《信号与系统》第九章拉普拉斯变换【最经典的奥本海默信号与系统.

1、第9章拉普拉斯变换The Laplace Transform本章基本内容:1.双边拉普拉斯变换;双边拉普拉斯变换的收敛域;5.系统函数；6.单边拉普拉斯变换;3双边拉普拉斯变换的性质；9.0引言Introduction傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统 分析中如此有用， 很大程度上是因为相当广 泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组 合， 而复指数函数是一切LTI系统的特征函 数。傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即 以“加和加为基底分解信号的。对于更一2/7般的复指数函数 L 和z ,也理应能以此为 基底对信号进行分解。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本 章及下一章要讨论的中心问题。通

2、过本章及下一章，会看到拉氏变换和z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要 性质， 不仅能适用于用傅里叶变换的方法可 以解决的信号与系统分析问题， 而且还能解 决傅里叶分析方法不适用的许多方面。 拉氏 变换与z变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。9.1拉普拉斯变换The Laplace Transformsi复指数信号O是一切连续时间LTI系统的 特征函数。如果LTI系统的单位冲激响应 为则系统对幺“产生的响应是：y(0 =H(s)es,其中Hs)= h(t)es,dt显然当s =ja)时，就是傅里叶变换.一.双边拉氏变换的定义：X(s)=匸兀W力称为兀的双边拉氏变换，其

3、中S = b + jCD若b = o , s= M则有：XO)= rx(t)e-ja),dtJ 00这就是x(/)的傅里叶变换。即：CTFT是双边拉普拉斯变换在7 = 0或是在。，3 复平面上的j 3轴上的特例。由于X(s)=曲片一衍=疋尢“怀衍= FM)厂所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，X0的拉氏变换就是兀(/比-6的傅里叶变换.只 要有合适的 b 存在，就可以使某些本来不满 足狄里赫利条件的信号在引入 厂。后满足该 条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的 拉氏变换存在。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性.，Xe-(a+(T)e-j0),dt01 1=-=-,o ajco+ (a +(

4、(r)s + a即eatu(t)-, Re5 -aS + dIf d = 0时，x(Z) )=u(t)可知“(Z)厶Re$0ea,u(t=w 一5刃=例2. x(r) =-e-atu(-t)求信号的拉氏变换 要求a0 ,信号x(f)才有傅立叶变换存在X(s)=I一 严u(T)edt - eedtJGOJ-QC要求a +(T0时，积分式才收敛一、1 1X(5)=- =-, a -ajco + (a + a) s + a即 wZ)幺一-,Reas + a分析：1、比较例1和例2的两个信号，它们的拉 氏变换的代数表示式是一样的，但使这 个代数表示式成立的S域却不相同。结论：给出一个信号的拉氏变换时，

5、代 数表示式和使该表示式成立的变量s的范 凰都应给出。2、拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。3、使拉氏变换积分收敛的复数S的范 围，称为拉氏变换的收敛域，简记为ROC o (Region of Convergence )4.不同的信号可能会有完全相同的拉氏 变换表达式，只是它们的收敛域不同。5.只有拉氏变换表达式连同相应的收敛 域，才能和信号建立对应的关系。6.如果拉氏变换的ROC包含加轴，则 有X()=X(s)s=j二.ROC的表示方法：(复平面)有理函数X (S)的ROC的性质:1) X(s)的ROC在s平面内由

6、平行于Im“轴的带状区域组成;2)右边信号的ROC在s平面的右半部;3)左边信号的ROC在s平面的左半部;例1的ROC例2的ROC4)双边信号的ROC带状区域;若曲）是右边信号、在ROC内， 则有绝对可积，即：（卩x （r ） e （zd t oo若6巧，则J；卜严0=”（/）严叫心叫力严5）竽”（少鬥力00表明 5 也在收敛域内，右边信号的R0C在极 点的右边。若X是左边信号，定义于（-込丁, 5）在ROC内，5v b（）,贝U表明 6 也在收敛域内.左边信号的ROC在最 左极点的的左边df = Jx(t)e_8xt)eadr v8dtX(s)= featesrdt=丄1厂3叩 必s + a

7、l a0-I6-显然x（s）在 $ = _口也有一阶零点，由于零 极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。例2兀=e卿x(f) =ehtu(t) + ehtu(-t)ato-b:1eNu(-t) -，Re5 0时，上述ROC有公共部分；X ($) = !-! -b Re$ -1此时班)是右边信号。2) ROC: Rej-2此时兀是左边信号。3) ROC：-2Re5-l此时)是双边信号9.2拉氏变换的性质Properties of the LaplaceTransform拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要 的性质。这里只着重于ROC的讨论。1线性(Linearity ):若旺X(s),ROC: &

