平面向量的复习

1、1高三“平面向量”复习讲座北京市第十九中学数学组王玉生2007.10.26一、向量问题的历史背景1.向量的历史发展：向量最初被应用于物理学，物理量中的力、速度、位移等都是向量.古希腊学者亚里士多德（Aristotle,公元前 389-公元前 322）已经知道了力可以表示成向量，英国 科学家牛顿（Newton, 1642 1727）最先使用有向线段表示向量，1806 年瑞士人阿尔冈（R.Argand ,1768 1822）用AB表示一个有向线段或向量， 1827 年莫比乌斯（M?bius,1790 1868）用AB表示起点为 A、终点为 B 的向量.以后的数学家陆续也用a 或a来表示向量向量进入

2、数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的.1797 年丹麦数学家威塞尔（C.Wessel,1745 1818）利用坐标平面上的点（a,b）表示复数 a+bi,并利用具有几何意义的复数 运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来， 并把向量的表示用于研究几何与 三角问题.2. 向量在中学数学中的地位与作用：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理等就可转化为向量的加减法、数乘向量、数量积等运算，从而把图形的基本性质转 化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何、三角与复数的一种工具，有着极其

3、丰富的实 际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用3. 课程改革的争论与趋势：一种意见认为传统几何是训练学生科学推理与思维的基础，应全盘保留；一种意见认为传统几何的推理证明对学生的能力要求较高，应该用向量取代传统几何.新课程标准综合了两种意见，弱化、简化了传统几何的教学与要求，中学引入了向量来解 决传统的平面几何和立体几何问题。新加坡的高中数学课本，基本上完全用空间向量与坐标系来解决空间中的距离、线面关系、面面关系等问题.从今年山东、广东等施行课程改革地区的高考试题来看，近代的、新的数学内容增多了，估计这是体现课程改革的思想与意图二、有关复习的几个问题1. 复习内容向量及其运算（向量的概念，向

4、量的加法、减法、与实数的积，平面向量的坐标运算，线 段的定比分点，平面向量的数量积及运算律，平面向量数量积的坐标表示，平移）；解斜三角形（正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例）.2. 对学生的要求（根据学生能力的不同，区分不同的层次，因材施教）理解平面向量的基本概念及运算律，能用向量的方法解决某些简单的平面几何问题，力2学问题和其他一些实际问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.掌握正弦定理、余弦定理，并能应用定理的知识与方法解决简单的三角形的度量问题与一些和几何计算有关的实际问题3.抓住复习的重点、难点问题，教给学生基本的解题方法(应试教育)；近几年外地的向量考题有难度加大的趋势三、例题讲

5、解1.向量的基本概念与性质(理解有关的概念与性质)例 1 : (2007 福建高考理科)对于向量a,b, c和实数，下列命题中真命题是(B )(A)若a b=0，则a = 0或b = 0(B)若a = 0，则皇=0或a =022(C)若a = b，则a= b 或a = -b(D)若a b二a c,则b = c说明：考察的目的，实数运算的一些性质对向量运算是否成立？例 2: (2007 湖南高考理科)设a，b是非零向量，若函数 f(x)=(xa+b)? a-xb)的图象是一条直线，则必有(A )(A)a丄b(B)a/b(C)| a |=| b |(D)| a円b |解：f( x)=a b x2+

6、 (a2- b2) x+ a b, 需 a b=0.说明：用向量的运算表示函数零向量的方向不确定，和“平行”一样，大学一般规定，0，a = a 0=0，零向量与任何向量垂直，所以大学课本上有定理：a _ b= a b = 0 .例 3:设 A (a,1)，B (2，b)，C (4,5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若fffOA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同，贝Ua 与 b 满足的关系式为(A )(A)4a - 5b =3(B)5a - 4b =3(C)4a 5b = 14(D)5a 4b =14解：仅需OCOC，即需OA OCOBOC，OC AB =0，(4,5) (2-a,b-1

