25矩形菱形与正方形

1、矩形菱形与正方形、选择题1.（2014?黑龙江龙东，第 18 题 3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2, H 在 CD 的延长线上，四边形 CEFH 也为正方形，则 DBF 的面积为（）A.4B 以C. :考点： 整式的混合运算.专题： 计算题.分析： 设正方形 CEFH 边长为 a,根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果.解答： 解：设正方形 CEFH 的边长为 a,根据题意得： SBDF=4+a2-用-a （ a- 2）- a （a+2） =2+a2- a2+aa2- a=2,2 2 2 2 2故选 D点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.2.

2、（2014?黑龙江龙东，第 20 题 3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 CD 上，且CD=3DE .将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG、CF.则下列 结论：1厶 ABGAFG : BG=CG; AG/ CF : SEGC=SAFE;/ AGB+Z AED=145 .其中正确的个数是（）AV_ DGCBCEA.2B. 3C. 4D. 5考点：翻折变换(折叠问题)；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtAABG 也 RtAAFG ;在直角 ECG 中,根据勾股定理可证 BG=GC

3、;通过证明/ AGB =ZAGF=ZGFC=ZGCF，由平行线的判定可 得 AG/CF ;分别求出 SEGC与SA AFE的面积比较即可；求得/ GAF =45 / AGB+ZAED=180-ZGAF=135.解答：解：正确.理由：/ AB =AD =AF,AG=AG, ZB=ZAFG=90 RtAABG 也 RtAAFG ( HL);2正确.理由：EF=DECD=2，设 BG=FG=x，贝 U CG=6 - x.3在直角 ECG 中，根据勾股定理，得(6 - x)2+42= (x+2)2,解得 x=3 . BG=3=6 - 3=GC;3正确.理由：/ CG = BG, BG = GF, CG

4、 = GF, FGC 是等腰三角形，ZGFC =ZGCF .又 RtAABG 也 RtAAFG;ZAGB =ZAGF, ZAGB+ZAGF=2ZAGB=180-ZFGC =ZGFC+ZGCF=2ZGFC =2ZGCF,ZAGB =ZAGF =ZGFC=ZGCF, AG / CF ;4正确.理由:TSAGCE= 丄 GC?CE=_X3X4=6,2 2/SAFE=-LAF ?EF =_X5X2=6,2 2 I SAEGC=SAAFE；5错误./BAG =ZFAG，/DAE =/FAE,又/ BAD=90 ,/GAF=45,/AGB+ZAED=180 上GAF=135.点评：本题考查了翻折变换的性质

5、和正方形的性质，全等三角形的判定与性质,平行线的判定，三角形的面积计算等知识此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意 数形结合思想与方程思想的应用.3.（2014?黑龙江绥化，第 18 题 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=_ 】AB,ZBAD 的平分线交 BC 于点 E, DH 丄 AE 于点 H，连接 BH 并延长交 CD 于点 F，连接 DE 交 BF 于点 0,下列结论：ZAED =ZCED:OE=OD:BH=HF; BCCF=2HE;AB=HF,其中正确的有（An*:sEB . 3 个C . 4 个考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与

6、性质.勾股定理,分析：根据角平分线的定义可得/BAE= / DAE=45，然后利用求出厶 ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 AE=.:AB，从而得到 AE=AD，然后利用 角角 边”证明厶 ABE 和厶 AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=DH，再根据等 腰三角形两底角相等求出/ ADE= / AED=67.5 根据平角等于 180求出/ CED=67.5 从而判断出正确；再求出/ AHB=67.5 / DOH=ZODH =22.5 然后根据等角对等边可得 OE=OD=OH ,判断出正确；再求出/ EBH= / OHD=22.5 / AEB=ZHDF=45

7、,然后利用 角边角”证明 BEH 和 HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH = HF，判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得 DF = HE，然后根据 DH=DC - CF 整理得到.:BC - 2CF=2HE ,判断出错误；判断出 ABH 不是等边三角形，从而得到AB 再 H，即 ABHIF，得到错误.解答： 解：在矩形 ABCD 中，AE 平分/ BAD,/BAE=ZDAE =45,ABE 是等腰直角三角形，AE=二 AB,/ AD=二 AB, AE=AD ,在厶 ABE 和厶 AHD 中，FZBAE=ZDAE ZABE=ZAHD=90fl,.AE二AD ABEAHD (AAS

