集合衔接及函数

1、初高中衔接及必修1集合教材分析、初高中衔接问题(一) 初中完全删除和降低要求的内容A 代数方面1立方和(差)公式：大多数学校都没有介绍；2因式分解：总体要求大大降低(1) 十字相乘法要求降低，只是在阅读材料中介绍了二次项系数为1的公式2x (a b)x ab = (x a)(x b)(2) 完全删除了分组分解法；2(3) 删除了 "假设关于 x的方程ax bx c = 0(a = 0)的两个实数根是Xi、他，那么二次三项式 ax2 - bx c(a = 0)就可分解为 a(x -% )(xx2) 3. 二次根式：(1) 删除了同类二次根式的概念；降低了分母有理化的要求.4. 方程(组

2、)、不等式(组):(1) 三元一次方程组、二元二次方程组和简单的高次方程：完全删除；(2) 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：完全删除，只在一个阅读与思考中有所提及，没有进行系统的训练；(3) 分式方程：没有要求可化为一元二次方程的分式方程；(4) 一元二次不等式：完全删除了.5. 函数：(1) 两点间距离公式：教材没有要求，但根本都补充了；截距：不常用，但学生了解.学生比拟熟悉的说法是：直线y = kx + b与y轴交于点(0, b), 与x轴交于点 -b,0 ；k )直线的平行和垂直：学生很熟悉“两直线(y = R , y = k2x b2)平行二人=k2且 d =b2 ，但不知道“

3、两直线垂直与斜率的关系；(4) 函数的定义域：没有明确指出，学生熟悉的说法是“自变量的取值范围；(5) 函数的值域：一般没有给学生；(6) 二次函数的三种表示方法：学生非常熟悉一般式和顶点式，但对于双根式不是很熟悉；(7) 二次函数的最值：掌握顶点横坐标在定义域内的情况下利用顶点求最值的方法；任一闭区间上的求最值方法只有局部学生掌握；(8) 图像的平移、对称、旋转：对于上下平移和解析式的变化比拟熟悉，左右平移不熟；轴对称、中心对称和旋转都只能做特殊情况的题目；6. 三角函数：(1) 只在直角三角形中定义了锐角的三种三角函数，完全删除了余切；特殊角的三角函数值：对30 , 45 , 60比拟熟悉

4、，局部学校介绍了 0和90的情况22sin x、才.了(3) 几个关系：sinx=cos(90 -x), cosx=sin(90 -x), sin x +cos x =1, tanx=学生有所了cosx解(在习题中出现过)，但没有利用这些式子进行化简，因此学生并不熟悉y=sinx, y=cosx, y=tanx(x：=(0 ,90 )的图像、性质初中没有要求，只有学生根底比拟好的学校做过简单介绍.B .几何方面1三角形：(1) 三角形的“四心:外心和内心比拟熟悉，重心和垂心只是有过介绍，相关的性质都没有涉及；(2) 三角形的边角关系：大边、大角关系没有要求.2. 相似三角形：(1) 比例的性质

5、(更比、合比、等比)：没有明确要求；(2) 平行线分线段成比例定理及逆定理：完全删除；(3) 射影定理：没有明确要求；(4) 三角形角平分线的性质定理(角平分线分对边的比等于该角的两边之比)：完全删除；(5) 有关相似三角形的推理证明要求下降.3四边形：(1) 梯形中位线及性质、判定定理：完全删除；(2) 平行线等分线段定理及推论(三角形中位线定理的逆定理)：完全删除.4.圆：(1)两条平行弦所夹的弧相等：完全删除；弦心距的概念及性质：完全删除；(3) 圆内接四边形性质：完全删除；(4) 圆、线段中垂线、角平分线的轨迹定义：完全删除；(5) 弦切角概念及性质：完全删除；6圆幂定理：完全删除；7

6、两圆的公切线及性质：完全删除；8两圆相交、相切的性质及相关证明：完全删除；9弓形面积：没有明确要求；10圆和正多边形：降低了要求，以计算为主；11弧的度数：完全删除；12圆以及圆和其他知识相结合的推理证明的要求有很大降低5尺规作图：只要求会画一些典型的图，并且不需写画法C .概率统计1方差的计算公式只介绍了最根本的，一些变形式都没有要求；2. 标准差：完全删除.二初中新增和提高要求的内容A代数方面1. 用函数观点统一方程 组 、不等式 组 ：非常明确的提出，并作了详细的介绍；2. 利用图像法求解方程 组 、不等式 组 ：作了介绍，并在一些综合题中有所表达；3. 用方程 组 、不等式 组以及函数

