全国初中数学竞赛试题及答案

1、2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分.以下每道小题均给出了代号为 A, B, C, D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号 里，不填、多填或错填都得 0 分)1已知非零实数 a，b 满足 |2a4 +|b+2| + J(a3)b2+4 = 2a，则 a + b 等于().(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2【答】C.解：由题设知 a3,所以，题设的等式为|b + 2 +J(a3)b2=0，于是3.将一枚六个面编号分别为 1, 2,3, 4, 5, 6 的质地均匀的正方体骰子先组 a；只有正

2、数解的概率为25-(C) - (D)918a =3,b -2，从而 a 亠 b = 1.2.如图，菱形 ABCD 勺边长为a,点 O 是对角线 AC 上的一点，且a, OB= OC= OD= 1,贝 U a 等于().OA=(第2题)(A)于(B)4 (C C)1 (D) 2【答】A.解:因为 BOCoABC 所以二空，即1二旦，所以，a2-a-1 = 0.AB AC a a 1由 a 0，解得1.5a二2后投掷两次，记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为 b，则使关于 x, y 的方程1(A) - (B)121336【答】D.解:当 2a -b = 0 时,6 2b方程组无解.当 2a-

3、b = 0 时，方程组的解为2a - b2a - 3y-2a b由已知，得6 2b小- 0,2ab即I2a一3门0,i2a b2a -b 0,3a -,2b : 3,2a - b : 0,3a：,由a, b 的实际意义为 1, 2, 3, 4,2b 3.5, 6,可得a=2,3,，6,共有 5 乂 2= 10 种情况；或a=1,共 3 种情况. b =1,2, b = 4,5,6,又掷两次骰子出现的基本事件共 6X6 = 36 种情况，故所求的概率为 兰364如图 1 所示，在直角梯形 ABCD 中, AB/ DC . B = 90 .动点 P 从点B 出发，沿梯形的边由 BDA 运动.设点

4、P 运动的路程为 x, ABP 的面积为 y.把 y 看作 x 的函数，函数的图像如图 2 所示，则 ABC 的面积为（）.(A) 10 (B) 16 (C) 18 (D) 32图 2（第4题）1解：根据图像可得 BC= 4, CD= 5, DA= 5,进而求得 AB= 8,故SMBC= X8X4= 16.25.关于 x, y 的方程x2xy 2y2=29的整数解（x, y）的组数为（）.（A） 2 组（B） 3 组（C） 4 组（D）无穷多组【答】C.解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2yx （2y29H0.由于该方程有整数根，则判别式: 0,且是完全平方数.由2 2 2 21

5、16 ：= y -4（2 y -29） = -7y 116 0 ,解得y0,且使方程有实数根，即抡-(2t -1)2-2(3t2-6t 4)=-2t2870,.ACB =45 , 得 CF= x,于是 BF= 20-x.由于 EF/ AC,所以 巨=聖，即AC BC 152010. 10 个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则10是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的出来若报出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数平均数报是【答】-2 .解：设报 3 的人心里想的数是x,则报 5 的6(第10题)人心里想解：1.联立y =x2与

6、 y =(2t-1)x-c，消去 y 得二次方程x2-(2t-1)x c = 01有实数根x1，x2，则x1x2= 2t -1,X1X2=c .所以x1x2(xX2)2-(X；X；)10 分解不等式得t 1 解不等式得 2 -2 2所以，t 的取值范围为2一空t2 2.2 2.15 分131由式知 C 二一(3t2-6t 4) =3(t -1)2.222由于 c=3(t-1)2在22t2丄2时是递增的，所以，当t=22时，2 2 2 2 23422111-642“ 八Cmin(21). . 20 分222412已知正整数a满足 192a3191,且 a : 2009，求满足条件的所有可能的正整

7、数a的 和.解：由 192a3191 可得 192a3-1 .192=3 26，且 a3-1 二 a -1 la(a 1) 1l-(a-1)a(a 1) (a-1). . 5 分因为 a(a +1 )+1 是奇数，所以 26a3-1 等价于 26a -1，又因为 3 (a -1)a(a +1)，所以3a3-1 等价于 3a-1 .因此有 192a-1,于是可得 a=192k+1. . 15 分又0 .a : 2009，所以 k=0,1,|，0 .因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为 11 + 192 (1 + 2+ + 10) =10571. . 20 分13. 已知 AB 为。O 的直径

8、，弦 DC/AB，连接 DO .过点 D 作DO 的垂线，与 BA 的延长线交于点 E，过点 E 作 AC 的平行线交CD 于点 F ,过点 D 作 AC 的平行线交 BF 于点 G .求证：AG BG .证明：连接 AD, BC，因为四边形 AEFC 是平行四边形，所以 AE=FC .由于 AD 二 CB, DAE - BCF，因此有 DAE 也丄 BCF，于是可得ADE CBF . . 10 分又因为 DE 与。O 相切于点 D，所以.DCA- ADE .结合 DG / AC，可得GDC DCA ADE GBC ,于是 D, B, C, G 四点共圆.因此点 G 在。O 上，从而有 AG BG . . 20 分（第13题）14.n 个正整数 印，a?,an满足如下条件： 仁q：a?：11（：%=2009;且內，a?,an中任意 n 1 个不同的数的算术平均数都是正整数.求n 的最大值.解：设a, a?, ,an中去掉a后剩下的 n1 个数的算术平均数为正整数b,即b_ia?川 an) - ain -1于是，对于任意的 K i：j n-1 n -1 川 n-1 = (n-1)?,所