人教统编部编版高中数学必修一A版第三章《函数概念与性质》全章节教案教学设计(含章末综合复习)

1、【新教材】人教统编版高中数学必修一 A版第三章教案教学设计第3章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示1.1.1 函数的基本性质（单调性与最大值）1.1.2 函数的基本性质（奇偶性的概念与应用）3.3 哥函数3.4 函数的应用（一）本章综合与测试3.1 函数的概念及其表示教材分析：课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法， 图象法，列表法 函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法因此， 在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用在

2、研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程教学目标与核心素养：课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1. 数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2. 逻辑推理：由条件求函数解析式；3. 数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4. 数据分析：利用图像表示函数；5. 数学建模：由实

3、际问题构建合理的函数模型。教学重难点：重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程：1、 情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表 不法定义是？优缺点是？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.2、 预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1 .表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2 .函数的各种表示法各有什么特点？3 .什么是

4、分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4 .怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题3、 新知探究1 .函数的表示法列表法图像法解析法定义用表格的形式把两个变量 问的函数关系表示出来的 方法用图像把两个变量间的 函数关系表不出来的方 法一个函数的对应关系可以用 自变量的解析式表示出来的 方法优点不必通过计算就能知道两 个变量之间的对应关系，比较一直观可以i直观地表示函数 的局部变化规律，进而 可以预测它的整体趋势能叫便利地通过计算等手段研究函数性质缺点只能表示有限个元素的函数关系有些函数的图像难以精确作出一些实际问题难以找到它

5、的解析式2.分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x的不同取值范围，有着不 同的对应关系的函数.(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域 的并集;各段函数的定义域的交集是空集.点睛(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的.如y =1, -2<x<0,x, 0<x< 3,其“段”是不等长的.四、典例分析、举一反三题型一函数的定义 例1某种笔记本的单价是5元，买x (x C 1 , 2, 3 , 4, 5)个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数 y=f(x).【答

6、案】见解析【解析】这个函数的定义域是数集1,2, 3,4, 5.用解析法可将函数y=f (x)表示为y=5x, x 1 , 2, 3 , 4, 5用图像法可将函数y=f(x)表示为解题技巧：(表示函数的注意事项)用列表法可将函数y=f(x)表示为笔记本地工1231551520251 .函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意 判断一个图形是否是函数图象的依据;2 .解析法：必须注明函数的定义域；3 .图象法：是否连线;4 .列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.x123f(x)211跟踪训练一1.已知函数f(x) , g(x)分别由下表给出.x123g

7、(x)321则 f ( g(1)的值为;当 g ( f (x)=2 时，x =【答案】1 1【解析】由于函数关系是用表格形式给出的，知=1.由于 g (2) =2, a f (x) =2,.x=1.题型二分段函数求|x-1|-2, |x|<1,例2 已知函数f (x)1g (1) =3,.f ( g(1) =f (3)值(1)求 f (?)的值;若f(x) =1 ，求x的值3【答案】143±7213113【解析】(1)因为f 2 = 21 2=2，二f32- 132f(x) =1,若 |x| < 1,则 |x1|2 = 1,得 x=10 或 x=4. 3333因为|x|

8、< 1,所以x的值不存在；若|x|>1 ,则三=1，得 x=±g 符合 |x| >1.1 T x 3所以若f(x) =1, x的值为士 2.3解题技巧：(分段函数求值问题)1 .求分段函数的函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(xo)的形式时，应从 内到外依次求值.2 .求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上， 然后相应求出自变量的值，切记代入检验.跟踪训练二x2+2, x<2,A 函数 f(x)= 4若 f(X0)=8,则 x0=.1. 5x，x>2.【

9、答案】一6或10【解析】解析：当xo&2时,f(x 0) =x2+ 2=8,即x】=6,二 x°= %6或 x°= 36(舍去)；4当 x0>2 时，f(x 0) = 7x0, - x0 = 10.5综上可知，x°= 6或x0=10.题型三求函数解析式例 3 (1)已知 f(x+1)= ?-3x+2,求 f(x);已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x, 求f(x)的解析式; 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2, 求f(x).【答案】见解析【解析】(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-