8、), BE=DH ,AB=BE=AH=HD,/ADE =ZAED 丄(180-45=67.52 / CED=180 - 45 - 67.5 67.5 / AED =ZCED,故正确；/AHBJ(180-45 =67.5 , / OHE = / AHB (对顶角相等),OE = OH ,/ DOH =90 - 67.5 22.5 / ODH =67.5 - 45 =22.5 / DOH = / ODH , OH=OD,.OE = OD = OH，故正确；/ EBH=90 - 67.5 22.5 / EBH = Z OHD ,在厶 BEH 和厶 HDF 中，VEBH=Z0HD=22- 55后=5臨

9、厘米2,(3)当 AE=EF=5 厘米时，如图考点： 菱形的性质分析：根据菱形的性质可得： AB=AD，然后根据/ A=60，可得三角形 ABD 为等边三角形，继而可得出边长以及周长.解答： 解：四边形 ABCD 为菱形， AB=AD,/ A=60 , ABD 为等边三角形，/ BD=7, AB=BD=7,菱形 ABCD 的周长=4X7=28.故答案为：28.DF=J 丄！-:二=4厘米， SAEF=-LAE?DFJX5X4=10 厘米2.2 2故答案为：上 J, 5.i, 10.点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,定分情况讨论.要根据三角形的腰长的不确12.（2014?重

10、庆 A,第 15 题 4 分）如图，菱形 ABCD 中，/ A=60 BD=7，则菱形 ABCD 的 周长为 28.点评：本题考查了菱形的性质， 解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质,简单.13. （2014?重庆 A,第 18 题 4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 0 是对角线 AC、BD的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE,过点 C 作 CF 丄 BE,垂足为 F，连接 OF，则 OF 的考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质.分析：在 BE 上截取 BG=CF ,连接 OG ,证明 OBGOCF ,则 OG=OF, / BOG= /

11、COF ,得出等腰直角三角形 GOF，在 RTABCE 中，根据射影定理求得 GF 的长，即可求得 OF 的长.解答： 解：如图，在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG,/ RT BCE 中，CF 丄 BE,/EBC=ZECF,/OBC=/OCD=45,/OBG=/OCF,在厶 OBG 与厶 OCF 中OB=OCZ0BG=Z0CFBG=CFOBGAOCF(SAS) OG = OF，/ BOG = / COF ,OG 丄 OF,在 RTABCE 中,BC=DC=6 , DE=2EC , EC=2 ,BE=T 亠匚丄2. I ii ,比较 BC2=BF?BE,则 62=BF，解得: EF=BE

12、- BF,5CF2=BF?EF , CF=：5 GF = BF - BG=BF - CF=5在等腰直角 OGF 中OF2=GF2,OF=：5的应用.14. （2014?四川成都，第 24 题 4 分）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，/ A=60 M 是 AD边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将 AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 AMN，连接 AC,解答：解：如图所示： MN , MA 是定值，A C 长度的最小值时，即 A 在 MC 上时, 过点M 作 M 丄 DC 于点 F,根据题意得出 A 的位置，进而利用锐角三角函数关系求出分析:A C 的长即可.BF ll _ ?点评：

13、本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理考点:菱形的性质；则 A C 长度的最小值是在边长为 2 的菱形 ABCD 中，/ A=60 CD=2，/ ADCB=120,/ FDM =60 , / FMD=30 , FD=MD=,22 FM=DM Cos30逅,2MC= ；打 -.， AC-MC - MA 八-1.故答案为：- 1.点评：此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A点位置是解题关键.15._（2014 衡阳，第 15 题 3 分）如图，在矩形ABCD中，Z BOC 120o,AB 5，则BD的长为_。【考点】矩形的对角线相等且互相平分；

14、一个角是60 度的等腰三角形是等边三角形【解析】矩形ABCD OA-OB 又TZ BOC 120o AOB-60。 AOB 是等边三角形 OA-OB-AB-5 ：矩形ABCD BD-2OB-10【答案】10【点评】本题主要考察矩形对角线的性质，只要应用一个角是60 度的等腰三角形是等边三角形就可得结论16、（2014?无锡，第 18 题 2 分）如图，菱形 ABCD 中，ZA-60 AB-3,OA、OB 的半径分别为 2 和 1 , P、E、F 分别是边 CD、OA 和OB 上的动点，贝UPE+PF 的最小值是 3考点：轴对称-最短路线冋题；菱形的性质；相切两圆的性质.分析：禾 U 用菱形的性

