第2章 逻辑代数基础2.6具有无关项的逻辑函数及其化简(6)

1、2 62 62 6 1 1 1电子技术2 62 62 6 2 2 2一、利用公式化简逻辑函数：一、利用公式化简逻辑函数： 说明说明：一般化简需要各种方法综合起来。：一般化简需要各种方法综合起来。化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后化简需要技巧和经验，需多练习。另外最后的结果是否为最简，难以判断。的结果是否为最简，难以判断。2.5 逻辑函数的化简逻辑函数的化简1.并项法并项法:利用利用ABAB A消去一个变量；消去一个变量；2.吸收法吸收法:利用利用A ABA消去多余变量；消去多余变量；3.消项法消项法:利用利用 AB+AC+BC=AB+AC将将BC消去；消去； 4.消因子法消因子法:利用利用

2、 A+AB=A+B可将可将A消去；消去； 5.配项法配项法:利用利用 AA 1 增加一些项增加一些项,再进行简化再进行简化2 5 2 5 2 5 3 3 3二、二、逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法1. 利用真值表利用真值表：做出逻辑函数的真值表，将：做出逻辑函数的真值表，将表中对应表中对应“1”项的最小项填到卡诺图中；项的最小项填到卡诺图中；2. 将逻辑函数式化为标准将逻辑函数式化为标准与或型，将对应的与或型，将对应的最小项填入到卡诺图中；最小项填入到卡诺图中；*3. 观察法观察法:采用观察逻辑函数，将应为采用观察逻辑函数，将应为“1”的项填到卡诺图中。的项填到卡诺图中。2 5 2

3、 5 2 5 4 4 4三、用卡诺图化简逻辑函数三、用卡诺图化简逻辑函数卡诺图的性质卡诺图的性质a. 卡诺图上任何卡诺图上任何2（21)个标个标“1”的相邻最小项，可的相邻最小项，可以合并成一项，并消去以合并成一项，并消去1个取值不同的变量。个取值不同的变量。例例1：图中有：图中有ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.10 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 1111消去变消去变量量DCBADDCBADCBACDBAmm)(322 5 2 5 2 5 5 5 5b. 卡诺图上任何卡诺图上任何4（22)个标个标“1”的相邻最小项，的

4、相邻最小项，可以合并成一项，并消去可以合并成一项，并消去2个取值不同的变量。个取值不同的变量。例例2：图有：图有ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.11 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 1111消去变消去变量量ACBDACACCACABDABCDDABCBCDADBCAmmmm)(1513752 5 2 5 2 5 6 6 6DBACCACACADBDCBADCBADCBADCBAmmmm)(10820ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.11 Y的卡诺图的卡诺图0000111101

5、011 11 11 11 11 11 11 11112 5 2 5 2 5 7 7 7c. 卡诺图上任何卡诺图上任何8（23)个标个标“1”的相邻最小项的相邻最小项,可以合并成一项可以合并成一项,并消去并消去3个取值不同的变量。个取值不同的变量。例例3：如图有：如图有ABABCDCD00000101111110101010表2.6.12 Y的卡诺图表2.6.12 Y的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 111 11 11 11 11 1消去变消去变量量ABCDABCCABCBACBABCACBACBACBADABCDDCABCDBADCBABCDADCBACD

6、BADCBAmmmmmmmm)(151311975312 5 2 5 2 5 8 8 8ABABCDCD00000101111110101010表2.6.12 Y的卡诺图表2.6.12 Y的卡诺图0000111101011 11 11 11 11 11 11 111 11 11 11 11 1BmY)11,10, 9 , 8 , 3 , 2 , 1 , 0(2 5 2 5 2 5 9 9 9卡诺图化简逻辑函数的步骤卡诺图化简逻辑函数的步骤a. 将逻辑函数化为最小项（可略去）；将逻辑函数化为最小项（可略去）；b. 画出表示该逻辑函数的卡诺图；画出表示该逻辑函数的卡诺图；c. 找出可以合并的最小项

7、，即找出可以合并的最小项，即1的项的项(必须是必须是2n个个1)，进行圈进行圈“1”，圈，圈“1”的规则为的规则为：* 圈内的圈内的“1”必须是必须是2n个；个；* “1”可以重复圈，但每圈一次必须包含新的可以重复圈，但每圈一次必须包含新的“1”；* 每个圈包含每个圈包含“1”的个数尽可能多的个数尽可能多，但必须相邻，必，但必须相邻，必须为须为2n个；个；* 圈数尽可能的少；圈数尽可能的少；* 要圈完卡诺图上所有的要圈完卡诺图上所有的“1”。2 5 2 5 2 5 101010d. 圈好圈好“1”后写出每个圈的乘积项，然后相后写出每个圈的乘积项，然后相加加,即为化简后的逻辑函数即为化简后的逻辑

