【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2-3 函数的奇偶性与周期性随堂训练 理 苏教版

1、第第 3 3 课时课时函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性一、填空题一、填空题1已知函数已知函数 f(x)1mex1是奇函数，则是奇函数，则 m 的值为的值为_解析：解析：f(x)f(x)，即，即 f(x)f(x)0，1mex11mex10，2mexex1mex10，2mex1(1ex)0，2m0，m2.答案：答案：22设设 f(x)是定义在是定义在 R 上的奇函数，且当上的奇函数，且当 x0 时，时，f(x)2x3，则，则 f(2)_.解析：解析：设设 x0，则，则x0，f(x)2x3f(x)，故，故 f(x)32x，所以，所以f(2)3221.答案：答案：13已知函数已知函数 f(x)

2、a12x1，若，若 f(x)为奇函数，则为奇函数，则 a_.解析：解析：解法一：解法一：f(x)为奇函数，定义域为为奇函数，定义域为 R，f(0)0a12010a12.经检验，当经检验，当 a12时，时，f(x)为奇函数为奇函数解法二：解法二：f(x)为奇函数，为奇函数，f(x)f(x)，即，即 a12x1a12x1 .2a12x12x12x1，a12.答案：答案：124若若 f(x)ax2bx3ab 是定义在是定义在a1,2a上的偶函数，则上的偶函数，则 a_，b_.解析：解析：由由 a12a 及及 f(x)f(x)，可得，可得 a13，b0.答案：答案：1305设奇函数设奇函数 f(x)的

3、定义域为的定义域为5,5若当若当 x0,5时，时，f(x)的图象如图所示，则不等式的图象如图所示，则不等式f(x)0 的解集是的解集是_解析解析：由奇函数的定义画出函数由奇函数的定义画出函数 y=f(x)，x-5,5的图象的图象由图象可知由图象可知 f(x)0 的解集的解集为为：x|-2x0 或或 2x5答案答案：x|-2x0 或或 2x56(2010全国大联考三江苏卷全国大联考三江苏卷)定义在定义在2,2上的偶函数上的偶函数 f(x)，它在，它在0,2上的图象是一上的图象是一条如图所示的线段，则不等式条如图所示的线段，则不等式 f(x)f(x)x 的解集为的解集为_解析：解析：f(x)f(x

4、)x 即即 f(x)x2，如图，由数形结合法可知不等式的解集为，如图，由数形结合法可知不等式的解集为2,1)答案答案：-2,1)二、解答题二、解答题7已知已知 f(x)是是 R 上的奇函数，且当上的奇函数，且当 x0 时，时，f(x)x3x1，求，求 f(x)的解析式的解析式解：解：设设 x0，则，则x0，f(x)(x)3x1x3x1.由由 f(x)为奇函数，为奇函数，f(x)f(x)x3x1f(x)，即，即 f(x)x3x1.x 0 时 ，时 ， f(x) x3 x 1 ， 又， 又 f(x) 是 奇 函 数 是 奇 函 数 f(0) 0 ， f(x) x3x1(x0)0(x0)x3x1(x

5、0).8f(x)是定义在是定义在 R 上的奇函数，且满足上的奇函数，且满足 f(x2)f(x)，又当，又当 x(0,1)时，时，f(x)2x1，求求 f()的值的值解：解：x(0,1)时，时，f(x)2x1.x(1,0)时，时，f(x)f(x)2x1，468，32.又又 f(x2)f(x)，知，知 f(x)是周期为是周期为 2 的函数的函数120，f()f(2)132112.9(南京市高三调研测试南京市高三调研测试)已知定义在实数集已知定义在实数集 R 上的偶函数上的偶函数 f(x)的最小值为的最小值为 3，且当，且当 x0时，时，f(x)3exa(a 为常数为常数)(1)求函数求函数 f(x

6、)的解析式；的解析式；(2)求最大的整数求最大的整数 m(m1)，使得存在实数，使得存在实数 t，对任意的，对任意的 x1，m，都有，都有 f(xt)3ex.解：解：(1)函数函数 yex是增函数，所以当是增函数，所以当 x0 时，时，f(x)也是增函数又因为也是增函数又因为 f(x)是偶函数是偶函数，所以所以 f(x)minf(0)3a.又又 f(x)的最小值是的最小值是 3，故，故 3a3，a0.当当 x0 时，因为时，因为x0，所以，所以 f(x)f(x)3ex.综上可知，综上可知，f(x)3ex，x03ex，x0.(2)解法一：解法一：因为因为 x1，m时，有时，有 f(xt)3ex，