15、质以及相切两圆的性质得出P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值，进而求出即可.解答： 解：由题意可得出：当 P 与 D 重合时，E 点在 AD 上，F 在 BD 上，此时 PE+PF 最小,连接 BD,菱形 ABCD 中，/ A=60 , AB=AD，则 ABD 是等边三角形， BD=AB=AD=3,VOA、OB 的半径分别为 2 和 1 , PE=1, DF=2, PE+PF 的最小值是 3.故答案为：3.点评：此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出 P 点位置是解题关键.17、（2014?江西，第 13 题 3 分）如图，是将菱形 ABCD 以点 0 为中心按顺时

16、针方向分别旋转 90 180 270后形成的图形。若BAD 60o, AB=2，则图中阴影部分的面积为【考点】菱形的性质，勾股定理，旋转的性质.【分析】 连接 AC、BD , AO、BO , AC 与 BD 交于点 E,求出菱形对角线 AC 长，根据旋ACI （2 3）l转的性质可知 AO 丄 CO。在 RtAAOC 中，根据勾股定理求出 AO=CO=AC（2 3丿6,Y 2 Y 2【答12-43.（第13地）从而求出 Rt AOC的面积，再减去 ACD 的面积得阴影部分 AOCD 面积，一共有四个这样 的面积，乘以 4 即得解。【解答】解：连接 BD、AC,相交于点 E,连接 AO、CO。因

17、为四边形 ABCD 是菱形， AC 丄 BD, AB = AD= 2。/ BAD = 60 ABD 是等边三角形， BD = AB = 2,111 / BAE =_/ BAD = 30 AE =一 AC, BE=DE=-BD=1 ,222在 RtAABE 中，AE=AB2BE222123, AC= 2。菱形 ABCD 以点 O 为中心按顺时针方向旋转 90 180 2701/ AOC=$60 = 90 即 AO 丄 CO , AO = CO4在 RtAAOC 中，AO=CO=(JAC (Mr。 S 阴影=SAAOC SAADC_4X(3 3) =12 43所以图中阴影部分的面积为12 43。1

18、8、(2014?宁夏，第 10 题 3 分)菱形 ABCD 中，若对角线长 AC_8cm , BD_6cm ,则边长AB_ 5 cm.考点：菱形的性质；勾股定理专题： 常规题型.分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线一半的长度，然后利用勾股定理列式计算即可得解.解答：解：如图，菱形 ABCD 中，对角线长 AC_8cm, BD_6cm , AO_-AC_4cm , BOBD_3cm ,2 2菱形的对角线互相垂直，在 RtAAOB 中，AB_二 I _5cm.1TSAAOC= AO CO =2 21 1_3 ,SADC=2AC DE=2沱X1故答案为：5.点评：本题主要考查了菱形的对角线互

19、相垂直平分的性质,解.19、（2014?宁夏，第 15 题 3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD / BC, AB=CD=2, BC=5 ,/ BAD 的平分线交 BC 于点 E,且 AE/ CD，则四边形 ABCD 的面积为考点：平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质分析：根据题意可以判定 ABE 是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形ABCD 的高所以利用梯形的面积公式进行解答.解答：解：如图，过点 A 作 AF 丄 BC 于点 F./AD/BC,/DAE =ZAEB,又/BAE=ZDAE,/BAE=ZAEB,/AE / CD ,/AEB=ZC,/AD/BC,AB=CD=

20、2,四边形是等腰梯形,/ B= / C, ABE 是等边三角形, AB=AE = BE=2，/ B=60 ,作出图形更形象直观且有助于理 AF=AB?s in 60=2/AD / BC, AE/ CD ,2四边形 AECD 是平行四边形, AD = EC=BC BE=5 - 2=3 ,三、解答题1.(2014?海南，第 23 题 13 分)如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,/ CAB 的平分 线分别交BD , BC 于点 E, F，作 BH 丄 AF 于点 H，分别交 AC, CD 于点 G, P,连接 GE ,GF .(1) 求证： OAEOBG ;(2) 试问：四边形 BFGE