10、1.将 x=t-1 代入 f(x+1)= ?-3x+2,得 f(t尸 (? 1)2-3(t-1)+2= 72-5t+6, . .f(x)= ?-5x+6.(方法二)f(x+1)= ? -3x+2= ?+2x+1-5x-5+6=(?+ 1)2-5(x+1)+6, f(x)= ?-5x+6.(2)设所求的二次函数为f(x)=a ?+bx+c(a w 0). f(0)=1, . c=1,贝U f(x)=a ?2+bx+1.: f(x+1)-f(x)=2x 对任意的x R都成立,a(?+ 1)2+b(x+1)+1-(a ?+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,由恒等式的性质，得 2a12'

11、; a+ b = 0,.'. a = 1,.所求二次函数为 f(x)=x -x+1.、b = -1.(3)二.对于任意的 x 都有 f(x)+2f(-x)=3x-2,将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得-，、 一 2f(x)=-3x- 3 .解题技巧：(求函数解析式的四种常用方法)1 .直接法(代入法)：已知f(x)的解析式，求f(g(x)的解析式，直接将g(x)代入即 可.2 .待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数 解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出 函数解析式

12、.3 .换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x)的解析式求f(x)的解析式可 用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x)中求出f(t), 从而求出f(x).4 .解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个 变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量 的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解 析式，这种方法叫做解方程组法或消元法.跟踪训练三1 .已知f(x)是一次函数，且f(f(x)=2x-1, 求f(x)的解析式;2 .已知f( vx+1)=x+2AJ,求f(x)的

13、解析式;1.3.设函数 f(x)潴足 f(x)+2f (x)=x(xw0),求 f(x).【答案】见解析【解析】(1) - f(x)为一次函数,可设f(x)=ax+b(a *0).x+ab+b=2x-1. f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a y2冷解彳导亡1展%=1-3故 f(x)= v2x+1-/或 f(x)=- Kx+1+禺. 22(2)(方法一)f(9+1)=(淑)+23+1-1=(心+1) -1,其中3+1十1,故所求函数的解析式为f(x)=x -1,其中x>1.(方法二)令 vx+1=t,则 x=(t-1)，且 t1,函数f( i+1)=x+2*可化为f(t)

14、=(t-1)+2(t-1)=t -1,故所求函数的解析式为f(x)=x -1,其中 x> 1.(3)因为对任意的xC R,且xw0都有f(x)+2f (1)=x成立， x所以对于 gcR,且-W0,有 f(3)+2f(x)= 1f(x) + 2f心=x,两式组成方程组1 x 1f(" 2f(x)=1X2-得,f(x)= 3(2-x).题型四函数的图像及应用例4 1.函数f(x) =|x1|的图象是()BCD2.给定函数 f(x) = x + 1, g(x) = (x + 1)2, x R(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图像；(2) ?x CR,用M(x)表示

15、f(x),g(x)中的较大者，记为M(x) = maxf(x) ,g(x).请分别用图像法和解析法表示函数 M(x).【答案】1.B 2.见解析x1, x>1,【解析】1.法一：函数的解析式可化为y=, 画出此分段函数的1 -x, x<1.图象，故选B.法二：由f( 1)=2,知图象过点(一1,2),排除A G D,故选B.2.(1)同一直角坐标系中函数f(x),g(x)的图像(2)结合M(x)的定义，可得函数M(x)的图像由(x + 1)2 = x + 1,得 x(x + 1) = 0.解得x = 1,或 x = 0.由图易知M(x)的解析式为(x+ 1)2,x <-1M(

16、x)= x + 1,-1 < ?M 0(x+1')2x> 0解题方法(函数图像问题处理措施)(1)若y=f (x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接 画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍(2)若y=f (x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：列表；描点;连线三个基本步骤作出y=f (x)的图象.(3)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可， 作图时要特别注 意接点处点的虚实，保证不重不漏.跟踪训练四1.已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是.一b,

