2020-2021学年北师大版必修1第二章2.1函数概念学案

1、§ 2对函数的进一步认识2. 1 函数概念预习案" ©研谟导学，尝情学生用书P19)1 .函数的定义给定两个非空数集 A和B,如果按照某个对应关系f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数 f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合 A上的城应 记作f: AfB,或y= f(x), xC A.此时，x叫作自变量，集合 A叫作函数的定义域，集 合f(x)|xC A叫作函数的值域.习惯上我们称y是x的函数.2.区间与无穷的概念(1)区间设a, b是两个实数，而且 a<b,规定如下表:定义名称符号几何表小x|a<x< b闭区间a

2、, b燧bxa<x<b开区间(a, b)gq叫a：Ax|a< x<b左闭右开区间a. b)»OaXx|a<x< b4开启闭区间(a. b0»aX这里实数a, b都叫作相应区间的端旦(2)无穷概念及无穷区间定义Rx|x > ax|x>ax|x< ax|x<a符号(1 00 , + 00 )a，+8 )(a, +°°1( 一 °°, a(一0°, a)自习氏尝试,2 .判断正误(正确的打，错误的打"x”)任何两个集合之间都可以建立函数关系.()(2)根据函数的

3、定义，定义域内不同的x可以对应同一个 y.()对于函数f：人一8或丫=心)，xC A,其值域yy=f(x), xC A?B.()区间是一种特殊的集合.()答案：(1)X (2)V (3)， (4)，3 .已知 F(u)=u2, M(u)=6u2-u-3,则 F(3)+M(2) = ()A. 30B. 28C. 26D. 24解析：选 B.因为 F(3)=32=9, M(2)=6X 22-2-3= 19,所以 F(3) + M(2) = 9+19=28,故选 B.3,函数f(x)= 11的定义域是 (用区间表示).1 2x解析：要使函数f(x)= pJ有意义，则1 2x>0,即x<1

4、,所以f(x)的定义域为 一00,V1 -2x2答案：8 ,4.若a, 3a1为一确定区间，则 a的取值范围是 1解析：根据区间的规定应有 a<3a-1,即a会- 一 1答案：2， +°°庙名师指津H1 .函数的本质两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可.2,对函数相等的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函 数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和

5、值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数的对应关 系不一定相同.如 y=x与y= 3x的定义域和值域都是 R,但它们的对应关系不同，所以是 两个不同的函数.3.对函数符号f(x)的理解f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘 积.在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图像、表格等.函数除了 可用符号f(x)表示外，还可用g(x)、F(x)等表示.讲解喏二程究:突球C. 2(2)下图中能表示函数关系的是D. 3 【解析】(1)中，因为在集合 M中，当1<xw 2时，在N中无元素与之对应，所以 不是；中，对于集合

6、M中的任意一个数 x,在N中都有唯一的数与之对应 ，所以是； 中，x=2对应元素y=3?N,所以不是；中，当x= 1时，在N中有两个元素与之对 应，所以不是.因此只有是.故选 B.(2)由于中的2与1和3同时对应，故不是函数.【答案】(1)B(2)卜(1)判断所给对应是否为函数的方法先观察两个数集 A, B是否非空.验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.(2)根据图形判断对应是否为函数的步骤任取一条垂直于 x轴的直线1.在定义域内平行移动直线1.若1与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.在JR踪训练1.下列集合A到集合B的

7、对应f是函数的是()A. A=-1, 0, 1, B = 0, 1, f: A 中的数平方B. A=0, 1, B = -1, 0, 1, f: A 中的数开方C. A=Z, B = Q, f: A中的数取倒数D. A=R, B=正实数, f： A中的数取绝对值解析：选A.选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素士，不符合函数定义中 一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合 A中任意元素都对应着唯一函数值的要求；选项 D中，集合A中 的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义.只有选项A符合函数定义.探究点2 相等函数

