实变函数与泛函分析基础第三版第七章答案

1、习题解答1 1、设(X, d)为一度量空间，令U(Xo,;)=x I x X , d(x,Xo)S(Xo,;)=x | x X ,d(x,x)乞;，问U(x0,)的闭包是否等于S(x0,;)。解答：在一般度量空间中不成立U(X。，；)= S(,；)，例如：取R1的度量子空间X二0,1U2,3，贝UX中的开球U(1,1)=x X;d(1,x)：:1的的闭包是0,1，而S(1,1) = x X;d(1,x)叮=0,1U2即三角不等式成立d( f, g) Ed( f, h) d(h,g)。QO3 3、设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集O1,O2|On|包含B，而且On二B。nm1证明：设 B

2、 为度量空间 X 中的闭集，作集：On=x|d(x,B)：,( n=1,2,),On为开集，从n而只要证 BOn；n #QQ可实上，由于任意正整数n，有B On，故：BQOn。2 2、设C:a,b是区间a,b上无限次可微函数全体,QQ定义d(f ,g)r=0(r)(r)1I f(t)-g3(t)| -max2a岂冬_,证明:1 |f (t)-g(t)|C节a,b按d( f ,g)构成度量空间。证明：(1 1)显然d(f,g)_0且d(f,g)=0=戸:竹叫卩心rt a,b有1 |f (t)-g)(t)|1I f(t)-g(t)| -r,匸max2a岂兰| f(r)(t) -g(t)|=0，特别

3、当r =0,a,b时有| f(t) - g (t)|=0= t a,b有f(t)=g(t)。(2)由函数f(t)1在0,：)上单调增加，从而对-f,g,hCa,b有1 +tQQd(f,g) =vr二0I f(t)-g(t)|丄无罟1 |f(t)g(t)|f(r)(t)-h(r)(t) h(r)(t)-g(r)(t)|1= maxy 2ra匕 1| f(r)(t)一h(r)(t) - h(r)(t) - g(r)(t) |学丄x|f(r)(t)-h(t)| + |h(t)-g(t)|_r2r a%1 | f(t)h(t)| |h(r)(t)g(r)(t)|=丄 _|f(t)-h(t)|_2r璽1

4、 +1 f(t) _ h(r)(t) | + |h(r)(t) _ g(r)(t) |1,|h(t)-g(t)|(r)(r)二1maxr2rat1 | f(r)(t) _h(r)(t) | |h(r)(t) _g(r)(t) |八:=1max|叫)卅)|v2r a1 | f(t) h(t)|(r)(r)(r)n=1max|仁(t) - f(t) |0( n)，则;0, N/n有:a 1 ib1另一方面，对任意的 XoOn，有 Od(XnB) ,(n=1,2)nn令n_：有d(Xo,B)=O。所以x B(因 B 为闭集)。这就是说，0.Bn二1综上所证有：B 二门 On。n A4 4、设d(x,

5、y)为度量空间(X,d)上的距离，证明d(x,y)d(X, y)也是X上的距离。证明：首先由d(x，y)为度量空间(X，d)上的距离且甌八册因此显然有虱y)且盹，八0的充要条件是d(x, y)=0，而d(x,y) =0的充要条件是x=y，因此d(x,y)=O的充要条件是x = y。其次由函数f (t)-在0, ：)上单调增加有1+td(x,y)二d(x，y)d(x，z) d(y，z)1 + d(x,y) 1+d(x,z)+d(y,z)兰d(x,z)+ d(y, z)1 d(x,z) d(y, z) 1 d(x,z) d(y, z)d(x,z) d(y，z)d(x,z) d(y,z)1 d(x,

6、z) 1 d(y, z)即三角不等式成立。所以d(x,y)也是X上的距离。5 5、证明点列 fn按题 2 2 中距离收敛于fC：ia,b的充要条件为fn的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数。证明：由题 2 2 距离的定义:|f-g(r)(t)|则有:001d(f,g) 7 max(r)(r)7 2r a1 + | fg(r)(t)| 1 i f(t _ f)t若fn上述距离收敛于f，则班的:尹0 nT：。所以对任何非负整数r有:max严dfnf)0(nT。由此对任何非负实数r有maxi仁-f(r)(t)H 0(n ：)。(r)从而对任何非负整数r，fn的各阶导数fn(r)在a,b上一致收