17、 a> b,2 .若定义 运算a。b =则函数f(x) = x。(2 x)的值域 为a, a< b.【答案】1.f(x)x+ 1, - 1<x<0,x, 0<x< 12. ( 8, 1【解析】1.由图可知，图象是由两条线段组成，当一1Wx<0时，设f(x) =axa+b=0,a=1,+ b,将(一1,0) , (0,1)代入解析式，则,彳b= 1.b=1.当 00x01 时，设 f(x) =kx,将(1 , 1)代入，则 k=1.2 x, x>1,2.由题意得f(x)=画出函数f(x)的图象得值域是(一,1.x, x< 1 ,题型五函数的实

18、际应用例5下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级 及班级平均分表：第一次 第二次第三次 第四次 第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均88. 278. 385. 480. 375. 782. 6分请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.【答案】见解析【解析】从表可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学 的成绩变化情况。如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分 别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图3.1-6，那么就能直观地看到每位 同学成绩变化的情况，这

19、对我们的分析很有帮助.从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平 均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水 平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.|<H 1加、 7H国 I I -6五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计3.1.2函数的表示法1 .函数的表示法例1 例2 例3 例42 .分段函数七、作业课本72页习题3.1教学反思：理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表 示函数，注意

20、分段函数的表示方法及其图象的画法。3.2.1 单调性与最大（小）值教材分析：函数的单调性与最大（小）值»系人教A版高中数学必修第一册第三章 第二节的内容，本节包括函数的单调性的定义与判断及其证明、函数最大（小） 值的求法。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性，这节 内容是初中有关内容的深化、延伸和提高函数的单调性是函数众多性质中的重要 性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延 续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数 函数、幕函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、 比较两数大小

21、等具体问需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研 究函数性质的救开结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。课程目标与核心素养： 课程目标：A.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；B.掌握增（减）函数的证明与判断；C.能利用单调性求函数的最大（小）值；D.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 学科素养：1 .数学抽象：函数的单调性；2 .逻辑推理：证明函数的单调性；3 .数学运算：求函数的最大（小）值；4 .直观想象：由函数的图象研究函数的单调性；5 .数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。 教学重难点：1 .教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；2 .教学难点：证明函数的单

22、调性，求函数的最值。课前准备：多媒体 教学过程：、情景引入1.观察这些函数图像，你能说说他们分别反映了相应函数的哪些特征吗?2、它们分别反映了相应函数有什么变化规律?二、探索新知探究一单调性1、思考：如何利用函数解析式f(x) x2描述“随着x的增大，相应的f(x)随着增大？”【答案】图象在区间(0,)上 逐渐上在(0,)内随着x的增大，y也增大。对于区间(0,)内任意x,x2，当x1 x2升,时f(xi)f(x2)。这是，就说函数f(x) x2在区间(0,)上是增函数.2、你能类似地描述f(x) x2在区间(，0)上是减函数吗？22【答案】在区间(,0)内任取不?2,得到f(xi) xi ,

23、 f(x2) x2，当xix2时，都有f (xi)f(x2)。这时，我们就说函数在区间(，0)上是这减函数.f(x) x23、思考：函数f(x) |x|, f(x)x2各有怎样的单调性？f (x) | x|在区间(单调递增。f(x)x2在区间(，0)上单调递增，在区间(0,)上单调单调性概念递减。对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值xi,x2,当xi x2时，都有 o就说函数f(x)在区间D上是增函数.对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ?2,当xi x2时，都 有 。就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就说函数y =f

24、(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做y =f(x)的。【答案】不一定,4、思考：函数y f (x)在定义域的某区间上 存在x1,x2满足x1 x2, 且f(x1) f(x2)，那么函数y f(x)在该区间上一定是增函 数吗？5、思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域 内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另 一些区间上单调递减的函数例子吗？【答案】y=2x+3,牛刀小试:1、如图是定义在闭区间卜5,5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出 y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。【答案】函

25、数f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中f(x)在区间-5,-2),1,3)上是减函数, 在区间-2,1),3,5 上是增函数。例1根据定义，研究函数 f (x) kx b(k 0)的单调性。【答案】解析见教材结论：用定义证明函数的单调性的步骤：1 .取数：任取 xi, x2 C D,且 xi<x2;2 .作差：f(x i) f (x2);3 .变形：通常是因式分解和配方；4 .定号：判断差f(xi) f(x2)的正负；5 .结论：指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.例2 物理学中的玻意耳定律p J(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体, 当其体积V

