Ch3.1-3(动量 角动量及其守恒定律)

1、第三章第三章 动量动量 角动量及其守恒定律角动量及其守恒定律(Momentum, Angular Momentum and Their Conservative Law) 在外力作用下，物体的运动状态会发生变化。同在外力作用下，物体的运动状态会发生变化。同时力作用于物体往往还有一段持续时间，或一段持时力作用于物体往往还有一段持续时间，或一段持续距离。这就是力对时间和力对空间的累积作用。续距离。这就是力对时间和力对空间的累积作用。这两种累积作用使物体的动量（角动量）、动能或这两种累积作用使物体的动量（角动量）、动能或能量发生转移。在一定条件下，系统的动量（角动能量发生转移。在一定条件下，系统的动

2、量（角动量）或能量将保持守恒。动量（角动量）守恒和能量）或能量将保持守恒。动量（角动量）守恒和能量守恒定律不仅适用于力学，而且适用于物理学的量守恒定律不仅适用于力学，而且适用于物理学的其他运动。其他运动。本章主要学习动量定理及动量守恒定律。本章主要学习动量定理及动量守恒定律。3-1 质点的质点的动量定理动量定理 (Principle of momentum of particles)一、一、 冲量（冲量（Impulse）由于由于dtPdF 所以所以PddtF dtF表示力的时间累积，表示力的时间累积，叫叫 dt 时间内合外力时间内合外力F的冲量。的冲量。（1）力）力 是恒力是恒力F)(12tt

3、FI 冲量是一个矢量，常用冲量是一个矢量，常用 表示。它表征了力对时间的表示。它表征了力对时间的累积效应。累积效应。一段时间的冲量：一段时间的冲量：IFtt1t2O（2）力）力 是变力是变力F在很短时间间隔在很短时间间隔 ti 内，内，iF可以看成恒力可以看成恒力iiitFI 在在 t1 t2 时间内时间内 iiiiitFII 21lim0 max 0ttiiitidtFtFItitit2t1tFiF(t)O , , 212121 ttzzttyyttxxdtFIdtFIdtFI直角坐标的分量形式：直角坐标的分量形式：这表明：质点所受合外力的冲量等于系统动量的增量。这表明：质点所受合外力的冲量

4、等于系统动量的增量。2 2）积分形式）积分形式对对微分形式微分形式作积分，即作积分，即 2121ppttPddtF令令 21ttdtFI则有则有12PPI 力对时间的累积作用力对时间的累积作用 = = 动量增量动量增量 （原因）（原因） （效果）（效果）二、二、质点的动量定理质点的动量定理1 1）微分形式）微分形式PtFdd 动量定理的微分式动量定理的微分式动量定理的积分式动量定理的积分式由动力学的基本方程由动力学的基本方程tPFdd 3）碰撞碰撞 (1)(1)冲力冲力 碰撞过程中物体间相互作用时间极碰撞过程中物体间相互作用时间极短，在这一过程中，短，在这一过程中，相互作用力相互作用力很大，而

5、且往往随时很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为间变化，这种力通常称为冲力冲力。tPPttdtFFtt 121221tPtPPttdtFFtt 121221若若冲力冲力很大很大, ,其它外力可忽略时其它外力可忽略时, ,则则若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时, ,则则 是是合外力的平均。合外力的平均。F(2)平均冲力平均冲力 冲力对碰撞时间的平均值冲力对碰撞时间的平均值OFF1t2tt4）动量定理分量形式动量定理分量形式1221PPdtFItt 的分量式为：的分量式为：xxttxxPPdtFI1221 1221yyttyyPPdtFI 1221zzttzzPPdtFI 即系统所受合外力

6、的冲量在某一方向上的分量等于即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。系统动量在该方向上分量的增量。 例题例题1 一质量为一质量为 0.2kg 的皮球，向地板落下，以的皮球，向地板落下，以 8m/s 的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，的速率与地板相碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为接触时间为 10-3s。求：。求：(1) 地板对球的平均作用力；地板对球的平均作用力；(2) 比较冲力的冲量和重力的冲量。比较冲力的冲量和重力的冲量。解：解：(1) 取地板为参考系，取地板为参考系，y 轴向上为正，由轴向上为正，由12PPI 得：得：sm.k2 . 32)(

