数学建模综合训练试题

1、2010年重庆文理学院数学建模竞赛论文格式规范l 甲组参赛队从A、B题中任选一题，乙组参赛队从C、D题中任选一题。l 论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。l 论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。l 论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。l 论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。l 论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。l 论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。l 论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文

2、中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。l 提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。l 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如13等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考

3、文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。l 在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。l 本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。注 赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前

4、取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所

5、属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题 关于警力的分布问题今年3月23日早晨，福建省南平市实验小学多名无辜学生在校门口被犯罪分子砍杀。该起重大恶性伤害事件引起了某市市委、市政府领导的高度重视，立即召集市公安局、教育局、行政执法局等有关部门和单位，召开加强校园周边特殊时段安全防范工作

6、紧急会议，研究确定了加强校园周边安全防护工作的若干意见。根据要求，公安部门要将学校安保工作纳入综合控制体系，加强社会嫌疑人员监控与防范。继续做好和落实公安部推出的维护校园及周边治安秩序“八条措施”。要在上下学高峰时段统筹派遣警力值勤护卫，加强校园周边巡逻与保卫工作。在学生、幼儿上下学的重点时段，各所中小学、幼儿园附近道路上安排警员执勤点。要做好应急处置工作，对学校险情进行快速反应，及时处置。现有某区域内学校分布如图，设各标志点之间的道路为直线段。假设警员的执勤点布置在标志点，在接警后能以200米/分的速度赶往现场，根据学校人数的规模分类，各类学校要求尽可能在1分钟之内到达，第2类学校要求尽可能

7、在2分钟之内能有第二名警员到达。1至少需要多少警员？2选择合理的执勤点位置，给出方案的评价。3若执勤点布置不限定在标志点，而是限定在道路上，重新讨论上述问题。B题 河流流域水量调度近年来，我国各地旱情频发，干旱不仅严重影响了农业、工业等生产活动，甚至还影响到人民群众正常的饮用需水，造成了巨大的经济损失。2010年4月份我国西南地区，百余天无降雨；长江上游许多地区也由于长时间缺少降雨，不少支流告急。随着夏季农忙时节的逐渐来临，缺水的状况会更加严峻。因此，科学、合理地运用水库群的水文补偿和库容补偿能力，实现水库群联合调度，是提高流域抗旱能力的重要非工程措施之一，也是各级政府作为改善民生的重点项目。

8、对于水量调度问题，一般将河流流域分成若干个河段，设置控制断面，监测每个河段的水量，通过计算整体的供水量与需水量关系，然后通过调节流域上各大水库的出库流量，达到水量调度目的。下图为我国某省的一条河流流域的网络概化图。该流域共有大型水库2座，中型水库2座，另外，流域下游分布有三个灌溉区。该流域旱季在7月9月，需水量极大，特别是农业灌溉约占全年农业用水总量的66%左右，如果此时出现缺水情况，会造成三生（工、农、生活）相互争水现象。因此，需要合理调配用水，充分调动各方面水利资源，动态分配用水量。分配水的原则，常考虑先满足生活用水，后满足农业用水，其次是工业用水，兼顾生态环境，进行区域性的限制用水，并启

9、动相应水库调度措施，进而实现对相应河段的水量进行实时调控、均匀分配水量资源。下面给定这个河流流域的部分历史数据（见附件），包括供水量和需水量两部分。其中供水量有以下各表：各个河段河流实测径流量，各个控制断面检测到的降雨量，各个河段排污口的排水量（回水量），各大水库多年平均入库流量，各大水库库容量（水位值）；需水量包括：河道内生态需水量，生活、农业、林牧渔业、工业需水量，河道外的生态需水量。另附河流流域各河段的特征表。（1）针对抚河流域水资源调度问题，建立干流串联或混联模型及支流并联模型。（2）根据划分区域分析典型的控制断面，利用分析得到的影响因素、相关信息，应用干流、支流两个模型，以1月作为开

10、始调度期，建立合理的数学模型，实现水库群的联合调度解决方案。（3）对于旱季（7月-9月），给出水量调度整体的指导性意见。各水库特征参数水库名称正常蓄水位(m)有效库容(亿m3)死水位(m)死库容(亿m3)调节库容(亿m3)1月份初始水位（m）大型水库111404.49710761.1363.3611085大型水库29704.649361.742.90939中型水库38370.6688220.1010.567824中型水库47600.8147200.1120.702723水位-库容关系表大型水库1水位(m)9809901000101010201030104010501060库容(亿m3)0.00