7、)=0,OAr =OB:-OCOC得4a -5b =3.说明：高中数学课本对平面向量规定，“对 a b= |a| b|cos，| b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影”，即向量的投影是一个数量；对空间向量规定，“作点 A 在轴 I (规定方向的直线)上的射影A，作点 B 在 I 上的射影B,则A B叫做向量AB在轴 I 上的正射影，简称射影”， 即向量的射影是一个向量，二者不一致.投影即是射影，英语同为 project ;大学课本对平面向量规定，“对 a b= |a| b|COS，| b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影的代数长”，意指向量 b 的投影仍然是一个向量；日本 的高

8、中数学规定，“| b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影向量的大小”，明确指出平面向量 的投影是一个向量；3对空间向量，大学与中学规定一致2.向量的几何运算(画图是解决向量问题的一种基本方法)例 4: (2007 全国高考n理科)在厶ABC中，已知D是AB边上一点，若4用向量方法比较简便.例 7: (2007 重庆高考理科)如图，在四边形 ABCD 中，| AB | BD | DC 4, AB BD = BD DC=0,| AB | | BD | | BD | | DC |=4,则(AB - DC) AC的值为(A)2(B)2 2(C)4(D)4 2I ir rAD 2DB,CD CA

9、CB，则 二(32112(A)(B)(C)(D)3333说明：要求学生能准确、熟练地画出满足条件的向量，基本的方法是作平行线.3.平面向量的基本定理(应用定理解决问题)例 5:如图，平面内有三个向量OA、OB、OC ,其中OA与 0B 的夹角为 120 ，OA与 0C 的夹角为 30 ,且|0A| = | 0B | = 1 , | 0C | = 2 3，若 0C =入OA+ 0B (入，卩 R),则入+1的值为 6._说明：Q4,1=2;在一般的坐标系(仿射坐标系)中画平行四边形确定点的坐标；要求学生记住一些基本的三角形中的边长的比 . 例 6:(2007 天津高考理科)如图，在ABC中,边B

10、C上一点，DC =2BD，则AD-BC -说明：向量的方法，根据平面向量的基本定理，A2AB1AC,BC = AC-AB,AB AC二-1;33ADBC =(2AB1AC)33(AC - AB)= _8；3传统方法：连续应用余弦定理，可计算出cosCAD1338cos乙ADC =-*91 AD-BC =5BD|+（|AB卜冈）=4BDAB卜pC ）=4又AC=AB BD DC(间接地利用基本定理)，所以（AB DC） AC=（AB DC） （AB DC） BD= 4 ；或者平移DC-*tT T TNA = 45；AC=2 屮2，按内积定义得出（AB + DC ）AC=4.般的向量没有定义除法运

11、算；有的教学辅导书如_ p p实数人，使HP = APP2.这里要注意人=.”；这样用除法形式表示定比分点不妥,PP2法仅对表示复数的向量成立例 9:( 2007 山东高考文科)已知向量a = (1, n), b = (1 ,n),若2ab与b垂直，则a =(A)1(B)、.2(C)2(D)4(C)说明：n2=3，要求学生能准确、熟练地进行坐标的运算4.向量的计算(要求学生简单题不能出错)说明:得BD=2且“(名师解惑丛书“平面向量”P39,山东教育出版社)线段的定比分点定义说明：存在有些教材写为PP=PE，此处PP与PP,分别表示有向线段PP、PF,的数量复数中的向量除65.向量与平面几何(

12、学生学习中的薄弱环节)例 10 (2007 山东理)在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(C )7二AC AB =AC AC =AC ABuAC AC - AC AB =0=AC BC=0;或=ACAB=AC = ABcosA； (B)与(A)等价；由 |A2=AC CD0 知(C)不成立.6.重心问题(给学生补充一些相关的结论)例 11:设 G 为？ABC 内一点，且满足AG+BG CG=0，则 G 为？ABC 的(D )A,B,C三点的位置不确定，可以有无数多组解.7.三角形中线上的点(一种类型的考题)说明:(A)AC2二AC AB(C) |AB=AC CD2(D)珅

13、(AC AB) (BA BC)基本的方法为，画图(数形结合)、向量运算与转化为三角形问题;例如对于(A)|AC|AC(A)外心(B)内心(C)垂心(D)重心说明：命题“点 G 为？ABC 的重心”的充要条件是“AG+BG CG=0”.例 12:已知？ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点P,满足PA+PB PC=0，若实数入满足AB AC二 AP，则值为 (C(A) 23(B)2(C) 3(D) 6例 13: (2007 全国高考H理科)设F为抛物线FAFB FC=0，则y=4x的焦点，A,B,C为该抛物线上三点,(A) 9解：由FA FB FC=0 知 FABC 重心，又点 F 坐标为