8、的判定学生用书P20例团下列各组中的两个函数是否表示同一函数？(1)f(x)=|x|,想)="；(2)y= Rx+ 1 .x- 1, y =孝-1 ；(3)y= J1 +x 小x, y = 1 -x2 ；.x24(4)f(x)=-T，g(x)=x+2； x 2(5)f(x)= N (x+ 2) 2, g(x)= |x+ 2|.,只是表示形式不【解】(1)在定义域R上，f(x) = |x|和(f(t)=、/F的对应关系完全相同 同，所以它们表示同一函数.(2)y= jx+ 1 7x 1 的定义域为1, +°°), y = )x2 1 的定义域为(00, - 1 U

9、1 , + °°),它们的定义域.同，故它们不表示同一函数.(3)在定义域1, 1上，y = «1 + x 41 x与y= 5 x2表示同一函数.x2 4,(4)f(x)=x+2(xw2),它与g(x)=x + 2的对应关系相同，但定义域不同，所以它x 2们不表示同一函数.(5)f(x)=N (x+ 2) 2 =|x+2,它与g(x)=|x+2|的对应关系和定义域分别相同，所以它们表示同一函数.国园国判断两个函数为相等函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只有一个不相同就不是相等函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相等函数.(2)函数是两个数集之间的对应

10、关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.旦JR踪训练2.下列各组函数中，表示同一函数的是()2A. f(x)=x-1, g(x)=:一1B. f(x)=|x|, g(x)=(Vx)2C. f(x)=x, g(x) = >/x3D. f(x)=2x, g(x)= V4x2解析：选C.A、B中两函数的定义域不同，D中两函数的对应关系不同，故选C.探究点3 求函数的定义域学生用书P20例叵1 (1)函数y=Tx±，的定义域是()A . (- 1 , +8 )C. ( 1, 1)U(1, +8)(2)若函数y=f(x)的定义域是0, 2

11、,A. 0, 1C. 0, 1)U(1, 4x+1>0, 【解析】(1)由x 1 W0, 得 xC 1, 1) U (1 , + 8).0<2x<2,(2)由得 xC 0, 1).x 1 W0,【答案】(1)D (2)BB. 1, +8 )D. -1, 1)U (1, i ) f (2x则函数g(x)=:的定义域是()x 1B. 0, 1)D. (0, 1)(1)求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围.当f(x)是整式时，其定义域为R;当f(x)是分式时，其定义域是使分母不为0的实数的集合；当f(x)是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实

12、数的集合(2)已知函数f(x)的定义域为a, b,则函数f(g(x)的定义域是指满足不等式 a<g(x)<b 的x的取值集合.一般地，函数f(g(x)的定义域为a, b,指的是xCa, b,要求f(x)的定 义域，就是求x a, b时g(x)的值域.在自踪训练3.(1)已知函数f(x)的定义域为0, 1,求f(x2+1)的定义域；(2)已知函数f(2x1)的定义域为0, 1),求f(1 3x)的定义域.年：(1)因为函数f(x2+1)中的x2+1相当于函数f(x)中的x,所以 0<x2+ K 1,所以一1Wx2W0,所以x=0,所以f(x2+1)的定义域为0.(2)因为f(2

13、x1)的定义域为0, 1),即 0Wxv1 ,所以一1W2x1<1,所以f(x)的定义域为 1,1),即一K 1-3x< 1,所以0<x< 2,3所以f(1 3x)的定义域为0,2.3探究点4 求函数值和值域学生用书P21例 4 已知 f(x) = ；(xC R, xw 2), g(x)=x+ 4(xCR).E. x(1)求 f(1), g(1)的值;(2)求 fg(x).1 【解】(1)f(1) =1, g(1)= 1 + 4=5.1 _1_一 厂c、(2)fg(x)=f(x+ 4)=2_(/4)= _2 _x= x+ 2(xTR，且 xw 2).Q目国I陶E91 .