11、00.00630.02160.05970.12380.21510.33970.50530.7111水位(m)107010751080108510901092110011051110库容(亿m3)0.96191.10541.26251.43321.61731.81632.03152.26512.5182水位(m)11151120112511301135114011451150库容(亿m3)2.79063.08413.40083.74144.10694.49714.91205.3530大型水库2水位(m)930935936.0937.0938.0939.0940.0941.0942.0943.0库

12、容(亿m3)1.101.651.741.851.962.082.192.322.442.56水位(m)944.0945.0946947.0948.0949.0950.0951.0952.0953.库容(亿m3)2.692.802.923.043.163.293.423.573.723.86水位(m)954.0955.0956.0957.0958.0959.0960.0961.0962963.0库容(亿m3)4.014.154.294.434.564.734.895.065.245.41水位(m)964.0965.0966.0967.0968.0969.0970.0971972977.5库容(亿

13、m3)5.595.775.956.116.286.466.646.857.067.24中型水库3水位(m)822823824825826827828829830831库容(亿m3)0.1010.1370.1720.2080.2420.2780.3130.3500.3840.412水位(m)832833834835836837库容(亿m3)0.4910.5260.5610.5980.6330.668中型水库4水位(m)720.0721722723724725726727728729库容(亿m3)0.1120.1290.1470.1650.1820.2000.2170.2350.2520.270水

14、位(m)730731732734735736737738739740库容(亿m3)0.2870.3050.3230.3400.3570.3750.3930.4100.4230.446水位(m)741742743744745746747748749750库容(亿m3)0.4630.4810.4990.5160.5330.5510.5860.6030.6210.638水位(m)751752753754755756757758759760库容(亿m3)0.6560.6730.6920.7090.7260.7440.7610.7790.7970.814尾水曲线尾水曲线，指水库水位对应的最大出库流量。大

15、型水库1水位(m)976977978979980981982983984流量(m3/s)27.0062.40116.00187.00276.00387.00527.00680.00838.00水位(m)9859869879889899909959981000流量(m3/s)1020.01220.01420.01630.01870.02110.03450.04520.05230.0水位(m)10051007流量(m3/s)7160.08000.0大型水库2水位(m)836.00836.50837.00837.50838.00838.50839.00840.00842.00流量(m3/s)0.00

16、10.0025.0035.0055.0080.00105.00180.00420.00水位(m)845.00847.00850.00852.00855.00857.00860.00862.00865.00流量(m3/s)900.001250.01850.02250.05770.06870.08670.01003012130水位(m)871.00流量(m3/s)16620中型水库3水位(m)760.50761.00763.00765.00767.00769.00771.00773.00775.00流量(m3/s)26.0026.9065.30104.00153.0211.00277.00353.

17、00445.00水位(m)777.00779.00781.00783.00785.00787.00788.00789.00790.00流量(m3/s)564.00703.00849.001000.01160.01320.01410.01500.01590.0水位(m)794.00流量(m3/s)1950.0中型水库4水位(m)626.00626.50627.00628.00629.00630.00631.00632.00633.00流量(m3/s)62.00137.00223.00430.00676.00935.001210.01500.01800.0水位(m)634.00635.00636.

18、00637.00639.00640.00642.00650.00660.00流量(m3/s)2110.02420.02740.03080.03810.04200.05000.08400.012300水位(m)670.00流量(m3/s)16500多年平均入库流量(m3/s)水库1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月大型水库136.54142.348.488.248244415420683.874.146.1大型水库269.0270.7969.1491.57182.02362.66585.311611638372.567.80中型水库39.59.35.48.91112401805

19、340142010.6中型水库45.533.912.324572303202563163739河流流域各控制断面生态需水流量(m3/s)控 制断 面1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月控制断面19.211.624.439.839.220.214.27.810.89.06.47.3控制断面213.729.481.069.862.939.137.222.617.916.811.29.1控制断面326.336.592.4114.9149.351.638.222.329.425.820.320.1控制断面461.186.8220.2251.5300.0105.780.349.758.

20、748.432.732.3控制断面543.851.8117.8160.5176.546.341.124.627.424.519.520.0控制断面62.83.04.97.29.32.53.02.13.62.82.22.3控制断面726.739.794.4109.8521.3178.7166.584.296.575.153.744.3控制断面823.334.994.1105.2514.9182.1151.980.690.770.850.640.7控制断面9101.0147.5382.0425.2557.7182.4142.685.092.077.856.747.3河道外生态用水量该流域河道外生态

21、需水（现状年）约为0.559亿m3。河流流域各控制断面降水量(单位：mm)控 制断 面1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月年 降水 量控制断面170.6122.1204240299.1296.8126.2127.386.474.259.445.31751.4控制断面274128.8214.2255.7284.4312.3119.5125.578.268.258.648.51767.9控制断面367.8107.2181.9223.4257274.9118.9113.976.457.954.744.61578.6控制断面474.5110.7185.7230265.6286.913