7、解决实际问题：要求大大提高，在每局部都进行了较 为系统的训练，但不同学生的差异较大.B .几何方面1. 简单多边形的重心：探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义 如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心 ；.会2. 视图与投影： 1会画根本几何体直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图主视图、左视图、俯视图 判断简单物体的三视图，能根据三视图描述根本几何体或实物原型.2了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.3了解根本几何体与其三视图、展开图球除外之间的关系.通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用如物体的包装 .4通过背景丰富的实例， 知道物体的阴影是怎么形

8、成的.能根据光线的方向识别实物的阴 影.5了解视点、视角及盲区的涵义，能在简单的平面图和立体图中表示视点、视角及盲区.6通过实例了解中心投影和平行投影.3. 几何变换：1学习过平移、旋转含中心对称、轴对称、位似四种几何变换 位似要求较低. 利用图形变换进行推理、计算：初中新课标很重视图形变换的应用，但因为灵活性比拟强，所以学生掌握的情况仍然不够好C .概率统计1统计观念的培养：初中阶段的统计分为三个章节完成数据的收集与整理、数据的描述、数据的分析，每个章节都有相应的课题学习，要求学生应用所学统计知识 解决实际问题；2.掌握常用统计图表扇形图、条形图、折线图、频数分布直方图的绘制，理解其意义,在

9、绘制频数分布直方图之前对数据分组时，初中阶段目前只要求等距分组 ，这样直方图中每个矩形的高度即可描述该组频数的大小；3理解常用统计量平均数、众数、中位数、极差、方差的意义，会计算，其中加权平均数和极差是新增内容；4概率：人教版初中课本中用的是统计概率的定义，即：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 m会稳定在某个常数 p附近，那么这个常数p就叫n做事件A的概率学生对 频率稳定于概率有了初步的理解；5会用列举法求解简单的古典概型问题：所谓列举法主要是指列表法两步实验和画树形图法三步及以上.三新课标下初中毕业生的变化新课标下的初中教学更重视学生的讨论、实验包括动手实践、探究，因此相对以前

10、而言，学生对数学的兴趣有所提升 ，探究意识和能力都有所增强 ，对数学知识的应用意识 和能力有所增强，对几何变换、直角坐标系、函数概念的理解比过去深刻，数形结合的能 力也有所提高；但同时也带来了较明显的两极分化，计算能力和推理论证能力下降等问题、前面老师教学中遇到的问题1课时太紧新课标教材内容多，教学时数相对少，没有留出学生改错、对所学知识自我消化的时间必修1与必修4都存在着一个模块 36课时，根本上是讲新课的课时问题，没有安排课时 讲评作业、进行单元练习、测试的时间点评：这个问题是所有参与试验的地区共同的问题，有些问题我们与教材编写人员进行 了勾通，例如必修 1 第三章?函数的应用?例题多，学

11、生理解存在困难，他们已经意识到了 这个问题，正在修改2 .习题问题 习题与例题不配套，总体而言，例题容易，习题难，学完例题，有不少学生表示不会做 课后的习题； 教材某些知识内容没有相应的习题来稳固，而局部习题又用到一些没有学过的知识；如 必修 2 第一章正文中没有正棱柱、正棱锥的概念，但习题中的一些问题又要用到，使教师两 难. 层次性不够， A 组的题目有些比 B 组的还要难； 局部题目的解答需要运用信息技术如计算机、计算器等，但缺乏相关的设备. 点评：教师要先做一遍教材上的习题，处理习题要慎重.教学中要调整习题的难度；要探讨根底题、中等题、难题的编排次序；习题的选编既要贴近实际，又不要让数据