8、amp;X2(/)X2(5),ROC:R2则aXj(Z) +bx2(t) aX |(s) + bX 2($)ROC包括RRR例:X=7771可以形成三种ROC:例西(/) =(/)+05()x2(t)= -“(/)1 $ + 2X.(5)= l + =-, ROC :cr -15 + 1$ + 1X2(S)=S+ 1ROC :b 1而xI(r)+x2(/) = -2$ + 2elu(t)分一-,Re $ - 1s +1由线性性质：X($)=-,Re$-l5+25+1“0-2.时移性质(Time Shifting):若H/)ox(s),ROC：/?则x(/-Fo)oX($)wf,ROC不变3.

9、S域平移(Shifting in the s-Domain ):若ROC:/?x(t)eSQtX( (5-50),ROC:7? + RC50)表明XGp）的ROC是将X的ROC平移 了 一个Rc%,例.x(t) = elu(r),X($) = . cr-l5 + 10-x(/)严:宀-X-1o-11i卩5 + 3(J5-30显然X(s+4.时域-丄5+l 2$ + l22可见： 若信号在时域尺度变换， 其拉氏变 换的ROCROC:/?a-lROC:aR a例.x(z)在S平面上作相反的尺度变换。特例x(-r) o X(s)，ROC:R5.共辄对称(Conjugation )性：若x(r) -l

10、 +1*2( ($) )= 看 7 一，ROC: R、=(J 一2(s+ 2)(s + 3)显然有：RD尼=一1X心)x?(s)=(鳥八，b-2, ROC扩大($ + 2)(s + 3)原因是XQ)与禺($)相乘时，发生了零极点 相抵消的现象。当被抵消的极点、恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大.7.时域微分：(Differentiation in theTime Domain )若兀oX(s),ROC:/?贝如HSXG),dtROC包括R，有可能扩大.8. S域微分：(Differentiation in the s-Domain )若x(/)oX($), ROC:/?贝U -怯分警kR

11、OC:/?as例.求x(t) = teatu(t)的拉氏变换 eatul)o ROC：b-as + a 今-2(丄)二一ROC:a-aV 7ds s + aJ(s + a)29.时域积分：(Integration in the Time Domain )若x(r)今X(5),ROC:Rr11则x(r)dr-X($)7 J00gROC：包括Rn(Res0)证明：.fx(r )dr = x(t)* w(r)J ocROC :包括/?n(Re(510)10.初值与终值定理：(The Initial- and Final- Value Theorems)条件(因果信号)：卩0例：已知因果信号4)的拉氏

12、变换2s2+ 5$ + 1 X(T)dT丄X(s)J 00cX(s) =求x(0 )和lim x(/)( ( + 1)( ( + 2)( (+ 3)Proof:t 00终值定理证： 40是因果信号，且在r = 0无奇异函数,Pdx(t)e_stdt =pe-dx(t)Jo+dtJo+f00=x(t)est:+ + s estx(t)dt0Jo+除了x($庇20可以有一阶极点外，其它极 点均在S平面的左半平面(即保证X有终 值)。 故$X(s)的ROC中必包含加轴。表明s的实部 c 可以大于零， 因My51；=-xo+) 辿2w“d/= x(o+)+ sX($)当STO时，Jodtj;讐厂力=r

13、如)=柬刃)-尤(0+). lim x(r) = limsX ($)r-oo$-09.3拉普拉斯反变换The Inverse Laplace Transform一.定义：由X(5)=x(t)esldt若0 = 7+沟在ROC内，则有：X(r +jco) = x(t)ee-ja)tdt = x(t)e:.x严=极点在S平面的分布与终值的关系2TTX (a + jco)eJ(,)tdco00 x(0 = xXQ +jco)emei(otdco = r X(s”da)2兀JY2兀YC由S = (7 + jco得ds = jdco当血 从 yotxo 时，$ 从cr-jcocr + jooI L+ /x. x(t) =-X(s)e ds2%j b-jg- G)的反变换拉氏反变换表明：X可以被分解成复振幅为JX($)d$2兀j的复指数信号幺刃的线性组合。二.拉氏反变换的求法：对有理函数形式的X求反变换一般有两 种方法，即部分分式展开法和留数法。部分分式展开法：1.将X(s)展开为部分分式。2根据x($)的ROC,确定每一项的ROC o3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性 质，对每一项进行反变换。ROC: 2 ROC: Res v _1 S(f)5 + 1 ROC: Re$ -2 o尸 s5+2例1X($) =