26、减小时，压强p将增大，试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数p 9 (k为正常数)在区间。，)上是减函数.【答案】解析见教材例3根据定义证明函数y x -在区间(1,)上单调递增。x解析见教材探究二函数的最大(小)值1、思考：观察这两个函数图象，图中有个最高点，设函数 y=f(x)图象上最高点 的纵坐标为M则对函数定义域内任意自变量 x, f(x)与M的大小关系如何？图1雕【答案】f(x)< M定义：一般地，设函数y= f (x)的定义域为I ,如果存在实数M满足：(1)对于任意的x CI ,都有f (x)<M;(2)存在 x0 I ,使得 f(xo) M .则M是函数y=

27、 f (x) 的最大值(maximum value)2、思考：能否仿照函数的最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ,如果实数M满足：(1)对于任意的的xC I ,都有f(x) >M;(2)存在 x0 I ,使得 f(xo) M .那么我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimun value ).例4菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h米与时间t秒之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1米

28、)？1例5 已知函数f(x) (x 2,6),求函数f(x)的最大值与最小. x 1【答案】解析见教材分析：由函数的图象可知道，此函数在2, 6上递减。所以在区间2, 6的两 个端点上分别取得最大值与最小值.解析见教材。、达标检测1 .下列函数在区间(0, +8)上不是增函数的是()A. y = 2x+1 B . y = x2+1C. y = 3 xD. y = x2+ 2x+1【解析】函数y = 3 x在区间(0 , +00)上是减函数.【答案】C2 .函数f(x) = x2+2x + 3的单调减区间是()A. (8, 1) B .(1 , +oo)C. (8, 2) D . (2, +oo

29、)【解析】易知函数f(x)= x2+ 2x +3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x=1,所以其单调减区间是(1 , +oo).【答案】B3 .若函数y = ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A 2 B 2C 2 或 2 D 0【解析】由题意，aw0,当a>0时，有(2a+1)(a+1)=2,解得a = 2；当 a<0 时，有(a+1)(2 a+1)=2,解得 a= 2.综上知 a=±2.【答案】C4 .函数 y = x22x, x 0,3的值域为()A 0,3 B 1,0C. -1, i) D . -1,3【解析】:函数 y=x2 2x=(

30、x1)21, xC 0,3 , 二当 x=1 时，函数y 取得最小值为1，当x=3时，函数取得最大值为3,故函数的值域为1,3,故选D.【答案】D5 .已知函数 f(x)=x2 x+1.(1) 画出函数的图象；(2) 根据图象求函数在区间 1,1 上的最大值【解】(1) 图象如图所示：(2)由图象知，函数在1,1上的最大值是3.四、小结1 .增函数、减函数的定义；2 .证明函数单调性的步骤；3 .函数的最大(小)值。五、作业习题3.2 3,4,7 题教学反思：本节课在预设时就考虑到要使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法，在课堂教学时更注意

31、到要培养学生从具体到象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程和不断探 求新知识的能力，因而本节课的教学效果还是达到了预定的教学目标。通过本节课的教学，使我深深地明白，通过钻研课本、了解学生、明白教学目 标、设定切合实际的教学目标，围绕目标精心组织教学 ，以培养学生的学习兴趣 为出发点，就一定能搞好数学教学。3. 2.2 奇偶性第1课时奇偶性的概念学 习 目 标1 .了解函数奇偶性的定义.2 .掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3 .会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.知识点一 函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶囱数，图象关于原点对称的函数称为奇 函数.知识点二函数奇偶

32、性的定义1 .偶函数：函数f (x)的定义域为I ,如果？ xC I ,都有一x C I ,且f ( x) = f (x), 那么函数f(x)就叫做偶函数.2 .奇函数：函数f(x)的定义域为I ,如果？ xC I ,都有xCI ,且f ( x)= f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称.判断正误1 .奇、偶函数的定义域都关于原点对称.(V )2 .函数f(x) =x2+|x|的图象关于原点对称.(X )3 .对于定义在 R上的函数f(x),若f(1)=f(1),则函数f(x)一定是偶函数.(X )4 .不存在既是奇函数又是偶函