7、1121221gmvmvmvPPFdttt N)(3200102 .3321 tFdtFtt(2) 在计算在计算 21dtttF时时 F 应为合外力，除冲力外还有重力，应为合外力，除冲力外还有重力，在在(1)(1)计算中忽略了重力。若考虑重力，则应有：计算中忽略了重力。若考虑重力，则应有：mgFFFF 冲冲重重冲冲kgm/s 202. 3d3213100100 mgdtdtFtFtt冲冲求冲力的步骤：求冲力的步骤：1. 选物体确定研究对象，分析力；选物体确定研究对象，分析力；2. 确定物体的始末状态，列矢量方程；确定物体的始末状态，列矢量方程；3. 用解析或几何方法解方程；用解析或几何方法解方

8、程；4. 用牛顿定律求出代求的力。用牛顿定律求出代求的力。 例题例题2 已知：已知：60 ,05. 0 , stvv求：求：FvmvmvmtF Oxyvv ,/5 ;20. 0smvkgm 解：解：以球为研究对象，设墙对球的平均作用以球为研究对象，设墙对球的平均作用力为力为 ，由动量定理得：，由动量定理得：F建立图示坐标系，将上式沿建立图示坐标系，将上式沿 x 轴和轴和 y 轴分解：轴分解：xxxmvmvtF yyymvmvtF 由图知：由图知： sin ,sinvvvvxx cos ,cosvvvvyy 因而：因而： sinsinmvmvtFx 0 )cos(cos mvmvtFy cos2

9、mv Oxyvv 故：故：0 xFtmvFy cos2)(2005. 052 . 0Ntmv 由牛顿第三定律，球对墙的作用力和由牛顿第三定律，球对墙的作用力和 Fy 大小相等，大小相等，方向相反方向相反另解另解（几何法）几何法）vv v vmtf 由图知：由图知：|vv | vmtf tvmf / |0 内内if一、质点系的一、质点系的内力与外力内力与外力 对一个质点系，系统内各质点之间的相互作用力对一个质点系，系统内各质点之间的相互作用力称为内力，系统外物体对系统的作用力称为外力。称为内力，系统外物体对系统的作用力称为外力。13f12f3F2F1F3m2m1m21f31f23f32f质点系所

10、有内力之和为零：质点系所有内力之和为零：内内力力 ; , ; , ; ,322331132112ffffff外力外力 , , ,321FFF3-2 质点系的质点系的动量定理动量定理 (Principle of momentum of particles system)二、二、质点系的动力学方程质点系的动力学方程 N 个质点的质点系个质点的质点系 m1、m2、.mN，第，第 i 个质点个质点的位矢为的位矢为 ，受力为受力为 ，动量为，动量为 ，则动力，则动力学方程为学方程为irifdtrdmPiii dtPdfffiiii 外外内内对对 N 个质点的个质点的动力学方程求和，得动力学方程求和，得

11、NiiNiiNiidtPdff111外外内内dtPdF 外外 NiiNiiNiidtPdff111外外内内因为因为01 Niif内内令令外外外外FfNii 1 合外力合外力PdtdPdtddtPdFNiiNii )(11外外 NiiPP1 系系统的总动量统的总动量 质质点系的动力学方点系的动力学方程程 上式表明：质点系所受合外力等于系统总动量的变化上式表明：质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。内力可改变一个质点的动量，对系统动量的改变无率。内力可改变一个质点的动量，对系统动量的改变无贡献。贡献。这表明：系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量。这表明：系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量。

12、（2 2）积分形式）积分形式对对微分形式微分形式作积分，即作积分，即 2121ppttPddtF外外令令 21ttdtFI外外则有则有12PPI 力对时间的累积作用力对时间的累积作用 = = 动量增量动量增量 （原因）（原因） （效果）（效果） 注意注意 整个系统整个系统 相对同一参考系相对同一参考系 iiFF外外2）质点系的动量定理质点系的动量定理（1 1）微分形式）微分形式PtFdd 外外 动量定理的微分式动量定理的微分式动量定理的积分式动量定理的积分式3-3 动量守恒定律动量守恒定律(conversation law of momentum)（1669年（荷兰）惠更斯年（荷兰）惠更斯 C

13、. Huygens）对质点系，由对质点系，由dtPdF 知，当知，当0 F时时0 dtPdConstant PConstant11 iNiiNiivmP 动量守恒定律动量守恒定律应用动量守恒定律时应注意：应用动量守恒定律时应注意：1. 系统的选择是任意的，内、外力也是相对的系统的选择是任意的，内、外力也是相对的(合理合理 选择系统选择系统)2., 0 iF有以下几种情况：有以下几种情况：a. 不受外力；不受外力；b. 外力矢量合为零；外力矢量合为零；c. 内力内力 外力。外力。内力不改内力不改变动量变动量0 F时，时，Constant P并不意味着每个质点的动量并不意味着每个质点的动量不变，在