21、 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由;(3) 试求：丄的值(结果保留根号).AEPc)Fdu3考点：四边形综合题.分析：(1)通过全等三角形的判定定理ASA 证得： OAEOBG;(2) 四边形 BFGE 是菱形.欲证明四边形 BFGE 是菱形，只需证得 EG=EB=FB=FG , 即四条边都相等的四边形是菱形；(3) 设OA=OB=OC=a， 菱形GEBF的边长为B .由该菱形的性质 CG=GF = b,(也可 由厶 OAEOBG 得 OG=OE=a- b, OC - CG=a - b,得 CG=b);然后在 RtAGOE 中，由勾股定理可得 a=b，通过相似三角形 CGPsAGB

22、 的对应边成比例得点评：本题考查了等边三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质， 等腰梯形的性质等.梯形的面积匕至 y：_!=_!=1;最后由(1) OAEOBG 得到：AE=GB,故-= - - 1.GB屈AE GB解答：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，OA=OB,/AOE =ZBOG =90./ BH 丄 AF,/AHG=90 ,/ GAH+ / AGH=90 = / OBG+ / AGH ,/GAH= / OBG，即/ OAE =ZOBG .C Z0A=Z0BGOAE 与厶 OBG 中，0加OB,ZAOE=ZBOG OAEOBG (ASA);(2)四边形 BFGE 是菱形，理由

23、如下：在 AHG 与厶 AHB 中，FZGAH=ZBAH AH二AHtZAHG=ZAHB=90fl AHGAHB (ASA),GH=BH, AF 是线段 BG 的垂直平分线， EG = EB, FG=FB./BEF =ZBAE +ZABE=67.5 /BFE=90-ZBAF=67.5/BEF =ZBFE EB=FB, EG = EB=FB=FG,四边形 BFGE 是菱形；(3 )设 OA=OB=OC=a，菱形 GEBF 的边长为 B .四边形 BFGE 是菱形， GF / OB ,ZCGF =ZCOB=90,ZGFC =ZGCF=45, CG = GF = b,(也可由厶 OAEOBG 得 O

24、G=OE=a b, OC - CG=a - b，得 CG=b)OG = OE=a-b,在 RtAGOE 中，由勾股定理可得： 2 (a - b)2=b2，求得 a= ： b2 AC=2a= (2+ :) b, AG=AC - CG= (1+ 二)b/ PC / AB,由(OAE 也厶 OBG 得 AE=GB , 士 4-1，即卡-1-P严)AB点评：本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质等四边形的综合题该题难度较大，需要学生对有关于四边形的性质的知识 有一系统的掌握.2.(2014?黑龙江绥化，第 26 题 9 分)在菱形 ABCD 和正三角形 BG

25、F 中，/ ABC=60 P 是DF 的中点，连接 PG、PC.(1)如图 1,当点 G 在 BC 边上时，易证：PG=_；PC.(不必证明)(2) 如图 2,当点 F 在 AB 的延长线上时，线段 PC、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；(3)如图 3,当点 F 在 CB 的延长线上时，线段 PC、PG 又有怎样的数量关系，写出你的 猜想(不必证明).考点：四边形综合题.丄亠GB AGC1+V2)b=.：-1,分析：(1)延长 GP 交 DC 于点 E,利用 PEDPGF ,得出 PE=PG , DE = FG ,得到 CE=CG ,CP 是 EG 的中垂线,在 RTACPG

26、 中，/ PCG=60 ,所以 PG= . :PC.(2) 延长 GP 交 DA 于点 E,连接 EC , GC ,先证明 DPEFPG,再证得 CDECBG，利用在 RTA CPG 中，/ PCG=60 所以 PG=J PC.(3)延长 GP 至 U H ,使 PH=PG ,连接 CH、DH，作 ME / DC，先证 GFPHDP ,/ PCG=60 ,所以 PGV3PC. CE=CG, CP 是 EG 的中垂线，在 RTACPG 中，/ PCG=60 , PG= :PC.(2)如图 2,延长 GP 交 DA 于点 E,连接 EC , GC,/ ABC=60 , BGF 正三角形 GF /