12、太繁琐， 照顾没有计算机器的学生；习题应该从多方面设置，另外注意由于模块顺序的改变有些 题还做不了.3. 初高中衔接问题：新课程的初、 高中衔接问题， 需要一定的课时， 课标中没有相应的课时， 实现起来困难. 初、 高中课程标准的制定没有协调统一，产生了初高、中衔接问题.如：立方和差公式、十 字相乘法、韦达定理、二元二次方程的解法、三角形的重心及其性质等等，直接造成了高一 学生学习的困难.点评：明确现在初中学生的知识结构，了解新课标教材的整体设计，根据学生的实际，适 当补充一些内容.4. 信息技术方面课标过于理想化， 并未充分考虑到我国目前高中办学的状况， 包括办学条件 比方多媒体 应用并未到

13、达学生人手一机等 、学生情况课标安排的课时能够把知识学习完就不错，根本 没有多少时间考虑学生落实知识的问题，并不是把知识介绍完了学生就都掌握了、班级编制如大班教学并不适合合作、探究、互动等学习方式，同时这些学习和教学方式也需要大量 的时间作为根底等.做好计算机辅助教学，可以让计算机从教具变为学具，实现起来有一 定困难.点评：教材中有很多题目要用计算器解决，因此计算器应该随堂带着有条件的学校应 该把信息技术与数学教学整合作为课题来研究注意课堂教学与信息技术的整合，提高教学 效益加强数学知识与实际问题的联系，提高学生的数学的建模和应用能力有些题目教师 可以改变数据，使其不用计算器就可解决5教学方式

14、 我们一定要防止：由于教师对旧教材的过分熟悉和迷恋，阻碍了教师对新教材的整体审 视和把握，在处理新教材的同时很自然就“兼顾 了旧教材，教师的教学行为和学生的学习行为在 “背着新课程的同时， 还“抱 着旧课程 这是导致学生负担加重的主要原因 因此造成学 生有些该掌握的知识没有掌握好，不该掌握的知识又强行要求学生掌握，这是导致课时缺乏 的主要原因我们的建议：1不搞“一步到位 ，尤其是原来我们比拟熟悉的内容，要通过循序渐进、螺旋上升的 方式提高学生的数学水平因此需要整体把握新课标 2删减的内容不要补充，淡化的内容不宜加强铲除对已经删去的局部知识点在感情上 “恋恋不舍 、在行动上 “修修补补 的现象，

15、尤其不赞成用增加课时的途径补充讲解不在教 学要求之内的知识点或人为拔高明确要求降低教学要求的内容 不赞成取 A 版教材和 B 版教 材的并集进行教学，但可以借鉴教材中处理好的地方3对传统重点知识可作适当拓展，对新增知识要加强根底训练4教辅用书不能作为教学依据三、集合教学分析变化之处：变化 1： 集合的变化教材中只 将集合作为一种语言来学习 ，学生将学会使用最根本的集合语言去表示有关的 数学对象，开展运用数学语言进行交流的能力过去的教学是从集合论的角度出发，注重理论变化 2：在必修 1 中删掉一元二次不等式，绝对值不等式等内容。讲集合时不要增加。 将一元二次不等式，绝对值不等式等放在后面的选修讲

16、主要内容：集合的主要内容有：集合的含义与表示，集合间的根本关系，集合的根本运算了解集合的含义，认识元素和集合的关系，掌握列举法、描述法、图示法等表示集合的方法，理解 包含、相等等集合间关系的概念和符号，是集合内容的根底三种集合运算的学习不仅拓展 了运算的知识，也为处理一些数学问题时提供较高的观点作了准备重点难点集合的学习重点是准确理解有关概念这里的概念较多，又比拟抽象，且多是用三种语言自然语言、符号语言、图形语言表述的，这就要求我们联系实际背景，通过多种角度 认识概念本质，区分相近概念的差异，把握符号和概念的联系，这些也都是有一定难度的初中：根据初中课标的要求，学生在初中阶段应该已经接触过 “

17、集合相关的概念，比方，在人 教版的初中课标教材中， 对“垂直平分线、“不等式的解集、“不等式组的解集等的讲述中都 提到了“集合的概念高中：人教 A 版：教材从小学和初中所熟悉的相关集合的概念自然数集，不等式的集合，垂直平分线，圆等点集 出发，以八个具体的例子进一步抽象出了集合和元素等相关概念、 性质这 种从数学概念引入的方式，过渡自然，贴近学生的认知水平，但视角不够开阔，可能会使学 生误以为集合中的元素仅局限于一些数学元素人教 B 版：由常见的生活用语直接引出 “集合 的概念，然后给出三个具体的例子：方 程的解 数集，平行四边形的全体形成的集合，圆 点集，从自然语言过渡到 “集合 语言对 这些

