4.3协方差.相关系数与矩.

1、相关系 it 与蔻43 协方差相关系數与矩当研究的问题涉及多个随机变量的时候， 变量与变量之间的关系，是必须关注的一个 方面.本节介绍的协方差、相关系数就是描述 随机变量之间相互关系的数字特征.D(X+y) )=D(X) +D( (y) )+2EX-E(X)Y-E( (y) )D(X-Y)D(X)+D( (y) )-2X-E(X)y-E(K)NJ V厚相关系 it 与矩一协方差定义 4.3.1 若EX-E(X)Y-E(Y)存在， 称Cov( X9Y)=EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量( (x,y) )的协方差.有D(X)=COV(X9X)；D(X 士 丫)二 D(X)+D(K) 士 2C“

2、(X,Y)协方差的性质：l.Cov(X, Y)=COV(Y9X)；VS相关系数与範13.4.152. Cov( aX,bY)= ah Cov(X,Y), a是常数；3. Cov( XX2, Y)= Cov(X,Y)+Coy(X29Y).证2)Cov(aX.hY) = EaX -aE(X)hY -bE(Y)=X - E(X )F -E( (y )= abCov(X9Y).常用计算公式：cov( X, Y) =E(XY) -E(X)E(Y)例 4 3 1例 4.3.2相关系数与矩二、相关系数定514.3.2设二维随机变量X#的D(X)0, o( (y) )o,称_ Cov( (x.y) )PxY_

3、 Jo( (x) )jD( (y) )为随机变量 x 与 y 的相关系数.注是一无量纲的量.2)X-Eg YE(Y)PxY =-1 /、/ 、13.4.15标准化随机变量的相关系数与範13.4.15= EX” = S(X,Y)_性质设随机变量 xy 的相关系数存在，则1) ipii；2) 洌=1 与 y 依概率为 1 线性相关即存在 a.Q(aHO),=就+/? = 1相关系数是衡量两个随机变量之间线性相关程度的数字特征.练习将一枚硬币重复抛掷次，x,y 分别表 示正面朝上和反面朝上的次数，则“灯=1相关系It与矩13.4.15注 1 若随机变量 X, 丫的相关系数必 r 存在，1) 若必 y

4、=l,PY =aX = 1中的 a。称正相关；2) 豺=一 1，则 QVO 称 X,y 负相关；3) “灯=0,称 x,y 不相关注 2 化“=0 仅说明 X, 丫之间没有线性关系， 但可以有其他非线性关系.参见讲相关系数与範13.4.15义 Pl 14.例 4 4 4 相关系数与矩定理 4 3 1 若随机变量 x 与 y 相互独立，则x 与 y 不相关，即有pXY=0.注 1 此定理的逆定理不成立，即由px、=o 不 能得到 x 与 y 相互独立.注 2 若丫）仪討；“2，*2；），），则X,Y相互独立=0 参见 P116 例 4.4.6定义 4 3 3 设维随机变量（X 泌”比）的协均存在

5、，称矩阵C=（cQ为（XvX2，Xn）的协方差矩阵.例4 3 例4 3 例4 3 相关系数与矩13.4.15方差Cq|IB!z7_相关系敎与矩13.4.15其中有Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)D(X)二cov(X,X)例 4 3 6三、协方差矩阵的性质1)cu= DQXi),i= *,2,“；A?定义 4 3 4 设 X 为随机变量，若 E(IXW) v+00,称yk= E(Xk)Zc=l,23.为 X 的 R 阶原点矩.称效二 E(IXF), *=1,23为为X的的k阶绝阶绝对原点矩.定义 4 3 5 设 X 为随机变量，若 EIX-E(X)F +00,称=EX-E(WA=1,

6、23为 X 的 k 阶中心矩.对称阵3) C 是非负定矩阵;4)Cjj SCjj ci 9 j = y29 9巾相关系与矩13.4.15相关系 it 与蔻称pk=EIX-E(X)IAk=W.为为X的的k阶阶绝对中心矩.其中D(X)二 EX-E(X)F=E(X2) ) E(X)F注意到 “2=D( (X), yj=(X),y2=E(X2)2 =/2-/l更一般的，因“=0,可得 *与心的关系：二 E( (* ) = EX-E(X) +E(X)f= E(X-Z1) +rif相关系数与矩13.4.15k线性性质iO同理以以=（-1厂；疔究/=0随机变量的矩是数！ ! !计算协方差 6 p( (xny