27、BC / AD,/ EDP = Z GFP ,在厶 DPE 和厶 FPG 中VEDP=ZGFPDP二FPiZDFE=ZFFGDPEFPG (ASA) PE=PG , DE=FG=BG ,/ CDE = CBG=60 , CD=CB,在厶 CDE 和厶 CBG 中，禾|用厶 PEDPGF，得出 PE=PG , DE=FG ,rCD=CBZCDE=CBG=ECDECBG ( SAS) CE=CG ,Z DCE = Z BCG ,/ ECG= / DCB=120 ,/ PE=PG , CP 丄 PG,/ PCG= / ECG=602 PG= :；PC.(3)猜想：PG=.1PC.证明：如图 3，延长

28、 GP 至 U H，使 PH=PG，连接 CH , CG , DH，作 ME / DCFP=DP,/ GPF = / HPD ,GFPHDP , GF = HD , / GFP=/ HDP ,/ GFP + / PFE=120 , / PFE=/ PDC ,/ CDH = / HDP+ / PDC=120 ,四边形 ABCD 是菱形， CD = CB , / ADC = / ABC=60 点 A、B、G 又在一条直线上,/ GBC=120 ,四边形 BEFG 是菱形， GF = GB , HD=GB , CH=CG,/ DCH= / BCG,/DCH +/HCB =ZBCG+/HCB=120,

29、即/ HCG=120/ CH=CG, PH = PG, PG 丄 PC,/ GCP= / HCP=60 PG= :PC.点评：本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键.3.（2014?湖北宜昌，第 23 题 11 分）在矩形 ABCD 中，二=a,点 G, H 分别在边 AB, DC AL-上，且 HA = HG ,点 E 为 AB 边上的一个动点，连接 HE,把厶 AHE 沿直线 HE 翻折得到厶 FHE .匸HCnHC D狂/“GFc4kG罰迟AG图21s A图3应G（1）如图 1,当 DH=DA 时，1填空：/

30、HGA= 45 度；2若 EF / HG,求/ AHE 的度数，并求此时的最小值；（2）如图 3,/ AEH=60 , EG=2BG，连接 FG，交边 FG ,交边 DC 于点 P,且 FG 丄 AB,G 为垂足，求 a 的值.考点：四边形综合题.分析：（1 根据矩形的性质和已知条件得出/HAE =45，再根据 HA=HG，得出/ HAE=/ HGA，从而得出答案；先分两种情况讨论：第一种情况，根据（1）得出/ AHG=90再根据折叠的性质得出/ HAE= / F=45 , / AHE= / FHE，再根据 EF / HG，得出/ AHF= / AHG -/ FHG，即可得出/ AHE=22.

31、5 此时，当 B 与 G 重合时，a 的值最小，求出最小值；第二种情况：根据已知得出/ AEH + / FEH=45 ,由折叠的性质求出/ AHE 的度数，此时，当 B 与 E 重合时，a 的值最小，设 DH=DA=x，贝 U AH=CH=二 x,在 RtAAHG 中，/AHG=90 ,根据勾股定理得： AGAH=2x，再根据/ AEH = / FEH ,/ GHE=/ FEH，求出/ AEH = / GHE，得出 AB=AE=2x+二 x,从而求出 a 的最小值；(2)先过点 H 作 HQ 丄 AB 于 Q,则/ AQH = / GOH=90 ,根据矩形的性质得出/ D= / DAQ = /

32、 AQH =90 ,得出四边形 DAQH 为矩形， 设 AD=x, GB=y， 贝 U HQ=x, EG=2y，由折叠的性质可知/ AEH =ZFEH=60,得出/ FEG=60 在 RtAEFG 中，根据特殊 角的三角函数值求出 EG 和 EQ 的值，再由折叠的性质得出 AE=EF，求出 y 的值，从 而求出AB=2AQ+GB，即可得出 a 的值.解答：解：(1 )四边形 ABCD 是矩形，/ADH=90 ,DH =DA，/DAH =/DHA=45/HAE=45 ,HA=HG，/HAE =ZHGA=45;故答案为： 45；分两种情况讨论：第一种情况： / HAG= / HGA=45/AHG=