18、概念进行描述理论高度比拟高，较为抽象严谨，给出的例子也兼顾了生活实际和初中 学过的数学概念，教师在教学中可以根据学生的接受水平更为灵活地加以阐述一课时分配：集合的概念及其表示方法1 课时集合之间的关系1 课时集合的运算2 课时小结与复习 *1 课时(二)教学建议：(1) 对集合知识的定位是作为一种语言来学习：用集合语言表述简单数学问题，体会简洁性与准确性， 建议在全书中逐步落实(2) 多通过实例，结合学生的生活经验和数学知识，逐步理解集合的含义(3) 以数集，重要的点集，图形构成的集合为主要研究对象，重点和难点为集合的关系和运算直奔主题，不宜过多参杂进其他知识，造成课时的紧张(4 )加强韦恩图

19、在集合关系与运算中作用(5 )通过简单直观的集合问题酌情进行数形结合、分类讨论等思想方法的初步渗透第一课时：集合的概念及其表示方法根底知识：(1)突出集合中元素的特征(尤其是互异性)以及表示方法(2) 掌握元素与集合之间的属于关系(3) 会根据集合中元素的特征判断集合，集合的分类、常用数集的表示(4) 会用适当的方法表示集合教学建议：(1) 注意区别点集与数集的本质不同：集合1,2?与表示同一个集合，补充：集合1,2 与C 2,1 /是否表示同一个集合,增加例题：现一个含有 3个元素的集合为 M,x,x2*，那么实数x满足的条件为 应用列举法和集合元素特征性，渗透分类讨论的思想方法(2) 描述

20、法：A* I | p x 注意同时关注元素的表示、元素的特征性质(元素满足的条件)两个方面关注xR|x能被2整除，且大于0带来的影响，注意强调 氷二R| x =2n, n .二N -的简洁、有效性通过实例进行解释A = ；、x R 用列举法写集合的子集，可告诉学生方法和规律. 注意斟酌集合关系与其特征性之间的关系教学要求的把握. 可适当补充例题x -1 =0; B =x N|x2_1 = 0?(3) 补充：奇数集和偶数集的描述法表示，并要求学生牢记注意写法：x|x是大于3的全体偶数补充：一元二次函数 y = x2图像上的所有点构成的集合 :x, y | y = x2, xR?(4) 习题中注意

21、关键词的解释：质数；正约数；质因数；能够整除111的偶数第二课时集合之间的关系根底知识：(1)子集与真子集的概念，集合的包含关系；集合的相等关系(2) 理解并会判断的关系(3 )利用韦恩图处理集合之间的包含与相等关系，以及包含关系所具有的性质(4) 会用列举法写集合的子集，教学建议:(1) 用韦恩图处理集合之间关系的同时，可考虑引入数轴表示法(实数集的子集)(1)假设A B，韦恩图表示为(2) (3)(1)(2)"BA1 集合A ,1,3,2m-仃，集合B = 3,m2，假设B5 A，那么实数m =2适合条件1,2；二.M11,2,3,4?的集合M的个数为A. 2B.3C.4D .

22、53.设 a, bR集合1,ab,b'ja) 0,-, b，那么 b a 二(IaJ)A. 1B.-1C . 2D .-24集合 A=x 2兰x兰2, B =x x Ka，假设A9 B，那么实数a的范围是第三、四课时：集合的运算根底知识：1理解两个集合交集和并集的含义，在给定集合中一个集合的补集2解决比拟简单的代数，几何和实际问题的集合运算3会进行列举法、描述法、韦恩图三种表示法下的交集、并集、补集的正确运算 教学建议：1 定义表述的不同：交集、并集、补集的概念的表述均防止了.或、.且、.非等逻辑连 接词的使用2In io a,bi 斟酌使用3注意数集交并与点集的交集与并集的区别.从二元一次方程组的解和一次函数图像上的点两个角度加说明4注意CU AI B与CuAI B的区别5韦恩图的运用要强化：课标要求：能使用 Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 对交集、并集、补集的含义性质用韦恩图数轴加以解释第五课时小结与复习