14、内力的作用下，每个质点一般均不断改变不变，在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和保持不变，即内力不改变着其动量。但总的动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。总动量，这一结论与内力的性质无关。3. 若若,0 iF质点系动量守恒，但分动量可以交换。质点系动量守恒，但分动量可以交换。6. 各速度应是相对同一惯性参考系各速度应是相对同一惯性参考系4. 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解：动量和力是矢量，可沿坐标轴分解：Fx=0 Px=常常 量；量；Fy= 0，Py= 常量；常量；Fz= 0，Pz= 常量。常量。5. .此处动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿

15、此处动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿 定律更早出现，应用的范围更广泛。定律更早出现，应用的范围更广泛。如宏观领域、如宏观领域、 微观领域、量子力学、相对论。微观领域、量子力学、相对论。7. 动量守恒反映了物理规律的空间平移不变性。动量守恒反映了物理规律的空间平移不变性。 例题例题1 质量为质量为 M 的木块在光滑的固定斜面上由的木块在光滑的固定斜面上由 A 点静止下滑，经路程点静止下滑，经路程 l 后到后到 B 点时，木块被一水平射点时，木块被一水平射来速度为来速度为 v 的子弹的子弹 m 击中，子弹射入木块中，求射中击中，子弹射入木块中，求射中后二者的共同速度。后二者的共同速度。解：解

16、：分为两个阶段：分为两个阶段： 第一阶段：从第一阶段：从 A 运动到运动到 B，匀加速运动匀加速运动 sin2glvB )sin ,2(202 gaasvvt 第二阶段：碰撞阶段第二阶段：碰撞阶段取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，内力内力 外力，可用动量守恒定律求近似解外力，可用动量守恒定律求近似解 0ixiixivmvmAB gMNgmvxl可解得：可解得：mMglMmvV sin2cos解题步骤：解题步骤：1. 分清过程，分为不同阶段；分清过程，分为不同阶段；2. 对不同阶段，利用不同规律，求解。对不同阶段，利用不同规律，求解。 对

17、碰撞过程：对碰撞过程： 选系统；选系统； 明过程；明过程； 分析力；分析力； 审条件；审条件； 列、解方程。列、解方程。VmMMvmvB)(cos AB gMNgmvxlgMNyxL gmuO 例题例题2 质量为质量为 M，仰角为，仰角为 的炮车发射了一枚质的炮车发射了一枚质量为量为 m 的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为 u ，不，不计摩擦，求：计摩擦，求：(1) 炮弹出口时炮车的速率炮弹出口时炮车的速率 v1；(2) 发射炮发射炮弹过程中，炮车移动的距离弹过程中，炮车移动的距离 ( 炮身长为炮身长为 L )。 解：解：() 选炮车和炮选炮车和炮弹为系统，地

18、面为参考弹为系统，地面为参考系，系统所受外力为系，系统所受外力为 N ，Mg，mg 都沿竖直都沿竖直方向，水平方向合外力方向，水平方向合外力为零，系统总动量为零，系统总动量 x 分分量守恒。设炮弹相对于量守恒。设炮弹相对于地面的速度为地面的速度为 v2gMNyxL gmuO由由 x x 方向的动量守恒可得方向的动量守恒可得021 xmvMv由相对速度的概念可得由相对速度的概念可得12vuv 得得12cosvuvx 0)cos(11 vumMv 解得解得 cos1umMmv “”号表示炮车反冲速度与号表示炮车反冲速度与 x 轴正向相反。轴正向相反。（）若以（）若以 u(t) 表示炮弹在发射过程中

19、任一时刻，炮表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率 cos)()(1tumMmtv 设炮弹经设炮弹经 t1 秒秒出口，在出口，在t1 秒秒内炮车沿水平方向移动了内炮车沿水平方向移动了 cos)(cos)(001LmMmdttumMmdttvStt 例题例题3 质量分别为质量分别为 m1 和和 m2 的两人的两人 A、B 在光滑在光滑的水平冰面上用绳子彼此拉对方。开始时两人静止对的水平冰面上用绳子彼此拉对方。开始时两人静止对立，相距为立，相距为 L，它们在何处相遇，它们在何处相遇? 解：解：水平方向受水平方向受合力为零，该方向合力为零，该方向动量守恒。动量守恒。选两人为系统，选两人为系统，A 所在处为坐标原点，向右为正，任所在处为坐标原点，向右