4.4三角函数的图像性质及应用

1、1 知训檢理要点讲解深层突破1. y= Asin(wx+册的有关概念y=Asi n(3x+0, 30),xR振幅周期频率相位初相A2nT =w1wf=T=可T 2nwx-!-Q42.用五点法画 y= Asin(x+妨一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0 Qwn Q2 屮wn QwA Q2 屮w2n Qwwx+ Q0n2n22_ny=Asi n(wx+ Q)0A0A03.函数 y= sin x 的图象经变换得到 y= Asinx+Q(A0,w0)的图象的步骤如下:【思考辨析】笫料草三角甫数、解三他形4.4应用基础知识主学习判断下面结论是否正确（请在括号中打“V或“X)利用图象变换

2、作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度致.（X） （2）y= sinx扌的图象是由 y= sin x +扌的图象向右平移 2 个单位得到的.（V）由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的.（V）函数 f（x） = Asin（3x+的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期.（X）函数 y=Acos（3x+的最小正周期为 T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T考点自测n1 . y= 2sin 2x 4 的振幅、频率和初相分别为 _1n答案 2,nnn4n%2 .已知函数 f(x)= sin 2x+ 6 若 y= f(x) (

3、0刁是偶函数，贝U=_ .答案n3._nnn n解析 因为 y= f(x)= sin 2 x+ 6 = sin 2x 2+ 石是偶函数，所以一 2+?+ kn,k Z,得= f彊 k 乙又 02，所以= 3%3.（2015 湖南改编）将函数 f（x）= sin 2x 的图象向右平移02 个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足 |f(x”一 g(X2)|= 2 的 X1, X2，有 |X1 x2|min= 3，贝卩=_答案n6解析因为 g(x)= sin2(x) = sin(2x 2),所以 |f(X1) g(x2)|= |sin 2x1 sin(2x2 2)|= 2.因为一 1wsin 2x

4、1 1, 1 sin(2x2 2) 1,所以 sin 2x1和 sin(2x2 2)的值中，一个为 1,另一个为一 1,不妨取 sin 2x1= 1, sin(2x2 2)nn=1,贝U2x1=2k1n2，冷乙 2x22=2k2n3,k2乙 2x12x2+2=2(k1k2)n-n(k1一 k2) Z,n得 |XiX2I=klk2n+2 0. 因为 o ,所以 0扌-o0)，将 y= f(x)的图象向右平移 3 个单位长度后，所得的图象与原图 象重合，则3的最小值等于_.答案(2)6n1解析将 y= sin(x + )图象上各点的横坐标缩短到原来的只纵坐标不变)，得到函数 y=sin(2x+才；

5、再将图象向右平移 3 个单位长度，得到函数y= sin2(x才+ = sin(2x空，故 x=扌是其图象的一条对称轴方程.由题意可知，nT = n (n N*),.2n n*-n= 3 (n N ),33.3= 6n (n N ),当 n = 1 时，w取得最小值 6.题型二由图象确定y=Asin( wX )解析式例 2 (1)已知函数 y = Asin(wx+) (A0 ,w0, |训0,w0,g|Vn的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_ .7yJ答案(1)y= 2sin * +nn(2)f(x)= .2si n(2x+ 3)解析 由题意得 A=叮2, T = 6 2,所以 T=

6、16 ,w=又 sin ，2+= 1,所以/+v4T 884=扌+ 2knk Z).又因为|扌，所以=才.由题图可知 A = 2,T 7n n n4 = 123 = 4,所以 T= n,故w=2,因此 f(x)= 2sin(2x+,又右n 2 为最小值点，2X $n+ =2kn3n,kZ,n =2kn+3,kZ,3又 I|V n,故 f(x) = , 2sin(2x+ 3).3思维升华 确定 y=Asin(wx+)+b(A0, w0)的步骤和方法:(1)求 A , b,确定函数的最大值M 和最小值 m ,则 A= 求3,确定函数的最小正周期 T,则可得3=罕 （3）求購常用的方法有：1代入法：

7、把图象上的一个已知点代入（此时 A，3,b 已知）或代入图象与直线 y= b 的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）2特殊点法：确定 $值时，往往以寻找“最值点”为突破口 .具体如下：“最大值点”（即图象的“峰点”）时3X+片才；“最小值点”（即图象的“谷点”）时3X+$3n=2 .録踝训练 2 函数 f（x） = 2sin（3x+$30, $v2 的部分图象如图所示，贝U$=_ .答案nT 115解析 2=12n12n,T= n.2n又 T= ( 30), 2n_ =n,3I 3=25由五点作图法可知当 x= 12n时，n3X+ $=,即 2x12n$=nn - $=3.题

