双曲线性质有关性质推论归纳共92条(高三数学)

1、d14 .点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角.5 .PT 平分PF1F2在点 P 处的内角,那么焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.6 .以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7 .以焦点半径 PR 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切工1A2B2；(2)L2a4A2b4B2a2b2|a2A2b2B2|222ab(ab0),C2：bx与ab)2,那么(i)又C1上任意给定b2,2ab的点吊(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点 M(2,2x0,ab.(ii)CC2上任一点P0(X0,y.)在 G G 上存在唯一的

2、点 M M,使得 M M 的任一直角弦都经过P.点.双曲线1IIPFil|PF2|2.标准方程:2x2a2a2自12一x18.设B(x0,y0)为双曲线一2ab21(a0,b0)上一点,P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 P0P1,P0P2斜率存在,记8.设 A1、(或 A1).A2为双曲线的左、右顶点,那么 4PF1F2在边 PF2(或 PFi)上的旁切圆,必与 A1A2所在的直线切于 A29.双曲线2y,、1(a0,b0)b2的两个顶点为A(a,0),A2(a,0),与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时AiPi与 A2P2交点的轨迹方程是10.假设F0(X0,y0)在双曲线2xa2x

3、a2x2a2yb22yb22yb21.1(a0,b0)上,那么过P0的双曲线的切线方程是 Wa1(a0,b0)外,那么过 Po 作双曲线的两条切线切点为弦 P1P2的直线方程是xx-2a2一,x12.AB 是双曲线ab22yb21.(a0,b0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB 的中点,13.假设P0(x0,y0)在双曲线2x2a2x14.右B(x0,y0)在双曲线215.假设 PQ 是双曲线2x16.右双曲线a2xa2yb2a2L1b22yb22yb21(a0,b0)内,那么被 Po 所平分的中点弦的方程是1(a0,b0)内,那么过 Po 的弦中点的轨迹方程是(ba0)上对中央张直

4、角的弦,1(ba0)上中央张直角的弦 L11那么心心r12所在直线方程为y0yb2R、贝UkoM1.P2,那么切点kABxx-2a2x-2ay0yb22yb22迎2axx-2aAxByb2-2.a2y.b2.y0yb2|OP|,r2|OQ|).1(AB0),那么(1)17.给定双曲线C1:b2x2a2y22.2ab2.2aby0).为 k1,k2,那么直线 P1P2通过定点M(mx0,my0)(m1)的充要条件是.1mb2k1k22.1ma19.2x过双曲线a2y1(a0,bo)上任一点A(XO,yo)任意作两条倾斜角互补白直线交双曲线于 B,C 两点,那么直线BC 有定向且kBCb b2x

5、x0(常数)a aV.20.2X双曲线Fa2yb2(a0,bo)的左右焦点分别为 FI,F2,点 P 为双曲线上任意一点F1PF2,那么双曲线的焦点角形的面积为F1PF2,2a2bcot,P(Jc22b2btan-,cot-).2c221.假设2XP 为双曲线PF2F12yb21(a0,b0)右(或左)支上除顶点外的任一点,FI,F2是焦点,catancot一(或ca2222.双曲线-yy1ab当M(Xo,y.)在右支上时,当M(Xo,y.)在左支上时,tancot)22(a0,bo)的焦半径公式：(FI(c,0),F2(c,0)|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.|MFJex0a,|MF

6、21ex0a.2223.假设双曲线三yY1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,那么当a2b21e0,b0)上任一点,F1F2为ab焦点,A 为双曲线内PF1F2定点,那么|AF2|2a|PA|2x25.双曲线2-a|P|,当且仅当A,F2,P三点共线且 P P 和A,F2在 y 轴同侧时,等号成立.2y1(a0,b0)上存在两点关于直线 l：yk(xx0)对称的充要条件是b22XO222(ab)a2b2k2.26.线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点

7、,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直28.x xP 是双曲线y yasecasec(a0,b0)上一点,那么点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是29. 设 A,B 为双曲线btanbtan2xaP,Q,那么APBQ.2x30.在双曲线-2a2匕b2当y0时,90.31.设 S 为双曲线2x2aM(XO,y)是 AB 中2与k(a0,b0,k0,k1)上两点,其直线 AB 与双曲线b21中,TH长为 2m(m)0)的弦中点轨迹方程为 m m2yy1(a0,bo)的通径,定长线段b22a那么当 lSlS 时,有(Xo)minc_2.2cossincossin2|-2abab12yb21ta

