全等三角形的提高拓展经典题(教师版)

1、1全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角 的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.

2、全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS:三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用： 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过 程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、

3、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知.ABC中，/A=60,BD、CE分别平分.ABC和.ACB,BD、CE交于点O，试 判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.23【例2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一 点（点B除外），作ZDMN =60冬，射线MN与ZDBA外角 的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN _DM且与ZABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD是正方形，ZFAD =ZFAE.求证：BE + DF =AE.

4、【例4】 以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边JABD、厶ACE,连结CD、BE相交于点0.求 证：0A平分ZDOE.D4【例引如图所示，.ABC是边长为1的正三角形，CBDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶 点作一个60。的NMDN，点M、N分别在AB、AC上，求 心AMN的周长.【例6】 五边形ABCDE中，AB =AE,BC+ DE=CD，/ABC+/AED = 180求证：AD平分/CDE板块、全等与角度【例 7 7】如图，在ABC中，.BAC =60,AD是.BAC的平分线，且AC二AB BD，求.ABC的度数【例 8 8】在等腰ABC中，AB =AC，顶角A =20，在边A

5、B上取点D，使AD = BC,求.BDC .C5【例 9 9】如图所示，在ABC中，AC=BC,. C=20，又M在AC上，N在BC上，且满足.BAN =50 , ABM =60，求.NMB .【例10】在四边形ABCD中,的度数,G00已知AB=AC，/ABD =60，也ADB =76，厶BDC =28，求ZDBC【例11】如图所示，在四边形求ZACD的度数ABCD中， .DA【例12】在正厶ABC内取一点D，使DA=DB，在：ABC外取一点BE =BA，求.BED.E，使/DBE ZDBC，且6【例13】如图所示，在UABC中，.BAC =. BCA=44,M为ABC内一点，使得.MCA

6、= 30,.MAC =16，求/BMC的度数.7全等三角形证明经典50题1.已知：AB=4,AC=2,D是BC中点，AD是整数，求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+2 4AD6又AD是整数,则AD=512.已知：D是AB中点，/ACB=90，求证：CD AB23.已知：证明：连接BF和EF。因为BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。所以 三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。所以BF=EF,/CBF=/DEF。连接BE。在三角形BEF中,BF=EF。所以 /EBF=/BEF

7、。又因为 /ABC=/AED。所以 /ABE=/AEB。所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF。 所以三角形ABF和三角形AEF全等。所以 /BAF=/EAF (/1 =/2)。（含答BC=DE，/B=/E,/C=/D,F是CD中点，求证：/84.已知：/1 =/2,CD=DE,EF/AB，求证:EF=AC证明：过E点，作EG/AC，交AD延长线于G则/DEG=/DCA，/DGE=/2又CD=DE/ ADC 6 GDE(AAS) EG=AC/ EF/AB/DFE=/1/仁/2/DFE=/DGEEF=EG

8、EF=AC5.已知：AD平分/BAC，AC=AB+BD，求证：/B=2/C证明：在AC上截取AE=AB，连接ED/ AD平分/BAC/EAD=/BAD又AE=AB，AD=AD/ AED 6 ABD(SAS)/AED=/B，DE=DB/ AC=AB+BDAC=AE+CECE=DE/C=ZEDC/AED=/C+ZEDC=2/C/B=2ZC12.如图，四边形ABCD中，AB/DC，BE、CE分别平分ZABC、/BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明：在BC上截取BF=BA,连接EF.ZABE=ZFBE,BE=BE,贝U ABE也FBE(SAS),ZEFB=ZA;AB平行于CD,则:ZA

9、+ZD=180又ZEFB+ZEFC=180，则ZEFC=ZD;又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故FCE也DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.BD913已知：AB/ED， /EAB=/BDE,AF=CD,EF=BC， 求证： /F=/C AB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以：/C=/F14.已知：AB=CD，/A=/D，求证：/B=/C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则：AED是等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE （等量加

10、等量，或等量减等量）所以：BEC是等腰三角形所以：角B=角C.15. P是/BAC平分线AD上一点，ACAB，求证：PC-PBAC-AB作B关于AD的对称点B 因为AD是角BAC的平分线，B在线段AC上（在AC中间，因为AB较短）因 为PCPB +B C,PGPB B C,而BC=AC-AB=AC-AB,所 以PC-PBDE。当/AEB越小，则DE越小。证明：过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，且DFB为等腰三角 形。RTABAE中，/AEB为锐角，即/AEB90/ DF/AEFDB=/AEB45RTAAFB中，ZFBA=90 -ZDBF 45ABAF/ AB=CE AF=DECEDE49、（10分）如图，已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证: 先证明ABCBDC的出角ABC=角DCB在证明ABEDCE得出AE=DE47、（10分）如图，已知/仁/2,Z3=Z4,求证:AB=CDAE=DE.2450.如图9所示，ABC是等腰直角三角形，/ACB=90 ,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ADC =Z BDE.证明：作CG平分/ACB交AD于G/ ACB=90/ A