ee. (1,e1. 1 -,ee【解析】由题设即- a + h fX4 a + 汨。«。，由于白 >9, 故.一？

13、生 InrVa > 。一赵KM广且白一一之上却因尸二加，在L,o上单调递增，故月,所以，a e<0故1 +a- - > 1eL所以 <Q<,应选D.6.【2016湖南长沙市雅礼中学月考】已知方程| sin x | . .一. '=k在(0,十无)有两个不同的解a ,x3(a < 3 ),则下面结论正确的是(A.二 1 二tan I 二41 一二1 一二C.tan tan【解析】设 f(x)=sin x,g(x) =kx , f(x) = g(x)有两个交点 XA0如图,只有当第二个交点与f (x) =sinx的正半轴第二个波峰一段曲线相切才只有两个交

14、点，否 一 . 一一一 一, _3it _则目te大于或小于两个交点.于是：切点： f (x) = sin x =sin x , xwn,2f '(x) = -cosx ,设切点(P,-sinP),则 k = -cosP ,所以 一 C cosP = sin P ,所以1tan P = P ,所以 tan( B +)=用.41 - -7.12016江西南昌二中模拟】f(x)是定义在 R上的奇函数，且当 xW(0,n)时，f (x) =2016x +Iog20i6 x ,则函数f (x)的零点的个数是()A. 1B. 2C.3D. 4【答案】Cxx .【解析】作出函数y =2016 ,

15、y =log2016 x的图象，可知函数f (x) = 2016 +log2016 x 在xJ0, )内存在一个零点，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在x (7,0)上只有个零点，又f (0) = 0,所以函数f(x)的 零点个数数是3个，故选C.| log 3 x |,0 :二 x - 38.12016湖南衡阳市第八中学月考】已知 f(x) = 1 210工 ，a,b,c,d是互不x 一 x 8, x 333相同的正数，且f(a)= f(b) = f(c) = f(d),则abcd的取值范围是(A. (18,28) B . (18,25) C .(20,25) D . (21

16、,24)【答案】D110g 3X|,0 ： x _ 3【解析】先画出f(x) =<1 2 10 c c的图象，如图：根据题意a,b,c,d互不相同，-x 一 一 x 8, x 3 33不妨设a<<b<c.且 f (a) = f (b) = f(c) = f(d) f ( a ),3<c<4, d>6.二一 log3a = log3b, c+d =10,即 ab = 1, c + d=10,故2abcd =c(10c) = -c +10c,由图象可知：3< c< 4,由二次函数的知识可知：32 +10父3< -c2 +10c< -

17、42 +10父4,即2化-c2 +12c< 24,故abcd的范围为(21,24).故选D.9.12017陕西西安市长安区第一中学模拟】已知y= f (x)为R上的连续可导函数，当 乂丰f x10时f '(x) +70 ,则函数g(x)=f (x)十一的零点个数为()xxA. 1B. 2C. 0D. 0或 2【答案】C【解析】因为当耳卢。时，/力+/包0一二、(')+八又)0,要求关于«的方程2十=。的 xjcx根的个数可转化成切(动+1=。的根的个数，令同2=切(2+1当XA。时， 渣+/£即户(力在3)上单调递增f当源o时，切工2十/必 。即F(幻

18、在(-8,0)上单调递减而y =/动为R上的连续可导的函数，虫动+1=。无实数根，故选C.lnx10.12017河南林州市第一中学倜研】设函数f (x )=，关于x的方程f(X)f +mf (x)-1 =0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是()A11A. (-,e-) B. (e- ，二) C. 0,eD.1,eee【答案】B1 一 lnx【斛析】f'(x)=2,所以当xe时，f (x)<0,当0<x<e时，f(x)0, x1所以f (x)在(0,e上单倜递增，在(e,收)上单倜递减，所以fmax (x )= f (e )=-， e作出f (x)的大致函数图象如

19、下：11 一 .由图象可知当0<k< 时，f(x)=k有两解，当卜90或卜=一时，£(乂)=卜有一解，12当 k a 时，f (x ) = k无解，令 g(x )= x +mx1 ,则 g( f (x)有二个零点，一11所以g(x )在(0,一)上有一个零点，在(m,0 U上有一个零点，ee因为g(x)的图象开口向上，且 g(0)= -1,所以g(x )在(一00 ,0)上必有一个零点，1 .一 1m .一1所以 g(_) >0 ,即-2 + -1 > 0 ,解得 m >e - ,故选 B. ee ee11.12017河南豫南九校联考】 若关于x的方程2

20、x33x2+a=0在2,2上仅有一个实根，则实数a的取值范围为()A.-4,0 U 1,28 1 B. 1-4,0 U 1,28 1 C.1-4,28D.-4,28【答案】B【解析】设函数 f (x )=2x3 -3x2 +a，则 f '(x )=6x 2-6x =6x x( T ),易得 f ( x)在 (0,1)上递减，在【-2,0),(1,2】上递增，又因为f(2)=-28 + a, f (0)=a , f (1 )= T+a, f (2) = 4 + a，因为关于x的方程2x33x2+a = 0在2,2上仅有一个实根，所以一28十aE0E_1+a 或 a<0E4+a ，解

21、得 aw S,0 卜(1,28,故选 B.12.12017福建莆田第六中学模拟】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，xf (x ) = (x+1 )e ,则对任息m= R ,函数F (x )= f (f (x -m的手点个数至多有()A. 3 个B. 4个C. 6个D. 9个【答案】A【解析】当x<0时，f'(x ) = (x+2 )ex,由此可知f(x )在(一°°,一2 )上单调递减，在 (-2,0单调递增，f (2 )=e； f (1 )=0,且 f (x p 1,又 f (x )在 R 上的奇函数，f (0 )=0，而xw (巴1 )时，f(x)<0,所以f(x)的图象示意图如图所示，令 t = f( x),则t51,1 )时，方程f (x) = t至多有3个根，当t1,1)时，方程f (x)=t 没有根，而对任意mwR,方程f ( x)= m至多有一个根tw (-1,1),从而函数 F (x )= f (f (x ) m的零点个数至多有 3个，故选A.1 一13.12017河北唐山市摸底考】 设x0是方程q)x=Jx的解，则x0所在的范围是 .一 1 1【答案】(1,-)3 2【解析】构造函撇/G=_6，所以0)= gy 一网=1 >。，/(3=4);4='一(久0