8、型三 三角函数图象性质的应用命题点 1 三角函数模型的应用例 3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P（x ,y）.若初始位置为Po1 ,当秒针从 Po（注：此时 t= 0）正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为 _.n n答案 y= sin 30t + 6y:L卩r-XI/解析 设点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为 y= sin（3冷妨.由题意可得，函数的初相n2nnn位是n又函数周期是 60（秒）且秒针按顺时针旋转，即 T = - = 60,所以|3= ，即3=；n，633030所以 y= sin 論+.命题点

9、2 方程根（函数零点问题）-_n例 4 已知关于 x 的方程 2sin2x 3sin 2x + m 1 = 0 在 2，n上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 答案（2, 1）解析 方程 2sin2x 3sin 2x+ m 1 = 0 可转化为m= 1 2si n2x+ 3si n 2x=cos 2x+ 3s in 2x=2sin 2x+n,x n.6 2713设 2x+f=t，则 t-n13n ,6 6 6，题目条件可转化为713罗=sin t, t 6n舌n,有两个不同的实数根.y = m 和 y = sin t , t fn乎n的图象有两个不同交点，如图:y”7尸融* 亠丄各X由图象观

10、察知，m 的范围为（一 1， 2）,故 m 的取值范围是（一 2, 1）.引申探究例 4 中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则 m 的取值范围是 _答案 2,1)解析 由例 4 知，mm 的范围是 1 , 2 ,. 2 m1 ,/ m 的取值范围是2,1).命题点 3 图象性质综合应用例 5 已知函数 f(x)=3sin(3x+妨一 cos(3x+妨(0v(j)0)为偶函数，且函数 图象的两相邻对称轴间的距离为扌.y= f(x)(1)求 fn的值;8n求函数 y = f(x) + fx + 4 的最大值及对应的 x 的值.解 (1)f(x)=3sin(cox+妨一 cos(3x+册c

11、V31=2 sin2cos3x+ $ =2sin3x+ $z .6因为 f(x)是偶函数，,rn n则 $6 = 2+knK Z),2n所以 $= 3+ knK Z),2n又因为 0 $0, n林的图象关于直线 x=手寸称，它的周期223是n,则下列说法正确的是 _.（填序号）31f（x）的图象过点（0 ,刁；n2n2f（x）在祛 s上是减函数；3f（x）的一个对称中心是（甞，0）；4将 f（x）的图象向右平移 胡个单位长度得到函数y= 3sin的图象.答案2n解析T周期为n,=n?3=2,w4n则 si 门（亍+妨=1 或一 1.n n4n,5n11又能(n，n，4+忙(?，$n)4n+=3

12、n?匸n，f(x) = 3sin(2x+ R .1：令 x= 0? f(x) = 2 正确.2：令 2kn+n2x+n2kn+竽 kZ2 6 2? kn+ nxkn+务 k乙n2n令 k= 0? 6x0,30)的单调区间的确定，基本思想是把3X+$看做一个整体.若30,要先根据诱导公式进行转化.3 .函数 y=Asi nx+$)在 xm,n上的最值可先求 t=x+$的范围，再结合图象得出y=Asin t 的值域.练出高分A 组专项基础训练(时间：40 分钟)（sin x22十 cos x -22）；V0 十 b2第三步： (求性质)利用 f(x)= a2+ b2sin(x+ $)研究三角函数的

13、性质;第四步： 仮思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.ab温馨提醒 在第问的解法中，使用辅助角公式n1 .函数 y= cos 2x 3 的部分图象可能是 _1TTir:1一/ Q-1=150, 30,0( n的部分图象如图所示， KLM 为等腰直角三角形，/ KML = 90 KL = 1,则 f(6)的值为_答案341解析取 K , L 中点 N，则 MN = ，1因此 A=2.由 T=2 得3= n.函数为偶函数，o0，且|则今的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是 _ .答案kn- 12，kn+ 器,k Z解析由函数的图象可得 4T = In12n,- T= n,贝V