7、敛于f的各阶导数f(r)。反之：若对每个r，fn的各阶导数fn(r)在a,b上一致收敛于f的各阶导数f，则对每个r =0,1,2川I有maxi fn- f(t)|从而对任意的非负实数r有:maxftf门.；。又由于11。从而取N二max( N0, Nj, 11(NR),n N时R 1212(11+；y 27 121+；2是-；0, N,- nN有d(fn,f)：从而点列 fn按题 2 2 中距离收敛于f Ca,b。7 7、设E及F是度量空间中两个集，如果d(E,F) 0,证明必有不相交开集0及G分别包含E及F。1证明：记r=d(E,F)二inf d(x, y) 0。-xE,以d(x, F)为半

8、径作点x的邻域x壬,y汙2Ju(x,、；x)，则o是开集且E O。同理可作开集G，使得F G =Uu(y，y)Cyd(y,E)。y zF2余证Op|G：，如若不然即O|Gi：，则存在POp|G，由O及G的作法可知，必有xE,r F，使得11P U(x,、x),P U(y,、y)，即d(x,P)d(x,F)，d(y,P)d(y,E)。从而有221d(x,y) 3(x,P) d(y,P)：2【d(x,F) d(y,E)另一方面d(x, F) _d(x, y)，d(y, E) _d(x, y)，从而有1d(x,y)_?d(x,F)d(y,E) d(x, y)，由于d(x,y) d(E,F)二r in

9、f d(x, y) 0，故得矛盾。因此OdG，-。xW ,yh9 9、设X是可分距离空间，F为X的一个开覆盖，即F是一族开集，使得对每个x X，有F中的开集O， 使x O，证明必可从F中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明：因X是可分距离空间，所以在X中存在可数稠密子集B =x1,x2|xjl| o因F是X的一个开覆盖。因此x X，存在F中的开集O,使得x O且x是O的内点。存在r 0，使rrrXU(x,r) O,因B在X中稠密，从而可在U(X,)上取出B中的点Xk，再取有理数r，使得r :一”如汀弓：，r -02从而，d&f)岂歹巒+|fn(r)(t)_f(r)(t)|(r)(r)是

10、-；0, R有:(r)(r)dtf：瓢axff(r)(r)池-f(r)(t)| 1max厲-fFl池*2H|fn(r)(tf(r)(t)|=L丄maxy2r aB1 |fn(r)(t) -f(r)(t)|(r)(r)(r)(r)U(x,、J，令0X1(此处的有理数r与x,Xk均有关系)于是U(Xk,r) U(x,r) O，由x X的任意性从而满足该条件的开集442(此处的有理数r与x,Xk均有关系)于是U(Xk,r) U(x,r) O，由x X的任意性从而满足该条件的开集O的全体覆盖X。又由于U (Xk, r )的Xk和r均为可数故这种开集O的全体至多可数。1010、设X是距离空间，A为X中的

11、子集，令f(x)二i nfd(x,y),xX，证明f (x)是X上的连续函数。x .A证明：x, Xo X，则由d(x, y) _d(x, xo) d(Xo, y)可得inf d(x,y)乞d(x,Xo) inf d(x, y)二f (x)辽d(x,Xo) f(x)y .Ay5A=f (x) - f (Xo)乞d(X,Xo)同理可得：f (xo) - f (x ) _ d(x, xo) = | f (x) - f (xo) |_ d(x, xo) o因此当Xr xo即d(x,xo)“ o时有| f (x fox ) | o所以f (x) =infd(x,y),xX在x处连续，由x在X上的任意性得f (x)二inf d (x, y)在X上连续。1414、CauahyCauahy 点列是有界点列。证明：设Xn是度量空间中的(X,d)中的 CauahyCauahy