外接球问题典型例题资料

1、此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流在三棱柱ABC B1C1中，已知AA平面ABC, ,AA1三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）【知识点】线面垂直的性质; ;球内接多面体; ;球体积的公式. .【答案解析】A解析：解：直三棱ABC ABG的各顶点都在同一球面上，（如图）， VABC中，？BACP, 下底面VABC的外心P为BC的中点，2同理，可得上底面VAiBiG的外心Q为BiG的中点， 连接PQ,则PQ与侧棱平行，所以PQ丄平面ABC再取PQ中点0,可得：点0到A, B,C, A1,B1,C1的距离相等，0点是三棱柱ABC ABG外接球的球心11 RTVP

2、0B中，BP二一BC二运,PQ = AA=1,22-OB = . BP2+ P02=2,即外接球半径R = 2,因此，三棱柱ABC AEG外接球的球的体积为：V = fpR3=fp23=3?. 故选：A A.【思路点拨】 根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱ABC A1B1C1外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段PQ的中点在直角RTVP0B中，利用勾 股定理算出0B的长，即得外接球半径R的大小，再用球的体积公式即可算出所 求外接球的体积.四面体 ABCDABCD 中，已知 AB=CD=AB=CD= - - 2929, AC=BD=AC=BD= 3434, AD=BC=AD=BC= .

3、37.37，则四面体 ABCDABCD 的夕卜 接球的表面积（）A A. 2525B B. 4545C C. 5050D D. 100100【知识点】几 何体的外接球的表面积的求法; ;割补法的应用A.A.323253D.D.3122,BC 2 3, BAC，此此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【答案解析】C C 解析：解：由 题意可采用割补法，考虑到四面体 ABCDABCD 的四个面为 全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以 29,29, 34,34, 3737 为三边的三角形作为底 面，且以分别 x x，y y，z z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个

4、长、宽、 高分别为 x x， y y， z z 的长方体，并且 x x2+y+y2=29=29， x x2+z+z2=34=34， y y2+z+z2=37=37 ,则有（2R2R）252=x=x2+y+y2+z+z2=50=50（ R R 为球的半径），得 R R2=_Z，所以球的表面积为 S=4S=4nR R2=50=50n.故2选：C C.【思路点拨】将 四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然 后求解外接球的表面积.已知正四面体的棱长为、2，则它的外接球的表面积的值为 _【知识点】球内接多面体.【答案解析】3p解析：解：正 四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正

5、方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1;对角线长为：.3, 棱长为J2的正四面体的外接球半径为32【思路点拨】正 四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角 线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径, ,可求外接球的表面积.如图址某儿何体的二视图则 该几何体的外接球的表面积 为（A. 200irB 150 xC. 100KD 50 x已知正三棱锥PABCABC，点 P P, A A, B B, C C 都在半径为43的求面上，若 PAPA, PBPB, PCPC 两两互相垂直，则球心到截面 ABCABC 的距离为_I答案】33【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象

6、概括能力、空间想象能力、运算求解能力以3P. .正视图删棧图俯视图所以外接球的表面积为，故答案为此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流及转化思想，该题灵活性较强， 难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱正三P-AB2可看作由正方ftPADC-B=FG截得，如图所示,PF沏三棱锥P-ABU的夕猴球的亘径，且厅一平面皿匸.设正肓体棱檢为玄则3 = 12 = != JC = 5C = 2211 1矗2J5由2蕊=2叱，得？ 3 2，所以一 $ ,因沏球心到平面阳C的距离沖3 .平面四边形朋 C C ）中，A = AD = CD = A BD

7、=2JM M 丄CD,将其沿对角线BD折成四面体丄3CD，使平面BD丄平面 BUDBUD，若四面体SCL的顶点在冋一个球面上，则该球的体积为()- 7T(A A)(B B)眈(C C) P(D D) 2兀1.A1.A 根据题意，如图，可知丄亠 中，-_；，在疋工口中, ,又因为平面 二日二一平面.二，所以球心就是三：的中点,半径为 -，所以球的体积为:正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4 4,底面边长为 2 2,则该球的表面积为此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【答案】A A【解析】设球的半径为 R,R,则棱锥的高为 4 4，底面边长为 2 2,R R2=