33、数的函数.(X )题解析一、函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性.,1 f (x) =； x(2) f (x) =x2(x2 + 2);, xG3)f(x)=； x 1 f( x)=由2_ i+M1-x2.解(1) f(x) =1 的定义域为(一oo, 0)U(0, +oo), x一 、11.,、.f(x)= ?= =- f(x)，xx1一， .f(x)=-是奇函数. xf (x) = x2( x2 + 2)的定义域为R , f ( -x) =f (x), . f (x) =x2(x2+2)是偶函数.x f(x)=；的定义域为(8, 1)U(1, +OO), x- 1 ' 定义域不

34、关于原点对称，x f(x)=既不是奇函数，也不是偶函数 / x 1(4)f(x)=、x2 1 +41 x2的定义域为 1,1 . f( x) =f (x) = f (x) =0, .f(x) =x2_1 + W x2既为奇函数，又为偶函数.反思感悟 判断函数奇偶性的方法定义法：定义域关于原点对称；确定f(x)与f(x)的关系.图象法.跟踪训练1判断下列函数的奇偶性.(1) f(X)=5工41 x2 f(X)="二一; f(x) =x2 + x, x>0,x2-x, x<0.解(1)函数f(x)的定义域为0 , +8),不关于原点对称，所以 奇非偶函数.f (x)的定义域为

35、1,0) U(0,1,关于原点对称.,1 x2f(X)= 丫 = f(x),-xf (x) =qx 是非所以 f (x) 为奇函数f(x)的定义域为(8, 0)U(0, +00),关于原点对称,当 x>0 时，x<0，贝U f ( x) = ( x)2 ( x) =x2+x = f (x);当 x<0 时，x>0，则 f ( x) =( -x)2 + ( -x) =x2 x = f (x),所以 f (x)是偶函数.二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数“乂)在0, +8)上的图象如图所示.(1) 画出 f (x) 的图象；(2) 解不等式xf ( x)>

36、0.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题解 (1) 先描出 (1,1) ， (2,0) 关于原点的对称点( 1，1)， ( 2,0) ，连线可得f (x)的图象如图.(3) xf (x)>0 即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf (x)>0 的解集是(2,0) U (0,2).延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题解 (1) f (x) 的图象如图所示： xf (x)>0 的解集是(8, - 2) U (0,2).反思感悟可以用奇 ( 偶 ) 函数图象关于原点(y 轴 ) 对称这一特性去画图，求值，解不等式等跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为5

37、,5，且在区间0,5上的图象如图 所示(1) 画出在区间 5,0 上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.考点函数图象的对称性题点中心对称问题解 (1) 如图，在 0,5 上的图象上选取5 个关键点O， A， B， C， D.分别描出它们关于原点的对称点 O' , A' , B' , C' , D',再用光滑曲线连接即得 由 图可知，当且仅当xC(2,0) U (2,5)时，f(x)<0.使f(x)<0的x的取值集合为x| 2<x<0或2c<5.三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x) =ax

38、2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a 1,2a,则a=, b=.答案1 0 3解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a1 = 2a,解得a=1. 3一，1 2又函数f(x) =?+bx + b+1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b = 0.3(2)已知函数f(x) =ax2+2x是奇函数，则实数a =.答案 0解析由奇函数定义有 f( x)+f(x) =0,得 a(-x)2+2(-x) +ax2+ 2x = 2ax2=0,故 a = 0.反思感悟利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为a, b,根据定义域关于原点对称，利用a+b = 0求参数. 解析式

39、含参数：根据f ( x) = f (x)或f ( x) = f (x)列式，比较系数利用待定系数法求解.跟踪训练3 (1)若函数f (x) =x2| x + a|为偶函数，则实数a =.答案 0解析 方法一 显然x C R,由 已知得 f ( 一 x) = ( 一 x) 一 | 一 x + a| = x 一 | x一 a|.又 f(x)为偶函数，所以 f(x)=f(x),即 x2一|x + a| =x2一|x a| ,即|x + a| =| xa|.又x C R,所以a = 0.方法二 由题意知f(T)=f(1),则|a1| =|a+1| ,解得a = 0.(2)已知函数 f(x)是奇函数，当

