“数的整除”易错题集锦

1、数的整除”易错题集锦一 . 填空(1)100 以内 14 的倍数有 ( ),21 的倍数有 ( ) 它们的公倍数有 ( ),14 和 21 的最小公倍数是 ( ).(2)8 和 9 的最大公约数是 ( ), 最小公倍数是 ( ).(3)18 和 54 的最大公约数是 ( ), 最小公倍数是 ( ).(4) 三个质数的最小公倍数是 105,这三个数是 ( ),( ),( ).自然数 a 和 b,若 a 十 b=4,那么 a 与 b 的最小公倍数是().(6) A=2X3X3X5;B=2X2X3X5X11,那么 A 与 B 的最小公倍数是().(7) 如果 a,b 两数是互质数 , 那么它们的最大

2、公约数是 ( ), 最小公倍数是 ( ).(8) 如果甲数能被乙数整除 , 甲, 乙两数的最大公约数是 ( ).(9) 2 和 5 的公倍数特点是 ( ),2 和 5 的最小公倍数是 ( ).(10) 11 和 15 的最大公约数是 ( ). 最小公倍数是 ( ).(11) 48 和 16 的最大公约数是 ( ), 最小公倍数是 ( ).(12) 3,7 和 10 的最大公约数是 ( ), 最小公倍数是 ( ).(13) 7,21 和 42 的最大公约数是 ( ), 最小公倍数是 ( ).二. 判断下面各题.正确的在()里画V,错误的在()里画”X.(1) 如果两个数互质 ,那么它们没有公约数

3、和最大公约数 ( ).(2) 两个不同的质数一 定是 互质数 .( )(3) 两个合数一定不是互质数 .( )(4) 互质的两个数一定都是质数 .( )(5) 互质的两个数的乘积是它们的最小公倍数 .( )(6) 两个自然数的积 ,一定是这两个数的公倍数 .( )(7) 两个数的公约数一定比这两个数都小 .( )(8) 两个数的积 ,一定是这两个数的最小公倍数 .( )三. 选择. 将正确答案的题号写在括号内(1)自然数 a 除以自然数 b,商是 5,那么 a 和 b 的最小公倍数是().1ab5b(1)若 a,b,c 都是自然数,a 十 b=c,那么().1a 是 b 和 c 的最大公约数.

4、2a 是 b 和 c 的最小公倍数.3b 是 c 和 a 的最大公约数.4a 是 a,b,c 的最小公倍数.5b 和 c 都是 a 的约数.6b 是 a 和 b 的最大公约数.四 . 实际应用1. 从四月一日开始 , 小明的妈妈每 4 天休息一天 , 他的爸爸每 6 天休息一天 , 等爸爸妈妈全休息 时, 全家一起去公园玩 , 那么最早要到几日小明全家才能一起去玩分析:小明爸爸和妈妈全都休息的时间既是 4 的倍数 ,也是 6 的倍数, 也就是 4 和 6 的公倍数 . 题目中要求最早全家到公园去玩 , 因此爸爸 ,妈妈的共同休息日应该是 4 和 6 的最小公倍数 . 解:4, 6=12答:最早

5、要到 4 月 1 2 日小明全家才能到公园玩 .2. 人民公园是 1 路,3 路,8 路汽车的起点站 .1 路汽车每 3 分钟发一辆车 ,3 路汽车每 5 分钟发 一辆车,8路汽车每 6 分钟发一辆车 .1,3,8 路汽车在 8 时 55 分同时各出发一辆汽车后 ,求下一 次这三路汽车又在同一时刻发车是几时几分 .分析:解答此题的关键 ,是要先求出这三路汽车从 8 时 55 分同时各发出一辆汽车后 ,到下一次 又在同一时刻发车 , 经过多少时间 , 显然 , 经过的时间应该是 3,5,6 的最小公倍数 . 解:3,5,6=30 8 时 55 分+30分=9 时 25 分 答:下一次这三路汽车又

6、在同一时刻发车的时间是9 时 25 分.3.一种长方形的木板条 ,长 64 厘米,宽 40 厘米,用这样的木板条拼成一个正方形,至少需长方形木板多少板分析 :解答此题的关键是要先求出正方形木板的边长 . 由于长方形木条不能横截或竖截 , 所以正方形的边长应是长方形木条的长 （64） 和宽 （40） 的公倍数 , 以它们公倍数做边长 ,就能保证拼成的是正方形 . 而题目问 至少需要长方形木条多 少块 , 要满足这个条件 , 就要使拼成的正方形的边长尽可能的小 , 从而可知 , 拼成的正方形木 板的边长应是长方形木板条的长和宽的最小公倍数 .解:64,40=2X2X2X8X5=320（320-64