22、5.212171.560.75948.91649.7控制断面581.2117.8201.14231.4276.8299.5133.1128.275.365.162.853.31725.64控制断面679.2110.2188.7248.8270297.5147.3124.372.259.460.948.71707.2控制断面783.9125.9202.8258.7277.8304.4146.4139.994.673.970.155.91834.3控制断面880.2121.2196.8239.8270.7296.2131.1130.381.666.666.553.21734.3控制断面976.91

23、05.5173.2217.5253.9278.7140.9123.56955.158.746.51599.4流域各河段特征河段河长（km）集雨面积（km2）控制断面1以上83.82691控制断面1控制断面339.61251控制断面3控制断面440.22052控制断面4控制断面933.0372控制断面2以上54.02254控制断面2河口9.777控制断面4河口2.5218控制断面5以上104.34793控制断面6以上29.6641控制断面6河口23.5496控制断面7河口45.0262控制断面8河口45.9346控制断面9河口46.4358河流流域各控制断面生活、农业、林牧渔业、工业多年平均需水

24、量（单位：亿m3）用水区域名称生活需水量农业灌溉需水量林牧渔业需水量工业需水量总计控制断面1以上0.1371.0770.0960.0221.332控制断面1控制断面30.4432.651.0090.2074.309控制断面3控制断面41.156.490.5881.0059.233控制断面4控制断面90.5202.9550.1890.2353.899控制断面2以上0.1651.20.290.0631.718控制断面2河口0.1421.0690.2120.0591.482控制断面5以上0.6764.0710.430.1835.36控制断面5河口0.3201.8210.1170.1452.403控制

25、断面6以上0.0980.8650.0020.2091.174控制断面6河口0.0560.4910.0010.1190.667控制断面7河口0.4554.3990.1410.4615.456控制断面8河口0.6015.8090.1860.6097.205灌溉区10.0395.2230.0210.1565.439灌溉区20.0395.1820.0150.1295.365灌溉区30.1105.2950.0820.2025.689河流流域各控制断面月均径流量（单位：亿m3）流域各河段1956 年2000 年径流量年内分配统计控制断面1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月多年平均径流量控

26、制断面10.440.621.131.602.092.461.210.850.660.640.480.4112.59控制断面20.620.881.572.432.653.31.721.090.990.780.670.5817.28控制断面31.362.053.765.656.928.344.242.51.971.851.451.2541.34控制断面42.954.087.7411.6914.3616.849.575.414.243.753.172.7886.58控制断面51.662.635.067.698.759.845.072.862.461.911.721.4751.12控制断面60.150

27、.220.450.730.790.880.510.310.230.180.150.134.73控制断面70.210.250.330.410.50.690.390.30.250.260.230.213.93控制断面80.260.40.731.131.151.30.650.390.310.240.250.226.03控制断面95.117.8414.9922.6727.331.0216.748.997.296.035.374.61157.96流域重要排污口控 制 断 面作 用 区 域取水量或用水量（万吨/年）排入水体实际排污水量（万吨/年）控制断面1以上360.0A江280.50控制断面1控制断面3

28、890.70B干流695.36控制断面3控制断面4390B干流300控制断面4控制断面91914B干流1476.7控制断面2以上140.00大型水库1112.00控制断面5以上2175D江1643.25控制断面6以上1177.65C江907.12C题 森林管理问题 自然资源可以分为两大类，一类叫做消耗性资源，比如煤、铁、石油等矿产，随着人类的开采，它不断被消耗，贮存量越来越少，一直到被消耗完为止；另一部分叫做可更新资源，比如森林、渔场和各种野生动物等资源，在人们利用其中一部分以后，能够通过资源群的自我更新而得到恢复，从而达到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一部分以后，它就能够经过自我更新再长起来，当然恢复的时间随树种和林型的不同而不同。现在，考虑一片年龄很长的树种（100-200年）森林，已知森林中各年龄树木的数量分布。为了维持森林的基本管理费用，森林中的树木在一定的时间周期内要有一批被砍伐出售。设V(t)表示年龄为t的树木的价值，由于该片森林是年龄很长的树种，所以在考虑树木的价值时必须同时考虑到现金的时间贴现，称r为贴现率，即时间t的单位现金只相当于当前的e-rt，同时也需要考虑管理成本等经济问题。森林管理者希望你队能帮助他解决下列问题：1. 若已知各年龄树木的价值，给出单株树木最优砍伐的时间，且T满足；2. 如果已知，i=1,2,n及r，试给出最