2018年秋九年级数学下册册北师大版（贵州）教学：3.3 垂径定理ppt课件

1、1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.了解垂直于弦的直径的性质和推论，并能运用它处理一些简单的计算、证明和作图问题.重点3.灵敏运用垂径定理处理有关圆的问题.难点学习目的问题:他知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的间隔)为7.23m，他能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新课导入新课情境引入问题：如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为P.他能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?线段: AP=BP弧: AC=BC, AD=BD理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC

2、,AD与BD重合 OABDPC讲授新课讲授新课垂径定理及其推论一OABDCP试一试试一试知：在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD，垂足为P. 求证：AP=BP， AC =BC,AD =BD.证明：衔接OA、OB、CA、CB，那么OA=OB.即AOB是等腰三角形.ABCD，AP=BP， AC =BC.AD =BD，AOC=BOC.从而AOD=BOD.想一想： 能不能用所学过的知识证明他的结论？u垂径定理OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. CD是直径，CDAB，(条件) AP=BP, AC =BC,AD =BD.(结论)归纳总结u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要

3、的定理,三种言语要相互转化,构成整体,才干运用自若.想一想：以下图形能否具备垂径定理的条件？假设不是，请阐明为什么？是不是，由于没有垂直是不是，由于CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE垂径定理的几个根本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC归纳总结 假设把垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心 ；垂直于弦； 平分弦；平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思索探求 DOABEC举例证明其中一种组合方法知:求证： CD CD是直径是直径 CDAB CDAB，垂

4、足为，垂足为E E AE=BE AE=BE AC=BC AC=BC AD=BD AD=BD 证明猜测AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？如图，AB是 O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.1CDAB吗？为什么？2OABCDE2由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.1衔接AO,BO,那么AO=BO,又AE=BE，AOEBOESSS，AEO=BEO=90，CDAB.证明举例思索：“不是直径这个条件能去掉吗？假设不能，请举出反例. 平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论OABCD特别阐明：圆的两条直径是相互平分的.归纳总结垂径定理的本质是:满足其中任两条，

5、必定同时满足另三条1一条直线过圆心2这条直线垂直于弦3这条直线平分不是直径的弦4这条直线平分不是直径的弦所对的优弧5这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧例1 如图，OEAB于E，假设O的半径为10cm,OE=6cm,那么AB= cm.OABE解析：衔接OA， OEAB， AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算二22221068AEOAOEcm.典例精析例2 如图， O的弦AB8cm ，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：衔接OA， CEAB于D，118 4(cm)22ADAB 设OC=xcm，那么OD=x-2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为

6、5cm.x2=42+(x-2)2，例3：知： O中弦ABCD,求证：ACBD.MCDABON证明：作直径MNAB.ABCD，MNCD.那么AMBM，CMDM垂直弦的直径平分弦所对的弧 AMCMBMDMACBD试一试：根据所学新知，他能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实践运用三ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，那么D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. AB=37m，CD=7.23m. AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R27.3m.即主桥

7、拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 222OAADOD 例4如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:衔接OC. OCDEF,OECD11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,那么OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m. 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，那么弓形的高为_. 64C DCBOADOAB图a图b2cm或或1

8、2cm 针对训练 在圆中有关弦长在圆中有关弦长a,半径半径r, 弦心距弦心距d圆心圆心到弦的间隔，弓形高到弦的间隔，弓形高h的计算题，经的计算题，经常经过连半径或作弦心距构造直角三角常经过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系弓形中重要数量关系ABC DOhrd2a2222ard d+h=r OABC1.知知 O中，弦中，弦AB=8cm，圆心到，圆心到AB的间隔为的间隔为3cm，那么此圆的半径为，那么此圆的半径

9、为 .5cm2. O的直径的直径AB=20cm, BAC=30,那么弦那么弦AC= . 10 3 cm当堂练习当堂练习3.如图，在 O中，AB、AC为相互垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. 4.知：如图，在以知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的为圆心的两个同心圆中，大圆的弦弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。他以为两点。他以为AC和和

10、BD有什么关有什么关系？为什么？系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E， 那么AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.O.ACDBE6.分类讨论题知O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,那么弦MN和EF之间的间隔为 .14cm或2cm5. 如图，在ABC中，知ACB=130，BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，那么BD的长为_7.如图，某窗户由矩形和弓形组成，知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径解：弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，OEAB于F，AF= AB=3m，设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，AO=r，OF=r-2，在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32+r-22，解得r= m即，AB所在圆O的半径为 m21413413拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP垂径定理内容推