7、）X（320-40）=5X8=40（ 块）或320X320-（64X40）=102400 - 2560=40（ 块）答 : 至少需要长方形木块 40 块 .4. 一次野营会餐时 , 每两人合用一只饭碗 , 三人合用一只菜碗 , 四人合用 1 只汤碗会餐时共用 了 65只碗. 问参加会餐的一共有多少人分析:参加会参的人 ,一定是 2 的倍数,也是 3 的倍数,同时也是 4 的倍数,那么参加会参的一定 是能同时被 2,3,4 的整除 ,也就是参加会餐的人是 2,3,4 的公倍数 .而 2,3,4 的最小公倍数是 12. 参加会餐的人是12 的倍数 .12 十 2=6（只）.饭碗12 十 3=4（只

8、）.菜碗12 十 4=3（只）.汤碗1 2 个人共用了 6 只饭碗,4 只菜碗,3 只汤碗,即 12 人共用 6+4+3=13（只）饭. 由于会餐时共用了 65 只碗,是 13 只饭碗的 5 倍,因此参加会餐的人也一定是 12 的 5 倍. 解:2,3,4=1212 -2=6（只）12 十 3=4（只）12 十 4=3（只）65 - （6+4+3）=65 - 13=512X5=60（ 人 ）答: 参加会餐的有 60 人 .5. 加工一种机器零件经过四道工序 , 第一道工序 , 平均每人每小时加工 16 个; 第二道工序平均 每人每小时加工 12 个;第三道工序 ,平均每人每小时加工 20 个;

9、第四道工序 ,平均每人每小时 加工 15 个. 每道工序至少要安排多少人才算合理分析:题目问题的意思是 ,费时的工序安排的人要多 ,省时的工序安排的人要少 . 使每道工序既 不出现有人无活干的现象 ,也不出现有活无人干的现象 . 最合理人员分配方案是 , 每道工序在 交给下一道工序零件时 , 正好接受上一道工序送来的零件 .因此, 每一道工序加工零件总数 ,应是每道工序平均每人每小时加工零件个数的公倍数 .题目 问每道工序至少安排多少人才最合理. 那么每一道工序加工的零件总数 , 应是每一道工序平均每人每小时加工零件个数的最小公倍数 .解:16,12,20,15=2X2X3X5X4=240第一

10、道工序应安排：240 十 16=15(人)第二道工序应安排：240 十 12=20(人)第三道工序应安排：240 十 20=12(人)第四道工序应安排:240 十 15=16(人)答：第一道, 第二道, 第三道, 第四道工序分别安排 15 人,20 人,12 人,16 人.6.有甲,乙两数,它们的最大公约数是 6,最小公倍数是 72,求甲,乙二数.解法一：72=2X2X2X3X3=2X2X(2X3)X3=4X6X34X6=246X3=18答：甲,乙二数分别是 24 和 18.解法二:72 - 6=1212=2X2X3因为 2 与 6(2X3=6)不是互质数，所以只有 4(2X2=4)与 3 才

11、是互质数6X4=246X3=18 答:甲,乙二数分别是 24 和 18.评析:解法一把甲 ,乙二数的最小公倍数分解质因数 ,从这个质因数连乘式中找出它们的最大 公约数 , 再组成一个连乘式 . 这个连乘式中除去有它们的最大公约数外 , 必须有两个互质数 . 用 这个两个互质数分别乘以它们的最大公约数 , 就可以求出这两个数 .解法二用甲 , 乙二数的最小公倍数除以它们的最大公约数 , 所得的商必是甲 , 乙二数取出最大 公约数后 ,所剩下的两个互质数的积 .因此,把所求得的商再分解质因数 ,并搭配成两个互质数 最后用这个互质数分别乘以它们的最大公约数 , 就可以求出这两个数了 .7. 父亲和儿

12、子年龄的最大公约数是 6, 最小公倍数是 462, 求父亲和儿子的年龄 .解: 462X6=27722772=2X2X3X3X7X11=(2X3)X(2X3)X7X112X3X7=422X3X11=66答 : 父亲 66 岁 , 儿子 42 岁.评析:解答这个问题 ,需要先掌握一个定理 :两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积 , 等于这两个数的乘积 . 根据这个定理 ,可知父亲和儿子的年龄的乘积是 :462X6=2772 把 2772 分解质因数 :2772=2X2X3X3X7X11已知父亲和儿子年龄的最大公约数是 6,6 是由质因数 2 和 3 相乘得到的 .这就是说 , 父亲的年 龄与儿子

