概率论与数理统计第14节全概及逆概公式

1、1.4.1 1.4.1 全概率公式全概率公式1.4.2 1.4.2 逆概率公式逆概率公式1.4 全概率公式与逆概率公式全概率公式与逆概率公式定义定义且且满满足足为为一一个个随随机机事事件件序序列列，设设nAAA,21niAPi, 2 , 1, 0)()1( 两两互斥两两互斥nAAA,)2(21 nAAA21)3(为一个完备事件组为一个完备事件组那么，称那么，称nAAA,21也称为也称为 的一个分割的一个分割1A2A3A1 nAnA样本空间的分割（样本空间的分割（P38P38）21 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号号装有装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装

2、有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率取得红球的概率.3引例引例1： 如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？)()()()()()()(,221121nnnABPAPABPAPABPAPBPAAAEBE 则则的的一一个个完完备备事事件件组组为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 一、全概率公式（一、全概率公式（P38P38）全概率公式全概率公式)()()()(21BAPBAPBAPBPn 证明证明BB .21BABABAn )()()()()()(2211nnABPA

3、PABPAPABPAP 两两互斥两两互斥BABABAn,21乘法公式BAAAn)(21 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计分解为若干个简单事件的概率计算问题算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.全概率公式的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因因，看看作作该该过过程程的的若若干干个个原原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即nAP 已知已知即即nAB

4、P而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 BP即求即求 niiiABPAPBP1)()()(因为因为B 发生总是伴随着发生总是伴随着 A1, A2, A3 之一同时发生之一同时发生依题意依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2, 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中随机取一罐，某

5、人从中随机取一罐，再 从 中 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率再 从 中 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率 .21解解: 记记 Ai = 球取自球取自 i 号罐号罐 i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是是样本空间的一个分割样本空间的一个分割; B = 取得红球取得红球 31)|()()(iiiABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得3再看引例再看引例1 代入数据计算得：代入数据计算得：362321433231)( BP因为因为B 发生总是伴随着发生总是伴随着 A1, A2, A3 之一同时发生之一同时发生 有三个罐子有三个罐子,

6、1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中随机取一罐，某人从中随机取一罐，再 从 中 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率再 从 中 任 意 取 出 一 球 ， 求 取 得 红 球 的 概 率 .21解解 记记 Ai = 球取自球取自 i 号罐号罐 i = 1, 2, 3, A1, A2, A3是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割; B = 取得红球取得红球 31)|()()(iiiABPAPBP由由全全概概率率公公式式得得3再看引例再看引例1 依题意依题意: P(Ai )=

7、 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,代入数据计算得：代入数据计算得：362321433231)( BP例例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占生产的占 30% ，二厂生产的占，二厂生产的占 50% ，三厂生，三厂生产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别为为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少是次品的概率是多少?设事件设事件 B 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,. 3, 2, 1

8、,”“ iiAi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件,321 AAA解解. 3 , 2 , 1, jijiAAji 30%20%50%, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 APAPAP1A2A3A例例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占生产的占 30% ，二厂生产的占，二厂生产的占 50% ，三厂生，三厂生产的占产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别，又知这三个厂的产品次品率分别为为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少是次品的概率是多少?事件事件 B 为为

9、“任取一件为次品任取一件为次品”, 30%20%50%2%1%1%,02. 0)(1 ABP,01. 0)(2 ABP,01. 0)(3 ABP1A2A3A由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 APAPAP)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP .013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 ABPABPABP例2飞机有三个不同的部分遭到射击,在第一部分被击中一弹,或第二部分被击中2弹,或第3部分被击中3弹飞机才会被击落,其

10、命中率和每一部分面积成正比,三部分面积之比为0.1:0.2:0.7.若已知飞机中两弹（两弹独立）,求飞机被击落的概率.解:部分为第一弹击中第设iAi将中的两弹分出先后次序部分为第二弹击中第iBi3 ,2 , 1i为飞机被击落设C1A2A3A1B2B3B1B2B3B1B2B3BCCCCCCCCC111110100)|()()(1111BACPBAPCP)|()(2121BACPBAP)|()(3131BACPBAP)|()(1212BACPBAP)|()(2222BACPBAP)|()(3232BACPBAP)|()(1313BACPBAP)|()(2323BACPBAP)|()(3333BAC

11、PBAP)|()()(1111BACPBAPCP)|()(2121BACPBAP)|()(3131BACPBAP)|()(1212BACPBAP)|()(2222BACPBAP)|()(3232BACPBAP)|()(1313BACPBAP)|()(2323BACPBAP)|()(3333BACPBAP07 . 07 . 002 . 07 . 011 . 07 . 007 . 02 . 012 . 02 . 011 . 02 . 017 . 01 . 012 . 01 . 011 . 01 . 0事件B的实现有n种途径，在每种途径下,实现B的概率各不相同,但它们的概率之和即为P(B),即全概率

