高等代数考研复习[欧氏空间]

1、高等代数考研复习高等代数考研复习 第九章第九章 欧氏空间欧氏空间 201 2014 4年年 8 8月月 第九章第九章 欧氏空间欧氏空间本章主要内容为两部分本章主要内容为两部分： (1)(1)欧氏空间的概念与标准正交基；欧氏空间的概念与标准正交基；(2)(2)正交变换与对称变换正交变换与对称变换. .1 1 欧氏空间的概念与标准正交基欧氏空间的概念与标准正交基1.1 1.1 欧氏空间的概念欧氏空间的概念(1)(1)内积：内积：设设V是是实数域实数域R上的线性空间，如果对上的线性空间，如果对V中任意中任意两个元素两个元素 有一个确定的实数有一个确定的实数 与之对应，与之对应，且满足：且满足： ()

2、交换性交换性 ()数量性数量性 () 分配性分配性 () 非负性非负性 当且仅当当且仅当 时取等时取等号号.则称这种对应关系为则称这种对应关系为V上的内积，记为上的内积，记为 , ( ,) ( ,)( , ); (,)( ,),;kkkR (, )( , )( , ); ( , )0; 0( ,) (2) 欧氏空间：定义了内积的线性空间欧氏空间：定义了内积的线性空间V称为欧称为欧式空间式空间.常见的欧式空间有：常见的欧式空间有： ) 对于实向量对于实向量内积为内积为 ) 对于对于多项式对于对于多项式f(x),g(x),内积为内积为 (3) 柯西柯西-布涅科夫斯基不等式布涅科夫斯基不等式nR12

3、12( ,),( ,),nna aab bb1 12 2( ,).nnaba ba b P x10( ( ), ( )( ) ( ).f x g xf x g x dx设设 是欧氏空间是欧氏空间V中任意两个元素，则中任意两个元素，则 当且仅当当且仅当 线性相关时取等线性相关时取等号号.(4) 长度与夹角长度与夹角 长度长度：设：设V是欧氏空间，对任意的是欧氏空间，对任意的 非负非负实数实数 称为向量称为向量 的长度，记为的长度，记为长度为长度为1的向量称为单位向量的向量称为单位向量.如果如果 则则称为称为 的单位化向量的单位化向量.长度有以下性质：长度有以下性质： , |( ,)| |, ,

4、,V( , ) |( , ). 0| a) 当且仅当当且仅当 时取等号；时取等号； b) c) 夹角夹角：欧氏空间：欧氏空间V中向量中向量 的夹角的夹角 定定义为义为正交正交：如果欧氏空间：如果欧氏空间V中向量中向量 的内积为零，的内积为零，即即 则称则称 与与 正交，记为正交，记为 | 00|;kk| |., , ( ,)cos,0,.| , ( ,)0, . 非零向量组非零向量组 如果满足如果满足则称则称 是正交向量组是正交向量组. a)正交向量组一定是线性无关的；正交向量组一定是线性无关的； b) 若若 是正交组，则是正交组，则 c) 如果如果 则则12,n (,)0,().ijij 1

5、2,n 12,n 1212| |.nn,222| .1.2 度量矩阵度量矩阵 1)定义：设定义：设V是是n维维 欧氏空间，欧氏空间， 是是V的一组基，称矩阵的一组基，称矩阵为基为基 的度量矩阵的度量矩阵. 2) 度量矩阵的性质度量矩阵的性质12,n 111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnA 12,n a) 设设 在在n维欧氏空间维欧氏空间V的基的基 下的下的坐标分别为坐标分别为则则 其中其中A是基是基 的度量矩的度量矩阵阵.特别当特别当 是标准正交基时，是标准正交基时，A=E,则则 b) 度量矩阵是实对称矩阵，是正定矩阵度量矩阵是实对称矩阵，

6、是正定矩阵. c) 正交基的度量矩阵时对角矩阵，且主对角正交基的度量矩阵时对角矩阵，且主对角线上元素都大于零；标准正交基的度量矩阵是线上元素都大于零；标准正交基的度量矩阵是, 12,n 1212( ,) ,(,) ,nnXx xxYy yy( ,),X AY 12,n 12,n ( ,).X Y 单位矩阵单位矩阵. d) 不同基的度量矩阵是合同的不同基的度量矩阵是合同的.设设 与与 分别是分别是n维空间维空间V的两的两组基，其度量矩阵分别为组基，其度量矩阵分别为A,B，且，且则则1.3 标准正交基标准正交基 1) 定义：设定义：设 是是n维欧氏空间维欧氏空间V的一组的一组 12,n 12,n