13、年龄既有公约 2,又有公约数 3, 这就是他们年龄的乘积中有两个质因数 2 和两个质因 数 3 的道理 . 由此可知 , 父亲年龄的质因数分解式中 , 应有质因数 2,3 和 11, 儿子年龄的质因数 分解式中 , 应有质因数 2,3,7.2X3X11=66,2X3X7=42.经验算，66 和 42 的最大公约数是 6,最小公倍数是 462,符合题意. 于是可知 , 父亲年龄是 66 岁. 儿子年龄是 42 岁 .8. 有甲, 乙, 丙三个人 , 甲每分钟行走 120 米, 乙每分钟行走 100 米, 丙每分钟行走 70 米. 如果三 人同时同向 , 从同地出发 , 沿周长是 300 米的圆形

14、跑道行走 , 那么多少分钟以后 , 三个人第一次 相遇解:300 - （120-100）=300 - 20=15（分钟）300 - （120-70）=300 - 50=6（ 分钟 ）300 - （100-70）=300 - 30=10（分钟）15,6,10=2X5X3=30答:30 分钟以后 , 三个人第一次相遇 .评析: 解答这个题目首先要了解一个事实 : 当甲第一次追上乙时 , 则甲比乙正好多行一圈 （300 米 ）. 同样的 , 当甲第一次追上丙或乙第一次追上丙时 , 也是正好比丙多行一圈 . 由已知条件可知 , 甲每分钟比乙多行 20 米 , 几分钟甲比乙多行了 300 米呢从而可知

15、, 甲第一次追上乙要用 15 分钟 . 同理, 甲第一次追上丙要用 6 分钟, 乙第一次追上丙要 用 10分钟. 要求甲 , 乙, 丙三人多少分钟第一次在跑道上相遇 , 就是求 15,6,10 的最小公倍数 .9. 动物园的饲养员给三群猴子分花生 . 若只分给第一群 , 则每只猴子可得 12 粒; 若只分给第二 群, 则每只猴可得 1 5 粒;若只分给第三群 , 则每只猴子可得 20 粒. 那么平均分给三群猴子 , 每只 可得几粒解:12,15,20=2X2X3X5=60设共有几粒花生，n 是 60 的 m 倍,（m 为整数）则有 n=60m第一群猴子的只数是：60m* 12=5m;第二群猴子

16、的只数是：60m* 15=4m;第三群猴子的只数是 :60m* 20=3m三群猴子的总只数是 :5m+4m+3m=12m60m- 12m=5（粒）答: 平均分给三群猴子 , 每只可得 5 粒.评析 : 解题时有些同学束手无策 , 原因是花生总数及猴子总数的不确定性 . 解决这个难点的办 法 , 可以用字母表示数 .设共有花生几粒 , 由题意可知 , 花生的总数 n 应是 12,15 和 20 的公倍数 . 三个数的公倍数必定 是它们最小公倍数的倍数.12,15,20 的最小公倍数是 60.因此花生粒数 n 应是 60 的倍数.设 n 是 60 的 m 倍.知道花生的总粒数 , 又知道每只猴子分

17、别的粒数 , 就可以求出三群猴子每群有多少只 , 再求三 群猴子的总只数 . 用花生的总粒数除以猴子的总只数就是问题所求 .在整个过程中 , 充分利用字母表示数 . 恰当地运用字母表示数 , 不但会给解题带来方便 , 而且对 今后的学习也是很有好处 .10学校买来 40 支圆珠笔和 50 本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多 4 支， 练习本多2 本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？11老虎和豹进行跳远比赛 ;老虎每次跳 米,豹每次跳 米,它们每秒只跳一次 .比赛途中 ,从起 点开始 , 每隔 米设有一个陷阱 . 它们之中谁先掉进陷阱一个掉进陷阱时另一个跳了多远？12已知

18、两个自然数的和为54, 它们的最小公倍数与最大公倍约数的差为 114, 求这两个自然数. （这两个自然数为 24 和 30. ）13有甲, 乙, 丙三种溶液 , 分别重 36 千克 ,48 千克和 24 千克. 现要将它们全部分别装入小瓶 中, 每个小瓶装入液体的重量相同. 问: 每瓶最多装多少千克？14甲校和乙校有同样多的同学参加数学竞赛, 学校用汽车把学生送往考场 . 甲校用的汽车 ,每车坐 15 人,乙校用的汽车 ,每车坐 13 人,结甲校比乙校少派一辆汽车 .后来每校各增加一个 人参加竞赛 , 这样两校需要的汽车就一样多了 . 最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛 , 乙 校又要比甲校多派一辆汽车 . 问最后两校共有多少人参加竞赛？（最后甲乙两校共有 1 84 人参加竞赛 .）15大雪后的一天 ,