14、在本例条件下，求 gf(1)的值及f(2x+ 1)的表达式.解：gf(1)=g(1)=1 + 4=5.1111f(2x+ 1) = -7t= - x x C R,且xw -.'2 2 ( 2x +1) 2x-122 .若将本例g(x)的定义域改为0,1,2, 3,求g(x)的值域.解：因为 g(x)=x+4, xC0, 1, 2, 3,所以 g(0) = 4, g(1) = 5, g(2) = 6, g(3) = 7.所以g(x)的值域为4, 5, 6, 7.(1)求函数值的方法先要确定出函数的对应关系f的具体含义，然后将变量取值代入解析式计算，对于fg(x)型的求值,按“由内到外”的

15、顺序进行,要注意fg(x)与gf(x)的区别.(2)求函数值域的常用方法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接 看出其值域的方法；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的 形式，便于求值域；换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.在黑除训练4.(1)已知函数f(x)=51,且f(a)=3,则a =.(2)求下列函数的值域：丫; 2x+ 1;y=x24x+ 6, xC1, 5)；3x- 1x+ 1 ' y=x+ 由.解：(1)因

16、为 f(x)=01,所以 f(a) = «1.又因为f(a)=3,所以血一1 = 3, a=16.故填16.(2)因为xC R,所以2x+1CR,即函数的值域为 R.配方：y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因为 xC 1 , 5),如图所示.W 1 2 3 4 5所以所求函数的值域为2, 11).借助反比例函数的特征求.3 (x+ 1)4 q片x+1=3 x+1'显然.可取0以外的一切实数，x+ 1即所求函数的值域为y|yw3.设 u= >/x(x>0),则 x= u2(u> 0),c.1 21 一y=u2+u= u+ 2 4(u)0).由u>0,

17、可知u+2 >1，所以y>0.所以函数y=x+ 4x的值域为0, +°°).养提升易错警示求函数定义域时因考虑不全而致误工店 一，t (X 1) 0,一,典例 函数f(x) =，-5x + 6 +x+冈的定义域为 【解析】要使函数有意义，必须-5x+6>0,x- 1 w 0, 解得x+ |x|w 0,故函数的定义域是(0,x< 5, 56 一即 0<xW)且 xW 1 ,xw 1,5'x>0, 61)U 1, 5 .【答案】(0, 1)U 1, 65(1)易忽略x- 1W0或x+|x|W0的限制致错.(2)若函数y=f(x)的解析

18、式是由几部分数学式子组成，则函数的定义域是指使解析式有 意义的实数的集合，即是使各部分有意义的集合的交集.当堂检测 1 I 111,函数y= 2x3的定义域是()x 233A. 2, +00b. 2, 2 U(2, +8 )3 八 , 一一， C. 2, 2 U(2, +8)d. ( 8, 2)U(2, +8)2x- 3>0,33解析：选B.由得x>3且xw2,所以定义域为 ",2 U(2, +8).x2W0,222 .函数的图像与直线x= 1的交点最多有()A. 0个B. 1个C. 2个D.以上都不对解析：选B.当1在函数的定义域内时，直线x= 1与函数的图像有且只有

19、1个交点，当 1不在函数的定义域内时，无交点.3 .设f（x）=x2=，则匚号一等于（） x十11f 2A. 13C.5解析：选 B. f(2)= f x = 52B.D.3-,所以 1.故选B.51f 24 .已知集合 M = y|y=x x1, x C R , N = x|y = >j3 _x2,则 MAN =解析：因为 M = -1, +8), N= <3,妙,所以 MAN=1,噩,答案:1,斓1 .下列各组函数表示相等函数的是（）x2 9 人A. y=r与 y = x+ 3x x-3B. y=-/x2-1 与 y=x-12C. y="与 y=x（xw0） xD .