7、1212(,)(,) .nnC .BC AC12,n 基，如果基，如果 两两正交，则称其为两两正交，则称其为V的正的正交基；单位正交基称为标准正交基交基；单位正交基称为标准正交基. 2) 标准正交基的有关结论：标准正交基的有关结论： a) 欧氏空间欧氏空间V的一组基是标准正交基的充分必的一组基是标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵是单位矩阵要条件是：它的度量矩阵是单位矩阵. b) 设设 是是V的标准正交基，如的标准正交基，如果果 则则 c) 设设 是是V的一组标准正交基，的一组标准正交基，12,n 12,nV 1212(,),(,) ,nnXY ( ,).X Y 12,n 12,n 且且

8、则则 也是也是V的标准正交基的标准正交基 T是正交矩阵是正交矩阵. d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基成一组标准正交基. 3) 标准正交基的求法：施密特标准正交基的求法：施密特(Schmidt)正交正交化方法化方法 1212(,)(,) ,nnT 12,n 题型分析：题型分析： 例例1 设设 是欧氏空间是欧氏空间V的基，证明：的基，证明： 1) 若若 使得使得 则则 2) 若若 对任意的对任意的 有有则则 例例2 设设 是是n维欧空间维欧空间V中一组向量，中一组向量，定义定义12,n V( ,)0,i 0.12,V V12( , )

9、(, ) 12.12,m 111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmm 证明：证明： 线性无关的线性无关的 是是例例3 证明证明： (1)n维欧空间维欧空间V中两组不同基的度量中两组不同基的度量矩阵是合同的；矩阵是合同的； (2) 任一任一n维欧空间都存在标准正交基维欧空间都存在标准正交基.例例4 设有设有n+1个向量个向量 A是一个是一个正定矩阵，如果满足：正定矩阵，如果满足： ) ) 12,m | 0. 12,nnR 0(1,2, );jjn0( ,1,2, ,);ijAi jn ij ） 与每一个与每一个 都正交都正交.证明：证明：例例5 设

10、设 是是3维欧空间维欧空间V的一组标准正交的一组标准正交基，证明：基，证明： 仍是仍是V的一组标准正交基的一组标准正交基.例例6 设设 是欧空间是欧空间V的一组标准正交的一组标准正交基，而基，而 且i0.123, 1123212311(22),(22),3331231(22)312345, 123(,)WL 11521243123,2,求求W的标准正交基的标准正交基. 例例7 设设 与与 是是n维欧空间维欧空间V中两个不同的向量，中两个不同的向量，且且 证明：证明： | | 1,( ,)1. 1.4 正交子空间正交子空间 1) 正交子空间的定义：设正交子空间的定义：设 是欧空间是欧空间V的两的

11、两个子空间，如果对任意个子空间，如果对任意 恒有恒有则称则称 与与 是正交的，记为是正交的，记为 如果如果 且对任意且对任意 有有 则称则称与子空间与子空间 正交，记为正交，记为 2) 正交子空间的有关结论正交子空间的有关结论： 12,V V12,VV( ,)0, 1V2V12.VV,V1,V( ,)0, 1V1.Va)b) 如果欧氏空间如果欧氏空间V的子空间的子空间 两两正两两正交，则交，则 是直和是直和. 3) 正交补的定义：设正交补的定义：设 是欧氏空间是欧氏空间V的两个的两个子空间，如果子空间，如果 且且 则称则称 是是的正交补，记为的正交补，记为 互为正交补互为正交补. 正交补的有关

12、结论：正交补的有关结论：12(,)( ,)0.miiL 1212(,)(,)(,)0.msjijiLL 12,sW WW12sWWW12,V V12VVV12VV2V1V12.VV12,V Va) 正交补存在与唯一性定理：有限维欧氏空间正交补存在与唯一性定理：有限维欧氏空间V的每一个子空间的每一个子空间W都有唯一的正交补都有唯一的正交补 且且 恰由所有与恰由所有与W正交的向量组成，即正交的向量组成，即b) 设设W是欧氏空间是欧氏空间V的子空间，则的子空间，则c) 求求 标准正交基的方法：取标准正交基的方法：取W 的一组标准的一组标准正交基正交基 将其扩充为将其扩充为V的标准正交基的标准正交基