7、) ).xvx2xn相互独立，故相关系数与矩13.4.15例4 3 1(X,y) )在以原点为圆心的单位圆内服从均匀分布芯宀宀 1;0, 其它求 Cov(X,Y) L cdx= 0，兀故 Cov(X,Y)=E (XY)-E (X) E(Y)= E (XY)= ffdxdy2 2n相关系数!lC例4 3 2设随机变量XX21)相互独立同分布，且其方差为/ 0,令L3Cov(XvXi)8若 戸= + ” = 】,E（y）= a（x）+ Q, （r）= 2（x）,COV（X9Y）=EX一E（X川丫-E（y）= EX-E（X）CLX+0 E（OX+卩）=cuP（X）cov（x,y）Pxy_ jD（x）

8、Jo（y）相关系数与矩13.4.15p = 7时由 1）有n（x*+y*）= o, E（x*+r*）= o.由方差的+y* =JE（X*+y*）=i,相关系数与矩可先求出V 分布律.解由已知可得例 4.3.4 设二维随机变量（X,Y） 在矩形 G=（x,j）|0SrY.山X 2Y;X 2Y.求“阳分析Puv =JZW）JD（V）E(UV)-E(U)E(V)f( (x.y) =(x.y)eG;其它.E(l/) = 0 xPXy + lxPXy) )= 3/4 = E(72)相关系数与矩13.4.15例 4 3 5 某集装箱中放有 10（附产品，其中一. 二、三等品分别为 80、10. 104 牛

9、现从中任取 一件，记需求cov(XX2) )E(X|X2) )-E( (XJE( (X2) )P厂JD(XJJD(X2)_ JD(XJJD(X2)相关系数与範13.4.15的分布律为 UV =X2Y.故E(UV) = E(V)=l/2,Puvcov(t/,V)_ E(UVE(f7)E(V)2-42石V 16 4相关系数与矩13.4J5X=1.抽到f等关键是求/X/J =求出启 X2 分布律解由已知可得F(Xl) = 0 xP4* 到非一等驹+ 1 x 尸抽至 J 一等品 = 0.8(*) = ().8( 1-0.8) = 0.16同理疋(*2) )= 1/(X2) = 0.(91, 抽到一等品

10、同时抽到二等品;Xi*?=,其它.E(XX2) )=1 XPXX1+0 XPXJ2=0=1X0 4-0X1=0相关系数与矩13.4.15例 4 3 6 设二维随机变量（X, 丫）的联合概率密度为0 x 1, 0 j 2(1 -x);其它.求：（X,Y）的协方差矩阵。分析 计算（x,y）的协方差矩阵，本质上就 是计算 x. y 的方差和协方差.解先计算 E(X), E( (y) )E( x) = fVVCx, J)dxdy= f 必bx2ydy=f 12x2(l -x)2rfx =J”v()=jyf(x.y)dxdy = j dxj 6xy2dy=J 16x(1-x)3rfx =相关系数与範13

11、.4.15相关系数与範13.4.15/（2）相关系数与矩13.4.15为计算方差，再计算E(X2), E(Y2) E(X2) =CCx2f(xy)dxdyJCO J8fixydy=12x3仃一x)2dr = y2r+f+oo2E(厂) )=f fyf(x.y)dxdyJOO JOO=jdrj( (6xj3Jy = j24x(l-x)必=相关系数与矩得到Cov(X. Y) = -Ax_=_ 155575于是，( (x,y) )的协方差矩阵为例 4 3 7 设随机变量 X. y 相互独立，XN(1,2), JN(O, 1),求 Z = 2X-Y+3 的 概率密度.解 Z是相互独立的正态分布随机变量 X、Y的线性组合，故 Z 也服从正态分布;计算 Z 的 均值和方差，有E(Z) = 2 E(X) - E(Y) + 3 = 2- 0 + 3 = 5D(Z) = 4 D(X) + D(Y) = 4 x 2 + 1 = 913.4.154一754一相关系敷与蔻13.4.15因此，ZN(5, 32) ),其概率密度为相关系数与矩13.4.15例 4 3 7 (习题四第 21 题,P122)设二维随机变量(乙丫)(1,32;0,42;-0 5