初等数论研究数的规律

1、20212725984王涛不定方程论不定方程王涛20212725984摘要：不定方程是数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容.所谓不定方程是指解的范围为整婺、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数.正文：初等数论是研究数的规律,特别是整数性质的数学分支.它是数论的一个最古老的分支.它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程.换言之,初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论.另外还有解析数论用解析的方法研究数论.、代数数论用代数结构的方法研究数论.初等数论已经有2000年的历史,公元前300年,欧几里得发现

2、了素数是数论的基石,他自己证实了有无穷多个素数.公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼创造了一种筛法.2000年来,数论学的一个最重要的任务,就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式,或者称为素数普遍公式,为此,人类消耗了巨大的心血.彳爰来发现埃拉托塞尼筛法可以转古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过假设干这类方程,所以不定方程又称丢番图方程,是数论的重要分支学科,也是历史上最活泼的数学领域之一.不定方程的内容十分丰富,与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系.1969年,莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果.了指标和估计问题一一表示论的雏形.不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢

3、番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.Diophantus,古代希腊人,被誉为代数学的鼻祖,流传下来关于他的生平事迹并不多.今天我们称整系数的不定方程为 Diophantus方程,内容主要是探讨其整数解或有理数解.他有三本著作,其中最有名的是?算术?,当中包含了189个问题及其答案,而许多都是不定方程组变量的个数大于方程的个数或不定方程式两个变数以上.丢番图只考虑正有理数解,而不定方程通常有无穷多解的.研究不定方程要解决三个问题：判断何时有解.有解时决定解的个数.求出所有的解.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的张

4、丘建算经?中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究.秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.百鸡问题说:“鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何？.设x,y,z分别表鸡翁、母、雏的个数,那么此问题即为不定方程组的非负整数解x,y,z,这是一个三元不定方程组问题.根底知识1.不定方程问题的常见类型：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数(有限个还是无限2 .解不定方程问题常用的解法:(1)代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等;(2)不等式估算法： 利用不等式等方法,确定出方程中某些变量的范围,进而求

5、解；(3)同余法： 对等式两边取特殊的模(如奇偶分析),缩小变量的范围或性质,得出不定方程的整数解或判定其无解；(4)构造法： 构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证实方程有无穷多解；(5)无穷递推法.一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c.其中a,b,c是整数,ab中0此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除co假设a、b互质,即它们的最大公约数为1,(x0,y0)是 所 给 方 程 的 一 个 解 , 那 么 此 方 程 的 解 可 表 为(x=x0-bt,y=y0+at)|t为任意整数.S(2)元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+asxs=

6、n0a1,as,n为整数,且alasQ此方程有整数解的充分必要条件是al,as的最大公约数整除n.埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年,古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数,他自己证实了有无穷多个素数,公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：一 要得到不大于某个自然数N的所有素数,只要在2-N中将不大于的素数的倍数全部划去即可后来人们二将上面的内容等价转换：如果N是合数,那么它有一个因子d满足1dwVN?根底数论?13页,U杜德利著,上暹科技出版社.三再将二的内容等价转换：假设自然数N不能被不大于根号MN的任何素数整除,那么N是一个素数见代数学辞典上

7、海教育出版社1985年.屉部贞世朗编.259页.四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=pkmk+ak.1其中p1,p2,.,pk表示顺序素数2,3,5,.awQ即N不能是2m+0,3m+0,5m+0,pkm+0形.假设N-此尸=2她=/+ ,其中值： 小二0叮=1的一组特解,为此对37,107运用辗转相除法：1口7=2切讨3,37=1x33+45/431将上述过程回填,得：1-33-x4-37-4-8x4-37-?x4-37-5x(37-33)-3x33-8x37x(107-2x37)-8x37=?107-26x37=37x(-26)+107x5由此可知,9是方程6+1叮了 7 的一组特解,于是&=乃位皿=-651,匕=25=225是方程 67 吸=乃的一组特p-650+107?解,因此原方程的一切整数解为：1八225-6.例2,求不定方程7M+L,213的所有正整数解.解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项,并型产=30%+亨移项得:由于“是整数,故X 也一