8、函数。注：注：卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简卡诺图化简不是唯一，不同的圈法得到的简化结果不同，但实现的逻辑功能相同的。化结果不同，但实现的逻辑功能相同的。CBCBCACAY解：其卡诺图如图所示解：其卡诺图如图所示A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.13 Y的卡诺图的卡诺图圈法如图，则圈法如图，则CBCABAY例例1:用卡诺图简化下面逻辑函数用卡诺图简化下面逻辑函数1111112 5 2 5 2 5 111111或者圈法如图所示，则或者圈法如图所示，则A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.14 Y的卡诺图的卡诺图1 11

9、11 11 11 11 1CABACBY故卡诺图简化不是唯一的故卡诺图简化不是唯一的CBCABAY与第一种圈法相比与第一种圈法相比A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.6.13 Y的卡诺图的卡诺图1111112 62 62 6 1212121000001 11ABC0001111001例例2：为最简与或式。化简简函ABCABCBCAY第一步，第一步，将函数化将函数化成最小项和的形式成最小项和的形式。BCABBCABY第二步，第二步，填卡诺图填卡诺图第三步，合并最第三步，合并最小项小项第四步，第四步，各乘积项各乘积项相加相加2 5 2 5 2 5 131313ABAB

10、CDCD00000101111110101010表表2.6.15 Y的卡诺图的卡诺图000011110101例例3:用卡诺图简化下面逻辑函数用卡诺图简化下面逻辑函数DCACBADCDCAABDABCY解解:其卡诺图如图所示其卡诺图如图所示则简化后的逻辑函数为则简化后的逻辑函数为DAY1111111111112 5 2 5 2 5 141414注：注： 以上是通过合并卡诺图中的以上是通过合并卡诺图中的“1”项来项来简化逻辑函数的，有时也通过合并简化逻辑函数的，有时也通过合并“0”项项先求先求Y的反函数的反函数Y ，再求反得，再求反得Y例如上面的例题例如上面的例题,圈圈“0”情况如图所示，可得情况

11、如图所示，可得ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.15 Y的卡诺图的卡诺图0000111101010 00 00 00 0111111111111DAYDADAY)(2 5 2 5 2 5 151515例例4：用卡诺图简化下面逻辑函数：用卡诺图简化下面逻辑函数)14,12,10. 9 . 8 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(),(mDCBAYABABCDCD00000101111110101010表2.4.16 Y的卡诺图表2.4.16 Y的卡诺图000011110101解解:卡诺图如图所示：卡诺图如图所示：CBBADY可得可得111111111

12、112 5 2 5 2 5 161616)15,13,11, 7 , 4 , 3 , 0(),(1mDCBAYABCDCBADCBAY),(2练习：练习：卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数2 62 62 6 171717将逻辑函数化将逻辑函数化成与或的形式成与或的形式,填函数卡诺图；填函数卡诺图；圈圈“1”格格,合并相邻最小项合并相邻最小项；最后将每一个圈所得到的最简乘积项相加，最后将每一个圈所得到的最简乘积项相加，即得到最简与或式。即得到最简与或式。卡诺图化简逻辑函数的步骤卡诺图化简逻辑函数的步骤2 62 62 6 181818【例【例5】化简下列逻辑函数】化简下列逻辑函数 1 1 1 1

13、 1 1 1 1 1 ABCD0001 11 1000011110ABCBDDACCDABDADBCAYDACABCCDABCAY2 62 62 6 191919【例【例6】化简化简 Y(A,B,C,D)= m(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001 11 1000011011010 0111 11 11111 111110ACDCBDBDBCDBCDBCBCDAY2 62 62 6 202020【例【例7】化简下列逻辑函数】化简下列逻辑函数)( (CDADACBCAACY) ( )(CDADACBCAACCDBADCABCAACCAACCA）（2

14、62 62 6 212121DBCAACY1111111111ABCD0001 11 1000011110CDBADCABCAAC)( (CDADACBCAACY2 62 62 6 222222例例8:化简下列逻辑函数化简下列逻辑函数)(CBACDACDYBCCAYABCD0001 11 1000011110CBACDACDY00000000111111112 62 62 6 23232311111001ABC0001111001例例9：BCCBCAACY)(ABCCABCBBAAC注意：ABBCCA只要满足函数式中存在的变量对应的格内填只要满足函数式中存在的变量对应的格内填1 1否则填否则填