8、= (4 4 - R R)2+ + ( )2,二 R R，球的表面积为 4 4n?(上)2=1444一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图是一个正三角形， 俯视图是则该几何体的外接球的表面积为 _【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积【答案解析】 丄 解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面3SO为3，如图：A.A.也 B B .16C C .9D D4274.故选：A A个等腰直角三角形,SAC 与底面垂直，高此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流其中 0A=0B=0C=1 , SO 丄平面 ABC，其外接球的球心在 SO 上，设球心为 M, OM=x

9、，则yj3 X，得X=，二外接球的半径 R=刃3，二几何体的外接球的表面积33416S=4nX =- . .33【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径,圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题三棱锥P - ABC屮，屮血卩比丄屮面 = PC =AflAfl = =活M =4,4,乙摂忆 若三按锥P -ABC的囲个顶点都在同一球面上、则该球的壷面积为_18如图，三棱锥P ABC中，ABC 90，它的三视图如下，求该棱锥的（I）全面积；（n）内切球体积；（川）外接球

10、表面积.侧视图俯视图【知识点】根据 三视图的定义正确读取三棱锥P ABC中的位置关系和数量关系, 内切球半径、外切球半径的求法 . .【答案解析】48 122;-3434解析：解：（1 1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为Tx2再求若=30.几何体ABC,ABC,6 6 的等腰直角三角形此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流顶点 P P 在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E E,且高为 4 4 的三棱锥。 侧面 PABPAB、PACPAC的高都是 5 5，底面斜边长6,2，所以全面积为：111一 一6 6 26 56、2 4 48 12、2:222（2 2） 设内切

11、球球心 0,0,半径 r r， 则由VpABCVO ABCVPABVPACVPBC得- 6 6 41 148 12、2323 2288 4所以内切球体积为343（3 3）设外接球球心 M M，半径 R,MR,M 在高 PEPE 所在直线上，因为 4343空,22217289所以R 43、2 R2, ,解得 R=R=17，所以外接球表面积为仝944【思路点拨】（1 1 ）三视图的定义正确读取三棱锥P ABC中的位置关系和数量关系，从而 求得三棱锥的全面积（ 2 2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱 锥，利用等体积法求内切球半径。 （3 3）分析外切球球心位置，利用已知的数

12、量，求外切圆半径。三棱锥A BCD的外接球为球，球0的直径是AD，且ABC, BCD都是边长为1的等边的体积为11.23 4272，选A【思路点拨】求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图是一个正三角形， 俯视图是一个等腰直角三角形， 则该几何体的外接球的6 42解得 r=r=7三角形，则三棱锥ABCD的体积是（）12【知识点】棱锥的体积【答案解析】A A 解析：因为截面BOCBOC 与直径 ADAD 垂直，而 BO=CO=BO=CO= 2 2 所以三角

13、形 BOCBOC2为等腰直角三1 _;，而AD八2，所以三棱锥A BCD此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流表面积为 _此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积【答案解析】 吼解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC 与底面垂直，高3其中 OA=OB=OC=1 , SO 丄平面 ABC，其外接球的球心在 SO 上，设球心为 M, OM=x，则32 3X2爲X，得 x=-，二外接球的半径 R=- ，二几何体的外接球的表面积33416S=4nX =3【思路点拨】由三视图解决几何问题，关键是准确的

14、判断出原几何体的基本形状特征；几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径,圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题已知 A,BA,B 是球 0 0 的球面上两点，/ AOB=90,CAOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABCO-ABC 体积的最大值为 3636,则球 O O 的表面积为A A.3636nB.64B.64nC.144C.144nD.256D.256n【答案】C C【解析】如图所示，当点 C C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O ABC的体积最1 1213大，设球O的半径为R，此时VABCVC AOB一 一

15、R2RR336，故R 6，则再求若SO为 J3，如图：此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3 26球O的表面积为S 4 R2144，故选 C C.此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球0的求面上，ABC是边长为1的正三角形, 球0的直径，且SC 2；则此棱锥的体积为（）【答案】A ASC为（A）6273(B)(C)2(D)此文档仅供收攵集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流直三棱柱 出&竝目 G G 的各顶点都在同一球面上，若八 7,办 4 4 1 1 口，则此球的表面积等于解: :在 1111 三中丄上-二1 1，一匸儿匚, ,可得: J.J., ,由正弦定理，可得 二外接圆半径 r=2,r=2,设此圆圆心为，球心为匚，在-_1中，易得球半径，2故此球的表面积为 LjLj -1-八一个几何体的