8、n21相交于淇中tan22bx-22,ayL 的两端点 A,B 在双曲线上移动,记l,22,2c豆(cab,e一)；当 l l|AB|=l,S S 时,有22xy38.MN 是经过双曲线三1(ab0)焦点的任一弦(交于同支),假设过双曲线中央 O 的半弦 OPMNOPMN, ,ab211122.a|MN|OP|ab2239 .设双曲线 xy41(a0,b0),M(m,o)为实轴所在直线上除中央,顶点外的任一点,过 M 引一条直aba2线与双曲线相交于 P、Q 两点,那么直线 AP、A2Q(A1,A2为两顶点)的交点 N 在直线l:x一上.40 .设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q

9、两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,那么 MFXNF.41 .过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 PQ,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,那么 MFNF.(x0)min32.a：4b2l2.2b22双曲线xy41ab(a0,b0)与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.双曲线(xX0)234._22Bb(Ax02x设双曲线-2a2aBy.2yb2(yy0)2八_-,一,、八,一(y2y0)1(a0,b0)与直线AxByC0有公共点的

10、充要条件是b2C)2.1(a0,b0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在PF1F2中,记F1PF2PF1F2,FF2P,那么有(sinsinsin35.经过双曲线Pi和 P2,那么|PAI|PA2136.双曲线1|QT2xa1a2y_b2.2yb212；(2)b237.MN 是经过双曲线行于 MN的弦,那么|AB|2(a0,b0)的实轴的两端点(ba0),O 为坐标原点,Ai和P、.2.2|OP|2+|OQ|2的最小值为-2；ba22xy2r1(a0,b0)过焦点的任一弦ab2a|MN|.A2的切线,与双曲线上任一点的切线相交于Q 为双曲线上两动点,且OPOQ.

11、(1)2b2(3)SOPQ的最小值是等.b2a2(交于两支),假设 AB 是经过双曲线中央 O 且平2x42.设双曲线方程 1a2yb21,那么斜率为 k(kw0)的平行弦的中点必在直线| |：ykx的共轲直线ykx上,而22xy.44.双曲线22-1(a0,b0),点 P 为其上一点a2b2分线为 l,作 F1、F2分别垂直|于 R、S,当 P 跑遍整个双曲线时,且kk号.a43.设 A、B、C、D 为双曲线241(a0,bo)上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为b2AB 与 CD 相交于 P 且 P 不在双曲线上,那么_22|PA|PB|bcos|PC|PD|b2cos22.2asi

12、n_22asinF1,F2为双曲线的焦点,FPF2的外(内)角平RS 形成的轨迹方程是222322224223222xya(ab(xc)(ab)xbcac(xc)y(abcy).45.设ABC 三顶点分别在双曲线上,且 AB 为的直径,l l 为 AB 的共轲直径所在的直线,l l 分别交直线 ACBC 于 E 和 F,又 D 为 l l 上一点,那么 CD 与双曲线相切的充要条件是 D 为 EF 的中点.46.过双曲线线交 x 轴于 P,那么22xya2b2|PF|MN|(a0,b0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分47.设 A(xi,yi)是双曲线

13、2x2a2y21(a0,b0)上任一点,过b2A 作一条斜率为b b2x x12ayay1的直线 L, 又设 d 是原点到直线 L 的距离,1上分别是 A 到双曲线两焦点的距离,那么配dabab.2222,一xy.一xy48.双曲线一221(a0,b0)和一22a2b2a2b2C、D 四点,那么|AB=|CD.(0(01 1),一条直线顺次与它们相交于A、B、49.双曲线2b2那么x0或x0a2yb22a1(a0,b0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点b250.设 P 点是双曲线a2xa2yb21(a0,b0)上异于实轴端点的任一点,FI、F2为其焦点记F

14、1PF22b2|PFI|PF2|1cos.(2)SPF1F251.设过双曲线的实轴上一点b2cot.2B(m,o)作直线与双曲线相交于 P、Q 两点,和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线MN：xn于 M,N 两点,那么MBN90o52.L 是经过双曲线2yb2(a0,b0)焦点 F 且与实轴垂直的直线,是离心率EPFEPF11那么是锐角且sin一或arcsin-ee53.L 是经过双曲线2yb2轴交点,点PL,e是离心率,EPFEPF.一.ab(当且仅当|PA|时取等号).c2x54.L 是双曲线一2a与 x 轴的交点,点PL且仅当|PF1|b.a2c55.双曲线P(x0,0),A 为双曲线

15、实轴的左顶点,连结2a22.b(na)A、B 是双曲线实轴的两个焦点,ab(当且仅当|PH|时取等号)c(a0,b0)的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线,E、F 是双曲线的准线与一一,、,一,、一一1力是 1 与*轴的交点 c 是半焦距,那么是锐角且sin,或e2y彳1(a0,b0)焦点 FI且与 x 轴垂直的直线,E、F 是双曲线准线与bEPFEPF,离心率为 e,e,c2时取等号).2x2ab21(a0,b0),直线(2a2与双曲线左焦点 FI连结起来,那么|F1A|F1B|A一AP.1arcsin-ex 轴交点,H 是 L一,1半焦距为c,那么为锐角且sin?或eL 通过其右焦点 F