33、90 ,由折叠可知：/ HAE=ZF=45 / AHE =ZFHE ,/ EF / HG ,/FHG =/F=45,/AHF=ZAHG-ZFHG =45,即/ AHE +ZFHE =45 ,ZAHE=22.5，此时，当 B 与 G 重合时， a 的值最小，最小值是 2；第二种情况：EF/ HG，ZHGA=ZFEA=45，即ZAEH +ZFEH =45 ,由折叠可知：/ AEH=/FEH ,/AEH =ZFEH =22.5/ EF / HG ,/GHE=/FEH =22.5/AHE=90+22.5 112.5 此时，当 B 与 E 重合时，a 的值最小，设 DH = DA=x，贝 U AH=CH

34、 =:x,在 RtAAHG 中，/ AHG=90 ,由勾股定理得：AG=；打 AH=2x,/AEH =ZFEH，/GHE =/FEH,/AEH =ZGHE, GH=GE= _ X AB=AE=2x+=：； ：jx, a 的最小值是 皿亠 2+；(2)如图：过点 H 作 HQ 丄 AB 于 Q,则/ AQH= / GOH =90 ,在矩形 ABCD 中，/ D =ZDAQ =90 ,/D=ZDAQ=/AQH =90,四边形 DAQH 为矩形， AD=HQ,设 AD=x, GB=y,贝 U HQ=x, EG=2y,由折叠可知：/ AEH=ZFEH =60/FEG=60 , 在 RtAEFG 中，E

35、G=EFXcos60, EF=4y,在 RtAHQE 中，EQ=-=x,tan60 3 QG = QE+EG= x+2y,3/ HA = HG , HQ 丄 AB , AQ = GQ=亠上 x+2y,3 AE=AQ+QE=由折叠可知：AE=EF ,；x+2y=4y,3 y=；x,3 AB=2AQ+GB=2：x+2y)3 a4：；.AD4.(2014?湖南永州，第 23 题 10 分)在同一平面内， ABC 和厶 ABD 如图放置，其中AB=BD.小明做了如下操作：将厶 ABC 绕着边 AC 的中点旋转 180得到 CEA，将 ABD 绕着边 AD 的中点旋转 180得到厶 DFA，如图，请完成

36、下列问题：(1)试猜想四边形 ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由;(2)连接 EF , CD，如图，求证：四边形 CDEF 是平行四边形.+y=x，3殊角的三角函数值等知识点，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形.点评:考点：旋转的性质；平行四边形的判定；菱形的判定.分析：(1)根旋转的性质得 AB=DF , BD=FA，由于 AB=BD，所以 AB=BD=DF=FA，则可根据菱形的判定方法得到四边形ABDF 是菱形；(2)由于四边形 ABDF 是菱形，则 AB/ DF，且 AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形 ABCE 为平行四边形，根据判死刑四边形的性质得AB / CE ,且 A

37、B=CE,所以 CE / FD, CE=FD，所以可判断四边形 CDEF 是平行四边形.解答：(1)解：四边形 ABDF 是菱形.理由如下： ABD 绕着边 AD 的中点旋转 180得到 DFA, AB=DF , BD = FA,/ AB=BD, AB=BD=DF = FA,四边形 ABDF 是菱形；(2)证明：四边形 ABDF 是菱形， AB/ DF，且 AB=DF ,/ ABC 绕着边 AC 的中点旋转 180得到 CEA, AB=CE, BC=EA,四边形 ABCE 为平行四边形， AB/ CE，且 AB=CE, CE/ FD , CE=FD ,四边形 CDEF 是平行四边形.点评：本题

38、考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应 点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了平行四边形的判定和菱形的判疋.5.(2014?广西来宾，第 21 题 8 分)如图，BD 是矩形 ABCD 的一条对角线.(1) 作 BD 的垂直平分线 EF ,分别交 AD、BC 于点 E、F,垂足为点 O.(要求用尺规左图, 保留作图痕迹，不要求写作法)；(2) 求证：DE=BF.考点：作图一基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质.分析：(1)分别以 B、D 为圆心，以大于二 BD 的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段 BD 的垂直平分线;(2)利用垂直平分线

39、证得 DEOBFO 即可证得结论.解答： 解：(1)答题如图：(2)四边形 ABCD 为矩形， AD / BC,/ ADB = Z CBD , EF 垂直平分线段 BD ,BO=DO,在厶 DEO 和三角形 BFO 中，FZADB=ZCBD BO二DO，tZD0E=ZB0FDEOBFO (ASA),DE=BF.点评：本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答本题的关键, 难度中等.6.(2014 年广西钦州，第 20 题 7 分)如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 上的点，且 AE=BF .求证：CE=DF .考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质