20、 y=2x+ 1, xCZ 与 y=2x 1, xC Z解析：选C.A中两函数定义域不同，B、D中两函数对应关系不同，C中两函数定义域 与对应关系都相同，故选C.2.若函数y = f(x)的定义域为 M=x|2WxW2,值域为N = y|0<y<2,则函数y =f（x）的图像可能是（）解析：选B.A中定义域是x| 2WxW 0,不是M = x|-2<x< 2, C中图像不表示函 数关系，D中值域不是N= y|0< y< 2.13,函数y=-"的定义域为（）A. x" 0B. x|xw 1C. x/0 或 xw - 1D. xXw0 且 x

21、w1解析：选D.由题意可得xW。且1 + 1W0,即xW0且xW 1.x4.下列函数中，不满足 f(2x)=2f(x)的是()A. f(x)=|x|B, f(x) = x|x|C. f(x)=x+1D. f(x) = x解析：选 C.若 f(x)=|x|,则 f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);若 f(x)=x-|x|,则 f(2x) = 2x-|2x| = 2(x|x|)=2f(x);若 f(x) = x,则 f(2x)=2x=2f(x);若 f(x)=x+1,则 f(2x)=2x+1,不 满足 f(2x)=2f(x).5.若函数f(x)=ax2-1, a为一个正数，且f(f(1)=

22、1,则a的值是()A. 1B. 0C. - 1D. 2解析：选 A.因为 f(x) = ax21,所以 f(1)=a1,f(f(-1)=f(a-1) = a (a-1)2-1 = - 1.所以 a(a 1)2=0.又因为a为正数，所以a= 1.6 .下表表示y是x的函数，则当x=6时，对应的函数值是 .x0<x< 11<x< 55<x< 10x> 10y1234解析：因为5<6< 10,所以当x=6时，对应的函数值是 3.答案：37 .如果函数 f: A-B,其中 A = -3, -2, 1, 1, 2, 3, 4,对于任意 a A,在 B

23、 中都有唯一确定的同和它对应，则函数的值域为 .解析：由题意知，对aCA, |a|CB,故函数值域为1 , 2, 3, 4.答案：1 , 2, 3, 418 .已知函数 f(x)="-, g(x)=x2+2,则 f(g(2)=, g(f(2)=.1 + x2解析：g(2) = 22+2=6, f(g(2)=f(6) = =；, f(2) = = , g(f(2) = g ； =+21+671+233319 =9 .答案：7 1991 k 1 9,记函数f(x)=-=的7£义域为集合 A,函数g(x)=图像在第二、四象限时，k2x-3x的取值集合为B,函数h(x) = x2+

24、2x+4的值域为集合 C.(1)求集合A, B, C.(2)求集合 AU (?rB), AA(BUC).3解：(1)由 2x-3>0,得 x>2,所以 A= 3, +00 ,由 k- 1<0,得 k<1,所以 B=(- 8, 1),因为 h(x)=x2+2x+ 4=(x+ 1)2+3>3,所以 C= 3,+).(2)AU (?rB)= 1 , +8), An(BUC)=3, + oo).x2io.已知函数f(x)=m. 1x2(1)求 f(2)+f . , f(3) + f 1 的值 23.1 u(2)求证：f(x) + f ；是7E值. x求 2f(1) + f

25、(2)+f 2 +f(3) + f 3 + f(2 016)+f 焉 +f(2 017) + f 2017 的值. 232 0 162 017xf(4) + f 4 =1,解：(1)因为 f(x)=±”，1 + x222 .1所以 f(2) + f 2 =1 + 22_ 1f(3) + f 3,十1 +1232 2,-12 1，2(2)证明:1 + 321 f(x) + f x xx21 + x21 2x11+ xx2 1 x2,1x2+ 1=x2+ =1, 走7直.1 一一 一-=1,因为 f(1)+f(1)= 1, x(3)由(2)知 f(x)+fI ,f(2) + f 2 =1,f(3) + f 1 =1,31 f(2 017)+ f 2=1,所以 2f(1)+f(2) + f 1 +f(3) + f 1 +f(2 016) + f +f(2 017) + f T1Z =2 017. 232 0 162 0 17B 能力提升II .已知 f(x)满足 f(ab)=f(a) + f(b),且 f(2) = p, f(3) = q,那么 f(72)等于()A.C.p+q2p+ 3qB.D.3p+ 2q p3+q2解析：选 B.因为 f(ab)=f(a