多元函数微分学章节复习

1、多元函数微分学章节复习本章教学要求：1.知道二元函数的定义和几何意义，会求二元函数的定义域。2.熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法。3.熟练掌握复合函数一阶偏导数的计算方法，会计算隐函数的偏导数。4.能熟练地求全微分。5.了解二元函数极值的概念， 知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单的极值应用问题。例题讲解：一、填空题1. yI.函数z -j_ + arcsui 的定义域是。*1_/英2如果 f(x+ y, x y) = xy,则 f(x, y) =_。3._设 z= In(xy)，贝 H dz=。.x + y14.二元函数_ 的定义域是。25._设- / ，贝 V dz= 。

2、dz6.设 z= (1 + xy)%，贝 H =。砂7. 设 f(x, y)= In(x+ exy)，V=- 。In y ,&函数的疋义域是_ 。Jx+尹9.函数 2 二 hi 丁亠亠._ -二的定义域是。dz10.设 z = f(u, v), u= xy,_ ，贝 H =。x dxdzII.设 ez xyz= 0,贝 V =_ 。dx5.的定义域是(1114 x*o因此，该函数的定义域是D = (x, y); x2+ y2 1, |y|w|x|,XM02如果 f(x+ y, x y) = xy，则 f(x, y)=即有-亠 I ,4故一 -宀4：1?1,故一二xy分析与解答:1要使函

3、数有意义，必须:1-x3-Qln(x-y)H0-2x+y0兀厂1因此，该函数的定义域是D = (x.y); 2 x+ y0, x15.设 一 y ，则dz=1 .函数 二2.令r + y =u，则x = -(w+v)V = - V) )23.设 z= In(xy),则dz=6.设 z= (1 + xy)，贝 H =_。砂6相对 y 来说，x 是常数，故 z 可以分解为：z= ux, u = 1 + xy,则=私X= *(1+硼严7.设 f(x, y)= In(x+ exy)，则1 +珑即7.一X+产X+界&函数 g 二严的定义域是_。V 0&要使函数有意义，必须：0, x+ y

4、009.函数 f 二 h-二的定义域是_Jl-A3-/x + y 0fv 09.要使函数有意义，必须：，即彳“.1-x3-/01?+尸0,x2+y2v1=zdz11.设 e xyz= 0,贝 V =_ 。Sr11.设-,10.10.dz设 z = f(u, v), u= xy,dz du df*=a?&+a?-fy+A(-斗)=城-珀J；x3v则 E 二-怎，厂厂；,故:故打s - xy二、单项选择题1.设 z= (2x+ 1)3y+2,则z 是 y 的指数函数，可分解为：z= （2x+ 1）u, u= 3y+2,由复合函数求导闵=2即 B 正确。3y+1A. (3y+ 2)(2x+

5、1)C. (2x+ 1)3y+2ln (2x+ 1)2.设 z= ln(x+ y),贝 U 用A. dx+ dyV3.设_，则XA.X +/-yC.r+r4.下列说法正确的是（A.B. 2(3y+ 2)(2x+ 1)3八13y+2D. 3(2x+ 1)yln(2x+ 1)rn= ( )oB. dx+ dyC. dx dy D. dx dy亘(yB.D.B.x +y）。（xo, yo）处达到极值，则必有 ZX 心几） = /；（心几）=。了;（和yj二 $；仏仍）=oC.D.定没有极值可微函数 f（x, y）在点函数 f （x, y） 在点 （xo, y） 处达到极值， 则必有 若 .-若或，则

6、函数 f（x, y）在点（Xo, yo）处达到极值有一个不存在，则函数 f（x, y）在点（Xo, yo）处一5.设 z= uv.1A.2x= u + v, y= u v,若把 z 看作 x, y 的函数，则川一（dxC. 2xD. x分析与解答：1. 对 y 来说，法则，得f-I：.；-二1即 D 正确。,1F2.二.- -x+y ?x + y；（L0）妙二必+妙,- -，即 D 正确。x x +7dz 13乔仞21+乂1兀丿4.函数取得极值的点可能是不可导点，因此 B 不正确；驻点未必是极值点，因此 C 也 不正确；偏导数是否存在，与函数不取得极值没有必然的关系，故D 也不正确。总之，只有

7、 A 才正确。5 .由题设，-i -:，1/2 j宠12故，即 A 正确。4族2二、计算题因为所以dz：2.函数 z= f(xy)由方程dz1dz2vdu/a/a+vu+vEdx?dudv =2 +y=y,Xdzdz du% 3v1_ += 严+2歸办du dx3vdx严+ xy1.设 z= In(u+ v2)，-, v= xy，求：一 一dy解法一：dz dz du &1L= - 1+j- = - r（、2y蠢-+彷创砂旳严+丹解法二：则故即故即解法一：_设一 -.一-、一一二匚，2莎 莎 札二2-昙FT-昙宓_ _算_ W -网 & _曲F；yz-xydy解法二：方程两边对

8、 x 求偏导数，得:dx方程两边对 y 求偏导数，得:1+逻一旦旦空二0dxyjxyz改dzxzxydz一 .= 02 H- - Jxyz J砂砂-&xz-2xyz& dzW dy电y严引4 2/刃又设 F(x, y, z,入)=xyz+ 入(xy+ 2xz+ 2yz- S) 求 F(x, y, z,入)对各变量的偏导数，并令其为零，得方程组: = yz-X(y + 2z -0耳；-矩+ 乂工亠 2 刃=13理二兀卩十 Z(2r +2y)- 0F；-砂 + 2 磁+2yz- 0由xX(2)xy,得再匚：- 由于入，z 不能为零，故得 xy= 0, x= y由xy (3)x乙乙，

9、得:,y= 2z1将 x= y= 2z 代入(4),得Z -这时-3.设.-./节匚：,求r ：dz设 z= f(u, v), u = x2+ y,v=ydz丨dzdu dzSvdz-小fe 1dz1dz+Stdudx dvdxdsjydttydzSzdu dzST一+1+.(一J-dudv ydu解:则(箱子无盖)，求体积最大者的边长。4.表面积为 S 的长方体箱子中解： 设长方体的边长分别为x,y, z,已知 xy+ 2(xz+ yz) = S于是长方体的体积为V = xyz1)233由于只有这一个驻长分别为且已知该问题一定存在最大值,1故此驻点即为最大值点，即当边时，体积最大。宽、高之和为定数a，求其最大体积。25.直角平行六面体的长、解：设平行六面体的长、宽、高分别为 依题意