15、0 02 62 62 6 242424【例【例 2】BCCBCAACYBCABCAY10111101ABC0001111001ABBCCA2 62 62 6 25252510111101ABC0001111001【例【例9】BCCBCAACYBCABCAYBACBACYCBBAAC2 62 62 6 2626262.6 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简2.6.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项项一、几个相关概念一、几个相关概念 在逻辑函数中在逻辑函数中, ,输入变量的取值输入变量的取值不是任不是任意的意的, ,受到限制。受到限制。

16、 1. 约束约束 :对输入变量取值所加的限制称为对输入变量取值所加的限制称为约束约束； 2. 约束项约束项 :被约束的项叫做被约束的项叫做约束项约束项。 （即（即不允许出现的变量取值对应的最小项）。不允许出现的变量取值对应的最小项）。3.约束条件约束条件:所有约束项的组合构成的逻辑式。所有约束项的组合构成的逻辑式。2 62 62 6 272727例例1：有三个逻辑变量：有三个逻辑变量A、B、C分别表示一分别表示一台电动机的正转、反转和停止。若台电动机的正转、反转和停止。若A1表表示电动机正转，示电动机正转，B1表示电动机反转，表示电动机反转，C1表示电动机停止，则其表示电动机停止，则其ABC的

17、状态只能是的状态只能是100、010、001，而其它的五种状态如，而其它的五种状态如000、011、101、110、111是不能出现的状态，故是不能出现的状态，故ABC为具有约束的变量，恒为为具有约束的变量，恒为0。可写成：可写成：0ABCCABCBABCACBA这些恒等于这些恒等于“0”的最小项的最小项称为约束项称为约束项2 62 62 6 2828284.任意项：任意项：输入变量的某些取值对电路的功输入变量的某些取值对电路的功能没影响，这些项称为能没影响，这些项称为任意项任意项 。 例如：例如：8421BCD码取值为码取值为0000 1001十个状十个状态，而态，而10101111这六个状

18、态这六个状态不可能出现，不可能出现，故对应的状态取故对应的状态取“0”或取或取“1”对函数没有影对函数没有影响，这些项就是任意项。响，这些项就是任意项。5.无关项：无关项：将约束项和任意项统称为将约束项和任意项统称为无关项无关项 。即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响无影响2 62 62 6 292929二、二、 含有无关项的逻辑函数的表示方法含有无关项的逻辑函数的表示方法最小项的表达式为最小项的表达式为:dmY其中其中d为无关项为无关项也可以写成也可以写成:0约束条件：ddmY无关项在卡诺图中相应的位置填无关项在卡诺图中相应的位置填 。2 62

19、62 6 303030化简时，根据需要无关项可以作为化简时，根据需要无关项可以作为“1”也可也可作作“0”处理，处理，以得到相邻最小项矩形组合最大以得到相邻最小项矩形组合最大（包含（包含“1”的个数最多）为原则。的个数最多）为原则。2.6.2 无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用利用无关项可以使得函数进一步简化利用无关项可以使得函数进一步简化步骤：步骤： 将给定的逻辑函数的卡诺图画出来将给定的逻辑函数的卡诺图画出来;将无关项中的最小项在卡诺图相应位置用将无关项中的最小项在卡诺图相应位置用“ ”表示出来；表示出来；2 62 62 6 313131ABABCDCD0000010

20、111111010表表2.6.1 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011010例例2. 用卡诺图简化下列逻辑函数用卡诺图简化下列逻辑函数.)13,12,11,10, 8 , 7 , 4 , 2()15,14, 9 , 6 , 1 , 0(),(dmDCBAY解：解：Y的卡诺图如表所示的卡诺图如表所示CBADY111111 2 62 62 6 323232还有另一种圈法，如图所示还有另一种圈法，如图所示ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.2 Y的卡诺图的卡诺图0000111101011 10 011 11 10 01 11 1简化后的逻辑函数为简化后的逻辑函

21、数为BCCBY此种圈法圈数少，变量少，比上一种简单此种圈法圈数少，变量少，比上一种简单2 62 62 6 333333例例3. 试简化下列逻辑函数。试简化下列逻辑函数。0约束条件：),(BACDBADCBADBCACBADCBAY解：约束条件为解：约束条件为0ABBA则则Y的卡诺图如图所示的卡诺图如图所示ABABCDCD00000101111110101010表表2.6.4 Y的卡诺图的卡诺图000011110101DCCAACY（即（即AB取值不能相同）取值不能相同）111112 62 62 6 343434BCA0001111001例例4:0约束条件：ABCCABCABBCAABCBCAC