14、 3=2.55又图象过点(12n,2),2sin(2X石冗+妨=2,解析n$= 3+2kn,kZ,n Wl0)相邻的两条对称轴之间的距离为才，且曲线关于点n(xo,0)中心对称，若xo 0,，贝Uxo=答案n解析 f(x)=sinwx+3coswx=21 卫=2 Sinwx+$coswxcn=2sinwx+3 .3nn曲线 f(x)= 2sinwx+3 相邻的两条对称轴之间的距离为n最小正周期 T=n=纟,w- w=2,nf(x) = 2sin 2x+ 3 .曲线关于点(xo,0)中心对称；n2xo+3=knkZ),kn nxo=-尹 Z),f亠nn又 xo 0 , 2 ，xo= 3.5._函

15、数 f(x)= sin(2x +妨胡v寸的图象向左平移 6 个单位后所得函数图象的解析式是奇函数, 则函数 f(x)在 0 ,才上的最小值为.答案-宁_. .nn .解析 由函数 f(x)的图象向左平移 6 个单位得 g(x)= sin 2x+(j)+ -的图象,n因为是奇函数，所以H3= knk Z ,nn又因为 iv2，所以0= 3,n所以 f(x)= sin 2x 3 .又 x 0,扌，所以 2x真 3=乎 100n ./I=10sin(100n+册.1图象过点 300, 10 ,110sin( 100 必 300 + 妨=10,冗冗冗-sin(+閒=1,3+ 0=2k 兀+ 2，kZ,

16、7t- 0=2kn+;,kZ,67t7t又0oO 且|00,n3o,o拆 2)的图象如右图所示，则当1 、秒时，电流强度是安.答案解析T 41由图象知 A = 10,-=23003001002n n解析由题意可得，函数的周期为2X-= n,362n即 一=n,二3=2,二 f(x)=sin(2x+ ).w由 sin 2x6 + $ = 1, | 训2 可得o,W|v2)在一个周期内的图象如图所示.若方程f(x) = m 在区间0 ,n上有两个不同的实数xi, X2，贝Uxi+ X2的值为n2解析由图象可知 y= m 和 y= f(x)图象的两个交点关于直线x=-或 x=：n对称,63n9.(2

17、015 天津)已知函数 f(x)= sin2x sin2x , x R.(1)求 f(x)的最小正周期；n n求 f(x)在区间 一 4 上的最大值和最小值.丿c n1 cos 2xor1 cos 2x3f(x)=28.已知函数f(x)=Asin(wx+4)(A0,n|、4X1+ x2= 3 或 3Tt.解(1)由已知，有11 2 cos 2x+ ysin12x ?cos 2x亠 311n4 Sin2x4cos 2x=2sin 2x6 .所以 f(x)的最小正周期 T= 2=n.n nn nn因为 f(x)在区间一 3, 6 上是减函数，在区间 一石，4 上是增函数，且 f 3_n=_1fnf

18、6 =2，f4 = 4，14,所以躯)在区间一n n上的最大值为蚁3441最小值为一刁10.设函数 f(x) =2 .3sin2wxsin3x0swx(w0)，且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近 的对称轴的距离为n4(1)求3的值；3n求 f(x)在区间n2 上的最大值和最小值.解（1）躯）=于.3sin23xsinwxcoswx=2 3X1-詈2wx2sin 2wx22 231=cos 2wx2si n 2wx =sin 2wx n.2nn依题意知 J = 4Xn,30 ,所以3=1.2w4(2)由(1)知 f(x)= sin 2x35n小n8n当 xWg时，30,w0)的图象的一部分

19、如图所示，则该函数的解析式为 _.答案 f(x)= 2sin 2x+ 才解析 观察图象可知：A= 2 且点(0,1)在图象上， 1 = 2sin(w0妨，即 sin $= .v|0), x R.在曲线 y= f(x)与直线 y= 1的交点中，若相邻交点距离的最小值为n,则 f(x)的最小正周期为3答案n解析 f(x)=：3sinx+cosx=2sin( x+nn1由 2sin(-x+6)=1 得 sin(-x+6)=2，nnn -x+二=2kn+-或-x+：=2kn+二nkZ).6666n nn令 k=0，得3Xl+6=6， 3X+6=n2n n由|X1-X2|=3,得 3-=3, 3=2.2n故 f(x)的最小正周期 T =2n=n.13.已知函数 f(x)= cos 3x+，其中 x ，m，若 f(x)的值域是 一 1，贝卩 m 的取值范围是.答案5n答案 9，18解析画出函数的图象.n5n nn由 x6,m，可知亍3x + 3 3 卄 3,Xi= 0,2nX2=3.2，要使 f(x)的值域是1 ,因为 fn5n6=cos6=且 f2n=cos=1,所以 n 3m+F7n,贝Umw豊,369183n-43+3=2k计(kZ), 3=8k+14(kZ),3-