7、故，故 f(1t)3e.当当 1t0 时，时，3e1t3e，e1te,1t1，1t0；当；当 1t0 时，同理可得，时，同理可得，2t1；从而必有从而必有2t0.同样地，由同样地，由 f(mt)3em 及及 m2，得，得 etemem.由由 t 的存在性知，上述关于的存在性知，上述关于 t 的不等式在区间的不等式在区间2,0上必有解上必有解因为因为 et在区间在区间2,0上的最小值是上的最小值是 e2，所以所以 e2emem，即，即 eme3m0，令令 g(x)exe3x，x2，)，则，则 g(x)exe3.由由 g(x)0，得，得 x3.当当 2x3 时，时，g(x)0，g(x)是减函数；当

8、是减函数；当 x3 时，时，g(x)0，g(x)是增函数是增函数故故 g(x)的最小值是的最小值是 g(3)2e30，又，又 g(2)e2(12e)0，g(4)e3(e4)0，而而 g(5)e3(e25)0.由此可见，方程由此可见，方程 g(x)0 在区间在区间2，)上有唯一解上有唯一解 m0(4,5)，且当且当 2xm0时，时，g(x)0；当；当 xm0时，时，g(x)0.即在即在 x2，)时满足不等式时满足不等式的最大实数解是的最大实数解是 m0，而当而当 t2，x1，m0时，时，f(x2)3ex3e(e|x2|1x)，在在 x1,2时，因为时，因为 e|x2|1e1x1，所以，所以 f(

9、x2)3ex0；在在 x(2，m0时，时，f(x2)3ex3e(ex3x)3e2(exe3x)3e2g(x)0.综上所述，综上所述，m 的最大整数是的最大整数是 4.解法二：解法二：满足条件的最大整数满足条件的最大整数 m 为为 4.先证先证 m4 符合题意：符合题意：取取 t2，当，当 x1,2时，因为时，因为 f(xt)3e|x2|3e2x3e,3ex3e，所以所以 f(x2)3ex；当当 x(2,4时，时，f(xt)3exf(x2)3ex3e(ex3x)3e2(exe3x)，令令 g(x)exe3x，则，则 g(x)exe3.由由 g(x)0，得，得 x3.当当 2x3 时，时，g(x)

10、0，g(x)是减函数是减函数；当当 3x4 时时，g(x)0，g(x)是增函数是增函数；故故 g(x)的最大值是的最大值是 g(2)和和 g(4)中的较大者中的较大者因为因为 g(2)e2(12e)0，g(4)e3(e4)0，故，故 g(x)0，即当，即当 x(2,4时，时，f(xt)3ex0，所以，所以 f(5t)15e.这说明这说明 x5 时时 f(xt)3ex 不成立综上所述，不成立综上所述，m 的最大整数是的最大整数是 4.1已知函数已知函数 f(x)x2ax(x0，aR)(1)当当 a2 时，解不等式时，解不等式 f(x)f(x1)2x1；(2)讨论讨论 f(x)的奇偶性，并说明理由

11、的奇偶性，并说明理由解：解：(1)x22x(x1)22x12x1，2x2x10，x(x1)0.原不等式的解集为原不等式的解集为x|0 x1(2)当当 a0 时，时，f(x)x2.对任意对任意 x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数为偶函数当当 a0 时时，f(x)x2ax(a0，x0)，取取 x1 得得 f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数函数 f(x)既不是奇函数，也既不是奇函数，也不是偶函数不是偶函数2设函数设函数 f(x)在在(，)上满足上满足 f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间，且在闭区间0,7上只有上只有 f(1)f(3)0.(1)试判断函数试判断函数 yf(x)的奇偶性；的奇偶性；(2)试求方程试求方程 f(x)0 在闭区间在闭区间2 005，2 005上的根的个数，并证明你的结论上的根的个数，并证明你的结论解：解：(1)f(1)0，且，且 f(x)在在0,7上只有上只有 f(1)f(3)0，且，且 f(2x)f(2x)，令令 x3，f(1)f(5)0，f(1)f(1)，且，且 f(1)f(1)f(x)既不是奇函数，也不是偶函数既不是奇函数，也不是偶函数(2)f(10 x)f2(8x)f2(8x)f(6x)f7(