22、BAY0111CBY 答案：答案：2 62 62 6 353535例例5：试化简逻辑函数：试化简逻辑函数 0)9 , 8 , 2 , 1(BCDADCAmYDBACBYCDAB000111101010001000100000111102 62 62 6 363636CDAB00011110000111101111110:约束条件CDABDBCACABDCBCBADBAYDCCBBAY例例6：2 62 62 6 373737作作 业业 P46 : 题题2.12( (1) )、2.14( (3) )、2.15( (1) )总结：总结：1.掌握用卡诺图法化简逻辑函掌握用卡诺图法化简逻辑函数的方法。数

23、的方法。 2.了解无关项的概念；了解无关项的概念； 3.掌握无关项在化简逻辑函数掌握无关项在化简逻辑函数中的正确应用。掌握用卡诺图法化简中的正确应用。掌握用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数的技巧。具有无关项的逻辑函数的技巧。2 62 62 6 383838练习：化简下列函数练习：化简下列函数)15,11, 9 , 3()14,10, 8 , 7 , 5 , 1 , 0(),(dmDCBAY)10, 8 , 6 , 5 , 4 , 3 , 1()15,13, 7 , 2 , 0(),(dmDCBAY不可能相同约束条件：DCDCABDACDCBAY、2 62 62 6 393939*2.6.3 卡

24、诺图的其它应用卡诺图的其它应用卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用卡诺图除了简化逻辑函数，还可以有下面的一些应用一、判明函数关系和进行函数的运算一、判明函数关系和进行函数的运算1. 判明函数关系判明函数关系 利用卡诺图可以判明函数是否相等、互利用卡诺图可以判明函数是否相等、互补。若两个函数的卡诺图相同，则这两个函补。若两个函数的卡诺图相同，则这两个函数一定相等。数一定相等。即若函数即若函数Y和和G的卡诺图相同，的卡诺图相同，则则YG。若两个函数的卡诺图中若两个函数的卡诺图中“0”和和“1”对调，则这两个函数为互补。对调，则这两个函数为互补。2 62 62 6 404040例例1:说明

25、函数关系说明函数关系BCCAABYCAABG它们的卡诺图相同它们的卡诺图相同如图所示，如图所示， 则：则：YG。A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.1 Y和和G的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 12 62 62 6 414141例例2: :说明函数关系说明函数关系CBAYCBCAG它们的卡诺图如图所示它们的卡诺图如图所示A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.2 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 1A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.3 G的卡诺图的卡诺图1 11 11 1GY则则

26、2 62 62 6 4242422.函数运算函数运算若已知函数若已知函数Y1和和Y2，则可利用卡诺图做逻辑运算。，则可利用卡诺图做逻辑运算。例例3. 若若Y1A BAC ，Y2ABC 试利用卡试利用卡诺图求诺图求Y1 Y2 、Y1Y2及及Y1 Y2解：解： Y1和和Y2的卡诺图如表图所示的卡诺图如表图所示A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 12 62 62 6 434343则两个函数的与为则两

27、个函数的与为=A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.6 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 1BCACAYYY21A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1.A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 12 62 62 6 444444则两个函数的或为则两个函数的或为=A ABCBC00000101111110100 01 1表2.7.7 Y表2.7.7 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 11 1BA

28、YYY21A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 12 62 62 6 454545则两个函数的同或为则两个函数的同或为=A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.8 Y的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 1CACBCAYYY21 A ABCBC00000101111110100 01 1表表2.7.4 Y1的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 1A ABCBC

29、00000101111110100 01 1表表2.7.5 Y2的卡诺图的卡诺图1 11 11 11 11 12 62 62 6 4646462.6.4 逻辑函数表达式类型的转换逻辑函数表达式类型的转换 逻辑函数表达式的形式有很多种，逻辑函数表达式的形式有很多种，如与或式、或与式、与非式、与或非式如与或式、或与式、与非式、与或非式等，不同的表达形式可由不同的门电路等，不同的表达形式可由不同的门电路来实现。来实现。一般的逻辑函数为与或式一般的逻辑函数为与或式（乘（乘积和），这样需要转换成其它的形式，积和），这样需要转换成其它的形式，利用卡诺图可以很方便的实现转换。利用卡诺图可以很方便的实现转换。2 62 62 6 474747例例1:将下面逻辑函数简化成最简与或非式将下面逻辑函数简化成最简与或非式CADCBAABDY解：其卡诺图如图所示解：其卡诺图如图所示ABABCDCD00000101111110101010表表2.7.9 Y的卡诺图的卡诺图00001111010