13、,WW |,.WWW dimdimdim.VWWW12,r 11,rrn 则则例例1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组解空间解空间W在在 中的正交补空间中的正交补空间.例例2 设设V是是n维欧氏空间，维欧氏空间， 为为V中一个固定非零中一个固定非零向量，证明：向量，证明： (1) 是是V的一个子空间的一个子空间. (2) 1(,).rnWL1234123423405330 xxxxxxxx4R1 |( , )0,VxxxV1dim1.Vn例3 设 是n维欧空间V的两个子空间，且 证明： 中至少有一个非零向量正交于 中的一切向量.例4 12,V V12dimdim,VV2V1V 2 正交变换与对

14、称变换正交变换与对称变换2.1 2.1 正交变换的定义正交变换的定义 设设 是欧氏空间是欧氏空间V V的线性变换，如果它保持的线性变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的向量的内积不变，即对任意的 都有都有则称则称 是正交变换是正交变换. .2.2 2.2 关于正交变换的几个等价命题关于正交变换的几个等价命题 设 是欧氏空间V的一个线性变换，则下面A A,V ()( ,), A, AA, AA AA A四个命题相互等价：四个命题相互等价： (1) 是正交变换；是正交变换； (2) 保持向量的长度不变，即对任意的保持向量的长度不变，即对任意的 (3) 如果如果 是标准正交基，则是标准正交基，则

15、 也是标准正交基；也是标准正交基； (4) 在任何一组标准正交基下的矩阵是正在任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵交矩阵. A AA A,| |;VA A12,n 12,nAAAAAAA A说明：可以证明，保持内积不变的变换是线性说明：可以证明，保持内积不变的变换是线性变换，从而也使正交变换；保持长度不变的变变换，从而也使正交变换；保持长度不变的变换未必是线性变换，因此保持长度不变的变换换未必是线性变换，因此保持长度不变的变换未必是正交变换未必是正交变换.故故(1)与与(2)等价的前提是等价的前提是 是是线性变换线性变换. 2.3 正交变换是可逆的；正交变换的乘积与正交变换是可逆的；正交变换的

16、乘积与正交变换的逆变换仍然是正交变换正交变换的逆变换仍然是正交变换. 正交变换正交变换在任何一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵在任何一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵， A A其行列式等于正负其行列式等于正负1，行列式为，行列式为1的正交变换称的正交变换称为第一为第一 类的，或旋转；行列式为类的，或旋转；行列式为-1的正交变换的正交变换称为第二类的称为第二类的.2.4 对称变换的定义对称变换的定义 设设 是欧氏空间是欧氏空间V的线性变换，如果对任意的线性变换，如果对任意 都有都有 则称则称 是是V的对的对称变换称变换.如果如果 则称则称 是是V的反的反对称变换对称变换.A A,V ()( ,)

17、, A,AA,AA A()( ,), A,AA,AA A2.5 对称变换的有关结论对称变换的有关结论 (1) 对称变换的特征值都是实数；反对称变对称变换的特征值都是实数；反对称变换的特征值都是零或纯虚数换的特征值都是零或纯虚数. (2) 对称变换属于不同特征值的特征向量是对称变换属于不同特征值的特征向量是正交的正交的. (3) 如果欧氏空间如果欧氏空间V的子空间的子空间W是对称变换是对称变换的不变子空间，则的不变子空间，则 也是也是 的不变子空间的不变子空间. (4) 欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换 是对称变换是对称变换A AWA AA A 在在V的任一标准正交基下的矩阵为实对称矩阵的

18、任一标准正交基下的矩阵为实对称矩阵. (5) 设设 是是n维欧空间维欧空间V的对称变换，则在的对称变换，则在V中中可找到一组标准正交基，使可找到一组标准正交基，使 在这组基下的在这组基下的矩阵为对角矩阵矩阵为对角矩阵.题型分析：题型分析： (1) 证明正交变换与对称变换的问题；证明正交变换与对称变换的问题； (2) 与直和、正交补有关问题与直和、正交补有关问题.A AA AA A例例1 给定欧氏空间给定欧氏空间V的变换的变换其中其中 是是V中一个固定单位向量中一个固定单位向量.证明：证明： (1) 是正交变换，是正交变换，(也叫镜面反射也叫镜面反射)； (2) 是第二类的；是第二类的； (3) 如果如果n维欧空间维欧空间V上的正交变换上的正交变换 以以1作作为特征值，且属特征值为特征值，且属特征值1的特征子空间的特征子空间W的维数的维数是是n-1，那么，那么 是镜面反射是镜面反射. 002( ,) A A0A AA AA AA A例例2