16、2,且与双曲线右支交于A、.1arcsin(当eB 两点,将 A、B22b)-(当且仅当 AB,x 轴时取等号)a2258.设 A、B 是双曲线X21(a0,b0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域),外部的两点,ab(1)假设过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,(假设 BP 交双曲线这一支于两点,那么 P、Q 不关于 x 轴对称),2且PBAQBA,那么点 A、B 的横坐标XA、XB满足XAXBa；(2)假设过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,且PBAQBA180,那么点 A、B 的横坐标满足XAXBa2.2V11的实轴的两个端点,QQ是与 AAAA 垂

17、直的弦,那么直线AQ与AQ的交点 Pbbo迹姊妹圆(xa)y(-)(e为离心率).e22一,xy._64.P 是双曲线-匕1(a0,b0)上一个动点,A,A是它实轴的两个端点,且AQAP,AQAP,a2b222222一一一一xV设 A、B 是双曲线 f1(a0,b0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PABPAB,PBA,ab2.,2.2ab|cos|2,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,那么有(1)|PA|2一3.(2)tantan1e.(3)|accos|2,22abx2cot.b2a222设 A、B 是双曲线勺 41(a0,b0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两点

18、,ab256.BPASPAB57.且XA、XB的横坐标XAXBa,(1)假设过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,那么PBAQBA；假设过 B 引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,那么PBAQBA180.2x59.设A,A是双曲线 fa22的轨迹是双曲线与 41.a2b22260.过双曲线Xy1a2b22261.到双曲线Xy31ab圆(xec)2y2(eb)2.2262.至ij双曲线二、1a2b2是姊妹圆(xa)2y2b2.2263.至ij双曲线X2A1ab(a0,b0)(a0,b0)的右焦点F作互相垂直的两条弦 AB、CD 那么8ab2|AB|CD|.|ab|ca两焦点的

19、距离之比等于b(c 为半焦距)的动点 M 的轨迹是姊妹(a0,b0)的实轴两端点的距离之比等于(a0,b0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为(c 为半焦距)的动点 M 的轨迹ca(c为半焦距)的动点的轨b那么 Q 点的轨迹方程是 I 号1.aa65.双曲线的一条直径(过中央的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项22266.设双曲线与纭1(a0,b0)实轴的端点为A,庆尸(%,%)是双曲线上的点过 P 作斜率为二&的直abayay1线l,过A,A分别作垂直于实轴的直线交 l l 于M,M,那么.2(1)|AM|AM|b.(2)四边形 MAAMMAAM 面积

20、的最小值是 2ab2ab.2267.双曲线*2*1(a0,b0)的右准线 l l 与 x 轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线ab相交于 A、B 两点,点 C C 在右准线 l l 上,且 BCBCX X 轴,那么直线 AC 经过线段 EF 的中点.83.双曲线焦三角形中的长.,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,那么双曲线中央与垂足的距离为双曲线实半轴84.双曲线焦三角形中曲线实轴为直径的圆的切点,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双85.86.87.88.双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线

21、与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线.,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线.,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,那么以两交点为直径的圆必过两焦b,焦点 FI、F2到直线L的距离分别为 d1、d2,那么(1)d1d222在L同侧直线 L 和双曲线相切,或L是双曲线的渐近线.(2)d1d2b,且 FI、F2在 L 同侧线相离,(3)d1d2b2,或 F1、F2在 L 异侧直线 L 和双曲线相交.22,xy71 .AB 是双曲线彳1(a0,b0)的实轴,N N 是双曲线上的动点,过 N N 的切线与过 A、B 的切线交ab于 C C、

22、D两点,那么梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是x24a2y21(y0).22xy72 .设点P(x0,y0)为双曲线马1(a0,b0)的内部(含焦点白区域)一定点,AB 是双曲线过定点abP(x0,y0)的任一弦.(1)如 abab,那么当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时73 .双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切74 .双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点75 .双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c.76 .双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c.77 .双曲线焦三角形中,外点到

23、一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点78 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.79 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项80 .双曲线焦三角形中,双曲线中央到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81 .双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中央连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82 .双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,那么双曲线中央与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.68.OA、OB 是双曲线(xa)2直线 AB 必经过一个定点(2a2ab2b2a22匕1b2,0).(2)(a0,b0,且 ab)ab)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原点,那么(1)以 OA、OB 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是,2,2Qab.22/ab.2.(x722)y(722