12、公式全概率公式的本质:=0.23例3某人忘记了 号码的最后一个数,因而随意地拨号, 求他在前三次拨通的概率.1A2A3ABBB解:3 ,2 , 1, iiAi次拨电话代表第设为拨通电话B由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP1)(1AP)|(1ABP101其中)(2AP)|(2ABP)(3AP)|(3ABP109919810981)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP1038198109911091011正确吗？)()(321BABABAPBP)()()(321BAPBAPBAP)|()()|()

13、()|()(332211ABPAPABPAPABPAP两两互斥因为虽然求解过程中用全概率公式错误,但结果仍然正确.全概率公式的另一种提法:则nnAAABAAA2121,设niiiABPAPBP1)|()()(niiiABPAPBP1)|()()(为两两互斥的事件组，且事件引例引例2：某人从任一罐中任意摸出一球某人从任一罐中任意摸出一球,发现是发现是红球红球,求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.213这是这是一个条件概率一个条件概率问题问题下面就介绍为解决这类问题而引出的下面就介绍为解决这类问题而引出的逆概率逆概率 (Bayes)(Bayes)公式公式., 2 , 1,)()()(

14、)()(), 2 , 1(, 0)(, 0)(,.121niABPAPABPAPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin 则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理 称此为逆概率公式或贝叶斯公式称此为逆概率公式或贝叶斯公式. 二、逆概率公式二、逆概率公式(Bayes(Bayes公式公式) )（P39P39）证明证明)()()(BPBAPBAPii ,)()()()(1 njjjiiABPAPABPAP., 2 , 1ni 该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯( (Bayes) )给出给出. . 它是在观察到事件它是在观察

15、到事件B已发生的条件下，寻找已发生的条件下，寻找导致导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. .全概率公式逆概率公式(Bayes公式)的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因，因，看作该过程的若干个原看作该过程的若干个原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即nAP 已知已知即即nABP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个个原因引起的概率，则用原因引起的概率，则用逆概率公式逆概

16、率公式 BAPi即即求求 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()(逆概率公式(Bayes公式)的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，因，因，看作该过程的若干个原看作该过程的若干个原把把nAAA,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 已已知知即即nAP 已知已知即即nABP而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是由第已经发生，要求此时是由第 i 个个原因引起的概率，则用原因引起的概率，则用逆概率公式逆概率公式 BAPi即即求求A

17、1, A2, A3是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割依题意依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,某人从任一罐中任意摸出一球某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.再看引例再看引例2 21解解 记记 Ai = 球取自球取自 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 31111)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP由由贝贝叶叶斯斯公公式式得得3代入数据计算得：代入数据计算得：23/836233231

18、)|(1 BAP3623)( BPA1, A2, A3是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割某人从任一罐中任意摸出一球某人从任一罐中任意摸出一球,发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.再看引例再看引例2 21解解 记记 Ai = 球取自球取自 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 31111)|()()|()()|(iiiABPAPABPAPBAP由由贝贝叶叶斯斯公公式式得得3依题意依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3),P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,代入数据计算得：代入

19、数据计算得：23/836233231)|(1 BAP3623)( BP;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只无无区区别别的的标标志志且且仓仓库库中中是是均均匀匀混混合合的的设设这这三三家家工工厂厂的的产产品品在在提提供供元元件件的的份份额额次次品品率率元元件件制制造造厂厂的的数数据据根根据据以以往往的的记记录录有有以以下下件件制制造造厂厂提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某电电子子设设备备制制造造厂厂所所用用例例2,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表

20、示表示设设 B)(BP求求家工厂提供的”家工厂提供的”“所取到的产品是由第“所取到的产品是由第表示表示设设iiAi)3 , 2 , 1( ，的的一一个个分分割割是是样样本本空空间间则则 321,AAA,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 APAPAP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 ABPABPABP )()()()(321321BABABAPBAAAPBPBP 由由全全概概率率公公式式：03. 005. 001. 080. 002. 015. 0 ）332211()()()()()(ABPAPABPAPABPAP .0125. 0 .,)2(试求这

21、些概率试求这些概率是多少是多少家工厂生产的概率分别家工厂生产的概率分别需求出此次品由三需求出此次品由三为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只(2) 由由逆概率公式得逆概率公式得)()()()(111BPABPAPBAP 0125. 002. 015. 0 .24. 0 ,64. 0)(2 BAP.12. 0)(3 BAP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第同理可得同理可得.0125. 0)(,02. 0)(,15. 0)(11 BPABPAP;,)1(.,05. 080.