40、.版权所有专题：证明题.分析：根据正方形的性质可得 AB=BC=CD，/ B= / BCD=90然后求出 BE=CF，再利用边角边”证明 BCE 和厶 CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.解答：证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC=CD，/ B= / BCD =90/ AE=BF , AB - AE=BC - BF ,即 BE=CF,在厶 BCE 和厶 CDF 中，BC=CD,BECFBCECDF ( SAS ,CE=DF.点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键.7.(2014 年贵州安顺，第 23 题 12 分)已知

41、：如图，在 ABC 中，AB=AC, AD 丄 BC,垂足为点 D , AN 是厶 ABC 外角/ CAM 的平分线，CE 丄 AN，垂足为点 E,(1)求证：四边形 ADCE 为矩形；(2)当厶 ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？并给出证明.考点：矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定.专题： 证明题；开放型.分析：(1 )根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE 丄 AN, AD 丄 BC,所以求证/ DAE=90可以证明四边形 ADCE 为矩形.(2)根据正方形的判定，我们可以假设当AD 年 BC,由已知可得，DC 丄 BC，由(1 )的

42、结论可知四边形 ADCE 为矩形，所以证得，四边形 ADCE 为正方形.解答： (1)证明：在厶 ABC 中，AB=AC, AD 丄 BC,/ BAD = Z DAC ,/ AN 是厶 ABC 外角/ CAM 的平分线，/ DAE = / DAC+ / CAE=1x18090 ,2又 AD 丄 BC, CE 丄 AN,/ADC =/CEA=90,四边形 ADCE 为矩形.(2)当厶 ABC 满足/ BAC=90时，四边形 ADCE 是一个正方形.理由： AB=AC,/ACB =ZB=45,/ AD 丄 BC,/CAD =/ACD=45,DC=AD,四边形 ADCE 为矩形，矩形 ADCE 是正

43、方形.当/ BAC=90时，四边形 ADCE 是一个正方形.点评：本题是以开放型试题， 主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用.& ( 2014?莱芜，第 21 题 9 分)如图，已知ABC 是等腰三角形，顶角/ BAC=a(aV60,D 是 BC 边上的一点，连接 AD，线段 AD 绕点 A 顺时针旋转a到 AE,过点 E 作 BC 的平行 线，交 AB 于点 F，连接DE, BE, DF .(1) 求证：BE=CD;(2) 若 AD 丄 BC,试判断四边形 BDFE 的形状，并给出证明.考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋

44、转的性质.分析：(1 )根据旋转可得/ BAE= / CAD，从而 SAS 证明 ACDABE，得出答案 BE=CD ;(2)由 AD 丄 BC, SAS可得厶 ACDABEABD， 得出 BE=BD=CD , / EBF =ZDBF ,再由 EF / BC,/ DBF = / EFB，从而得出/ EBF= / EFB，贝 U EB=EF，证明得出四边 形BDFE 为菱形.解答： 证明：(1 ) ABC 是等腰三角形，顶角/ BAC=a(a60,线段 AD 绕点 A 顺时 针旋转a到 AE , AB=AC ,/BAE=ZCAD,在厶 ACD 和厶 ABE 中， ZBAE=ZCAD,tAE=AD

45、 ACDABE (SAS),BE=CD;(2)TAD 丄 BC,BD=CD, BE=BD=CD，/BAD=ZCAD,/BAE=ZBAD,在厶 ABD 和厶 ABE 中，rAE=ADZBAE=ZBAD,朋二AB ABDABE ( SAS),/EBF =ZDBF,/ EF / BC ,/DBF=ZEFB,/EBF =ZEFB, EB=EF, BD = BE=EF=FD,四边形 BDFE 为菱形.点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及菱形的判定、旋转的性质.9.(2014?青岛，第 21 题 8 分)已知：如图，？ABCD 中，O 是 CD 的中点，连接 AO 并延 长，交 BC的延长线于点 E .(1) 求证： AODEOC ;(2) 连接 AC , DE,当/ B= / AEB= 45 。时，四边形 ACED 是正方形？请说明理由.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定.分析：(1)根据平行线的性质可得/ D= / OCE, / DAO= / E,再根据中点定义可得