40、 xC(oo, 0)时，f(x)=x2+ mx 若 f(2)= 3, 则m的值为.答案2解析.丁(一2) = f(2) =3, f( -2) =( 2)2 2m= 3,卜列函数是偶函数的是（）A.B.y = 2x2 3c. y=yx答案 BD.y = X2, X C ( 1,1一一，.1 一一、，一2.函数f （x） =-x的图象关于（xA. y轴对称B.直线y= x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案 C一 .1解析 : f(x) = x是奇函数, x.1f （x） =x的图象关于原点对称. X3 .下列图象表示的函数具有奇偶性的是（）考点函数的奇偶性概念题点函数奇偶性概念的理解答案

41、B4 . f （x） =x2+ | x|（）A.是偶函数，在（一8, +OO）上是增函数B.是偶函数，在（一00, +OO）上是减函数C.不是偶函数，在（°°, +oo）上是增函数D.是偶函数，且在（0, +00）上是增函数考点单调性与奇偶性的综合应用题点判断函数的单调性、奇偶性答案 D ax+b 12 5.右已知函数f （x） = i是止义在（一1,1）上的奇函数，且f 2,则函数 f（x）的解析式为.一x答案f（x）=F 1 I xax+ b解析= f （x） =二/是定义在（一1,1）上的奇函数,1十xax 0+ b - f (0) = 0, . f (0) = 1+

42、02 =0,盘=0.即 f(x)=ax1+x2'1 2二=2 5'1+22.a=1,函数xf (x)2.1 + x课堂小结1 .知识清单: (1)函数奇偶性的概念.(2)奇函数、偶函数的图象特征.2 .方法归纳：特值法、数形结合法.3 .常见误区：忽略函数的定义域的对称性，只有定义域关于原点对称，才可能 具有奇偶性.时训练1 .下列函数中奇函数的个数为() f (x) =X3; f (x) =x5；f (X) =x+1；f (x) =LXxA. 1 B . 2 C . 3 D . 4答案 C2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3) = 2,则下列各点中一定在函数f(x)

43、的图象上的是()A. (3, -2) B . (3,2) C . (-3, -2) D . (2 , 3)答案 A解析f(3) = 2即点(3,2)在奇函数的图象上，( 3,2)关于原点的对称点(3, 2)必在f(x)的图象上.3.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数 F(x) =f(x) f( x)在R上一定()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数答案 A解析 F( x)=f( x)f(x) = f(x)f( x) = F(x) .F(x)为奇函数4.若f(x) =3x3 + 5x + a1为奇函数，则a的值为()A. 0 B.1 C.1 D.2答

44、案 C解析 f(x)为R上的奇函数， .f(0) =0得 a=1.5 .如图，给出奇函数y = f(x)的局部图象，则f(2) + f( 1)的值为()B. 2D. 0A. -2C. 1 答案 A解析 f(2) + f(1) = f(2) f(1)-2.6 .若f (x) =(x + a)( x 4)为偶函数，则实数a=.答案4解析 f(x)=x2+ (a 4)x 4a 是偶函数，a=4.7 .已知y = f (x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x2 + ax,且f(3) =6,则a的值为答案 5解析因为f(x)是奇函数,所以f(一3) = f(3) = - 6, 所以(3)2+a(3

45、)= 6,解得 a=5.8 .若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法: f(x)+f(x) =0; f(x) f( -x) =2f (x)；xxf(x) f( -x)<0;=1.其中一定正确的为.(填序号) 答案 解析 :Mx)在R上为奇函数，. .f( x) = f(x).f(x)+f( x) =f(x) f(x) =0,故正确.f (x) f ( x) =f(x) + f (x) = 2f (x),故正确.当x = 0时，f(x) f(x)=0,故不正确.f x .、 ，一 .当x = 0时，fx一分母为0,无息义，故不正确.9 .判断下列函数的奇偶性: f(x) =x3+ x5