22、 015. 003. 001. 002. 0321:.概概率率求求它它是是次次品品的的元元件件在在仓仓库库中中随随机机地地取取一一只只无无区区别别的的标标志志且且仓仓库库中中是是均均匀匀混混合合的的设设这这三三家家工工厂厂的的产产品品在在提提供供元元件件的的份份额额次次品品率率元元件件制制造造厂厂的的数数据据根根据据以以往往的的记记录录有有以以下下件件制制造造厂厂提提供供的的的的元元件件是是由由三三家家元元某某电电子子设设备备制制造造厂厂所所用用例例4.,)2(试求这些概率试求这些概率是多少是多少家工厂生产的概率分别家工厂生产的概率分别需求出此次品由三需求出此次品由三为分析此次品出自何厂为分析

23、此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,“取到的是一只次品”“取到的是一只次品”表示表示设设 B.家家工工厂厂提提供供的的”“所所取取到到的的产产品品是是由由第第表表示示i)3 , 2 , 1( iAi,321的的一一个个分分割割是是样样本本空空间间则则 AAA,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 APAPAP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 ABPABPABP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP .0125. 0

24、 (2) 由由逆概率公式得逆概率公式得)()()()(111BPABPAPBAP 0125. 002. 015. 0 .24. 0 ,64. 0)(2 BAP.12. 0)(3 BAP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第?,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机

25、机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产产品品合合格格”为为事事件件设设 B.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件A则有则有,55. 0)(,98. 0)( ABPABP例例3,05. 0)(,95. 0)( APAP)(BAP求求 )()()()(BAABPBAAPBPBP 由全概率公式：由全概率公式：)()(BAPABP )()()()(ABPAPABPAP 55. 005. 098. 095. 0 9585. 0 由由逆概率公式得所求概率为逆概率公式得所求概率为 )()()()(BPABPAPBAP 97. 09585. 098. 095. 0 ?

26、,.%95,.%55,%98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的品品时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表解解,“产产品品合合格格”为为事事件件设设 B.“机器调整良好”“机器调整良好”为事件为事件A则有则有,55. 0)(,98. 0)( ABPABP例例5,05. 0)(,95. 0)( APAP

27、由由逆概率公式得所求概率为逆概率公式得所求概率为)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP 55. 005. 098. 095. 098. 095. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做先验概率做先验概率.（P39）而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率叫做后验概率.（P39）先验概率与后验概率先验概率与后验概率95. 0)(

28、AP97. 0)( BAP后验概率后验概率逆概率公式逆概率公式(Bayes(Bayes公式公式) )先验概率与后验概率的关系先验概率与后验概率的关系 njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()(先验概率先验概率).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试求试求即即的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查现在对自然人群现在对自然人群有有则则有癌症”有癌症”表示事件“被诊断者患表示事件“被诊断者患以以为阳性”为阳性”表示事件“试验反应表示事件“试验反应若以若以验具有如下的效果验具有如下的

29、效果某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解,005. 0)( CP依题意依题意 )(CP例例4 )(CAP而而)()()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCPACP ,95. 0)( CAP05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 .087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.,995. 0,05. 0)(1 CAP)()()()()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCPAPACPACP ).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)

30、(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试求试求即即的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查现在对自然人群现在对自然人群有有则则有癌症”有癌症”表示事件“被诊断者患表示事件“被诊断者患以以为阳性”为阳性”表示事件“试验反应表示事件“试验反应若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解,005. 0)( CP依题意依题意,995. 0)( CP例例6,05. 0)(1)( CAPCAP而而,95. 0)( CAP由由逆概率公式得所求概率为逆概率公式得所求概率为05. 0995. 095

31、. 0005. 095. 0005. 0)()()()()()()( CAPCPCAPCPCAPCPACP.087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.每每100件产品为一批件产品为一批, , 已知每批产品中次品数已知每批产品中次品数不超过不超过4件件, , 每批产品中有每批产品中有i 件次品的概率为件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1从每批产品中不放回地取从每批产品中不放回地取10件进行检验件进行检验, ,若发现有若发现有不合格产品不合格产品, ,则认为这批产品不合格，否则就

32、认为则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格这批产品合格. 求求( (1) ) 一批产品通过检验的概率；一批产品通过检验的概率；( (2) ) 通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率件次品的概率.例例7设一批产品中有设一批产品中有i 件次品为事件件次品为事件Ai , i = 0,1,4 B 为一批产品通过检验为一批产品通过检验)(BP求求4 , 3 , 2 , 1 , 0, )( iBAPi求求由全概率公式与由全概率公式与Bayes 公式可计算公式可计算P( B )与与4 , 3 , 2 , 1 , 0),( iBAPi解解 设一批产品中有设一批产品中有i 件次品为事件