14、(1,0),设 A、B、C 三点横坐标分别为x1、x2、x3,则AFFA FB-|FC =6.石+1, BF(C) 4(D) 3=x2+1, CF =x3十1；再由x1+x2+x3=3得另法：考虑特殊情形进行计算,x1= 0,x2=x3= 1.5,求出AF=1, BF(B)BC|AB2二BA BC(B) 68例 14： (2007 北京理)已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB 0C = 0,那么(A )9OA (OB - OC)的最小值是 2xy=x(42x)- 2.8.试题表现的一些命题与结论（欧拉定理的向量证明）例 16 : （2005 全国高考I）ABC的外接圆的

15、圆心为O，两条边上的高的交点为H ,OH =m (OA OB OC)，则实数 m = 1 .说明: 命题设ABC的外接圆的圆心为O，且OH = OA OB OC，则 H 为ABC的垂心.反之若O为ABC的外心，H 为ABC的垂心，且OH = m （OA OB OC），则 m=1.证明：由于OABC的外心，所以|OA|=|OB|=|OC |,故AH BC=(OH -OA) (OC- OB)=(OC OB) (OC -OB)=|OC |2-|OB I2= 0,所以 AH BC ; 同理 BH _ AC , H 为ABC的垂心.反之若O为ABC的外心，H 为ABC的垂心,AH _BC 二AH BC=

16、0二(OH -OA) (OC - OB) =0(A)AO =OD(B)(c)AO = 30D(D)2AO = OD说明：0B 0C = -2 OA, O 为中线 AD 的中点.命题：已知ABC,D为BC边中点，则“点 O 在 AD 上”：=“存在实数（-：，0）满足OB OC = OA”忘1 时，O 是厶ABC的重心，入=2 时,O 是 AD 的中点.例 15: （2005 江苏高考）在厶ABC中,O为中线 AM 上的一个动点，若AM=2， 贝 U说明：OA与OB OC共线且方向相反，设yIOAI=X，|OB旳汁则2=2，所以|OA|x|OBO10=(m _1)0A OB OC (OC _ O

17、B) = 0= (m _ 1)OA (OC _ OB) = 0 =(m -1)OA BC=0;若对任意ABC此等式成立，必有 m=1.命题设 O 为任意一点，则“ G 为？ABC 的重心” 的充要条件是OG(OA OB OC)”3证明：OG =3(OA OB OC)=(OG -OA) (OG -OB) (OG -OC)= 0：=AG+BG CG=0.欧拉定理：三角形的外心、垂心和重心在同一条直线上证明：设O为ABC的外心，H 为ABC的垂心，G 为？ABC 的重心，则OG =(OA OB OC-OH,所以 O、G、H 三点共线.3 39.内心问题例 17: (2003 天津高考)O 是平面上一

18、定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满(A)等边三角形例 19：(乐山模拟题)O 是ABC的内心，且满足(OB - OC) (OB - OC - 2OA) = 0，则ABC的形状是解：OB - OC二CB = AB - AC,OB OC - 2OA = (OB - OA) (OC -OA)=AB AC,足OP = OA(A)外心AB ACABAC|丿0/:)，则 P 点的轨迹一定通过ABC的(B)(B)内心(D)垂心说明：为向量 a 的单位化；对I a |ABC,P 在/ A 的平分线所在的直线上(/A 的平分线的向量方程)例 18: (2006陕西高考)已知非零向量AB与AC满足ABJAB|AC|ACBC = 0，且AB AC 1- .- - ?2AB AC则ABC为(B)直角三角形(C)等腰非等边三角形(D)三边均不相等的三角形(A)等腰三角形(B)正三角形(C)直角三角形(D)钝角三角形(C)重心，0：)，则点11所以得| AB|2-| AC |2= 0, |AB |=| AC |.问题：O 不一定要求必须是ABC的内心.10.向量与解析几何例 20： (2007 山东文)设O是坐标原点，F是抛物