46、; f(x) =|x+1| +|x-1| ； f(x)2x2+ 2xx+ 1考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解 函数的定义域为 R .(x)=(x)3+(x)5= (x3+x5)= f(x),二 f (x)是奇函数. f(x)的定义域是 R .f(x) = | x+1|+|x1|=|x1| + |x+1| = f (x) , f(x)是偶函数.(3)函数f (x)的定义域是(一00, 1) U ( 1, + °°),不关于原点对称，f (x) 是非奇非偶函数.10 . (1)如图，给出奇函数y = f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值

47、.(2)如图，给出偶函数y=f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1) 与f的大小.解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图为补充后的图象.易知 f (3) = 2.(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图为补充后的图象，易知f(1)>f(3) .11 .下列函数中，既是偶函数又在(0, +8)上单调递增的函数是()A. y = x3B. y=|x| +1C. y=-x2+1D. y=-2x答案 B解析 对于函数 y = | x| + 1, f ( x) = | x| + 1= | x| + 1 = f (x),所以y=| x|+1是偶函数，当x>0时

48、，y=x+1,所以在(0, +8)上单调递增.2另外，函数y = x不是偶函数，y= x+1在(0 , +8)上单调递减，y=,不 x是偶函数.故选B.12.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论包成立的是()A. f (x) +| g(x)| 是偶函数B. f (x) | g(x)| 是奇函数C. |f(x)| +g(x)是偶函数D. | f (x)| g(x)是奇函数考点函数的奇偶性判定与证明题点判断抽象函数的奇偶性答案 A解析 由f(x)是偶函数，可得f(x)=f(x),由g(x)是奇函数可得g(x)= g(x),故|g(x)|为偶函数，.f(x) + |g(x)

49、| 为偶函数.J4 x213 .函数f (x) = oY 二的定义域为,为酉数(填“奇"或"偶” ).2一 | x十 2|答案 2,0)U(0,2 奇解析依题意有4 x0,2-|x+2| W0,解得20x&2 且 xw0, .”)的定义域为2,0)。(0,2. f(x)=F4Mr="丁=一"4>,定义域关于原点对称,21 |x 十 2|xx44 x2=f(x)，.f(x)为奇函数.c14 .函数 f (x) =ax + bxHP5 酒足 f(3)=2,则 f (3)的值为，x答案 8解析 设 g(x) =f(x) 5=ax3+bx+c(xw

50、0), x3 c. g( x) = ax bxx= g(x), g(x)是奇函数， - g(3) = g( 3) = f( 3)5= f( 3)+5= 2 + 5 = 3,又 g(3) =f(3) 5=3, f(3) =8._x+x+12 一.一15.已知函数 f (x) = /+ 1 ,右 f (a) =3,贝U f ( - a) = 考点函数图象的对称性题点中心对称问题答案3., x2+ x+1xx 解析 根据题意，f(x)=+1 =1 + xrpi，而h(x)=x1是奇函数，故f (,2 4a) =1 + h( a) =1 h(a) =21 + h( a) =2 f (a) =23 31

51、6.设函数f (x)bx+ c函数(a, b, cCZ),且 f(1) =2, f (2)<3，求 a, b,c的的.解由条件知f(x)+f(x) = 0,ax2+ 1 ax2+ 1t += 0, c= 0.bx+cc bx'又 f(1) =2, .,.a+1=2b. f(2)<3 ,4a+ 1<3, 2b4a+ 1a+ 1<3,解得1<a<2,.a：。或 1.1；b=2或 1,由于 bZ,. . a= 1, b= 1, c= 0.第 2 课时 奇偶性的应用学习目标1. 掌握用奇偶性求解析式的方法.2. 理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最

52、值和解不等式知识点一用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间 a， b 上的解析式，想求关于原点的对称区间 b，a 上的解析式，其解决思路为：(1) “求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式， x 就应在哪个区间上设(2) 要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出一乂)或£(乂)，从而解出f(x).知识点二奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a, b和b, -a 上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区 间 a， b 和 b，a 上具有相反的单调性预习小测自我检验1 .若f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数，则f(0)=.答案 02 .若f(x)为R上的奇函数，且在0, + 8)上单调