33、件次品为事件Ai , i = 0,1,4B 为一批产品通过检验为一批产品通过检验 已知已知P( Ai )如表中所示，如表中所示，4 , 3 , 2 , 1 , 0,)(1010010100 iCCABPiiA0, A1, A2 , A3, A4是样本空间的一个分割是样本空间的一个分割且且 i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1)(iABP1.0 0.9 0.809 0.727 0.652)(iABP)(BAPi814. 0)()()(40 iiiABPAPBP4 , 3 , 2 , 1 , 0,)()()()( iBPABPAPBAPiii1.0 0.9

34、 0.809 0.727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.080（1） 一批产品通过检验的概率；一批产品通过检验的概率； （2） 通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率件次品的概率. i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1每每100件产品为一批件产品为一批, , 已知每批产品中次品数已知每批产品中次品数不超过不超过4件件, , 每批产品中有每批产品中有i 件次品的概率为件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1从每批产品中不放回地取从每批产品中不放回地取10件进行检

35、验件进行检验, ,若发现有若发现有不合格产品不合格产品, ,则认为这批产品不合格，否则就认为则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格这批产品合格. 求求( (1) ) 一批产品通过检验的概率；一批产品通过检验的概率；( (2) ) 通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率件次品的概率.例例7解解 设一批产品中有设一批产品中有i 件次品为事件件次品为事件Ai , i = 0,1,4B 为一批产品通过检验为一批产品通过检验4 , 3 , 2 , 1 , 0,40 jijiAAABjiii 则则已知已知P( Ai )如表中所示，且如表中所示，且4 , 3 , 2 , 1 , 0

36、,)(1010010100 iCCABPii结果如下表所示结果如下表所示)(iABP)(BAPi814. 0)()()(40 iiiABPAPBP4 , 3 , 2 , 1 , 0,)()()()( iBPABPAPBAPiii i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.11.0 0.9 0.809 0.727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.080例例8 (软件包维护问题) 假如要维护一个有3个配置选项的软件包。其中用户用到A项的有40%，用到B项的有30%，用到C项的有30%。假定用户每个时刻只能使用一种选项。通过对该软件包支

37、持经验的不断积累，发现A项用户的出现问题的概率是0.5%，B项用户是0.75%，C项用户是0.95%。问维护的人力应该投向哪个选项？解解 假设每个选项可能导致的技术支持请求的百分比是一样的，显然应该对发生支持请求用户数最多的那个选项集中人力对其加以改进。 由贝叶斯公式得P(A)P(|A)P(A |) =P(A)P(|A)+ P(B)P(| B)+ P(C)P(|C)问题问题问题问题问题已知P(A)=40%，P(B)=30%，P(C)=30%，P(问题|A)=0.5%，P(问题|B)=0.75%， P(问题|C)=0.95%，于是有 比较三个结果可知，维护的人力应投向C项。0.40.005P(A

38、 |) =0.40.005+0.30.00750.30.00950.0020.281728%0.00710.30.0075P(B|) =0.40.005+0.30.00750.30.00950.0022532%0.00710.30.0095P(C |) =0.40.005+0.30.00750.30.00950.002850.007问题问题问题40%1 贝叶斯公式可作如下解释：假定有n个两两互斥的“原因”A1,A2,An可引起同一种“现象”B发生，若该现象已发生，利用贝叶斯公式可算出由某一个原因Aj(j=1,2, ,n)所引起的可能性有多大。如果能找到某个Aj，使 P(Aj|B)=maxP(A

39、j|B) (1jn)则Aj就是引起“现象”B的最大“原因”。 上述结论有诸多应用，如可用于公安机关破案警力的配备，垃圾邮件的过滤和计算机网络防火墙的设计等方面的参考。练习1 用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，肺癌患者通过检查被确诊的有98，而未患肺癌者经检查有99%可正确诊断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。在某人口密集的工业区，估计有3%的人患肺癌，现从该地区任选1人检查，试求： (1)若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率； (2)若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率 (3)解释以上结论的意义。 解：设A=此人确实患肺癌 B=此人被诊断为患肺癌 P(B|A)0.98 P(B|A)0.99 P(A)0.03(1) 若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率(2) 若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.980.75200.03 0.980.97 0.01P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.020.00060.03 0.020.97 0.99(3) 解释以上结论的意义: 对被查出患有肺癌，确实患有肺癌