圆压轴八大模型题-弧中点地运用

1、实用标准文档5文案大全圆压轴题八大模型题(一)泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用在OO中，点C是2D的中点，CEL AB于点E.(1) 在图1中，你会发现这些结论吗？1AP=CP=FP;2CH=AD;A&=APAD=CF- CB=AE AB.(2) 在图2中，你能找出所有与ABC相似的三角

2、形吗?【分析】(1)由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：/CAD=ZB=ZACE/PCF=ZPFC所以AP=CP=FP(1)由垂径定理和弧中点的性质得，DC=AC=AH,再由弧叠加得：CH=AD,所以CH= AD.(1)由共边角相似易证：AC0AABCACQAADCACFABCA进而得AC?=AEAB; AC?=APAD; AC?=CFCB垂径定理的推论得：C0丄AD,易证：RtAAB8 RtAACE RtACBERtAAC RtABDFsRtAAC3 RtACGF此外还有RtAAPERtAAOGRtAABDsRtCPG运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有

3、例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。CDFPAEOB（图1）CDPOEFG（图2）B实用标准文档文案大全【典例】(2018湖南永州)如图， 线段AB为OO的直径， 点C,E在OO上，:=I.,CD丄AB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.(1) 求证：CF=BF;(2)若cos/ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4,OO的半径为6.求证:实用标准文档文案大全直线CM是OO的切线.【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到:=花，再由丨得到丨.=: = -,等弧所对的角 相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得0C丄BE,再由锐角三角函数得到边BH

4、、OH的长度，由对应边成比例得BE/ CM,由/MCO=/BHO=90证得结论。证明：（1）延长CD交OO于G,如图,CD丄AB,./CBE=ZGCB, CF=BF;（2）连接OC交BE于H,如图,：，= l,AOCXBE,在RtAOBH中，cos/OBH=二OB 56= JOH：,13_3 0B_ 6 _3疋-，疋 7,=，而/HOB=/COM,OC 0MOHBsOCM, /OCM=/OHB=90,OCXCM,.直线CM是OO的切线.【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再 结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质

5、定理。 可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】三（图1-1）实用标准文档文案大全1.（2018四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE丄AB于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G,若】=,AE 4（图1-2）实用标准文档文案大全二)2.(2010泸州)如图， 在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点， 且AE与DE分别 平分/BAD和/ADC。(1)求证：AE丄DE;(2)设以AD为直径的半圆交AB于F,连接FGDF交AE于G,已知CD= 5,AE=8,求 值。AF(1)证明：在ABCD中， AB/CD,AZBAD

6、+ZADC=180 AE与DE平分ZBAD和ZADC11ZEAD=丄ZBAD,ZEDQ丄ZADC,22ZAED= 180(ZEAD+ZEDA)11=180(丄ZBAD+丄ZADC)221=180(ZBAD+ZADC)2=18090=90AE丄DE(2)解：在ABCD中，TAD/BCZEAD=ZAEB,且ZBAE=ZDAEZBAE=ZAEB,.AB=BE,同理：DC=EC=5又AB=DC,.AB=BE= DC=EC= 5,BC=AD=10在RtAAED中，由勾股定理可得：DE=; AD2- AE2二.102-82=6TZBAE=ZEAD,ZAFD=ZAED=90AFGAED,AF AE84FG

7、ED633.(2012泸州)如图，ABC内接于OO, AB是OO的直径，C是AD的中点，弦CEL AB于点H,连结AD,分别交CE BC于点P、Q,连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；15(2)若OO的半径为5,AQ=，求弦CE的长。(1)证明：TAB 是OO 的直径，弦 CE 丄 AB ,cc cC 是 AD 的中点， AC = CD ,c cAE=CD. ZACP= ZCAP. PA=PC,TAB 是直径./ ACB = 90ZPCQ=90-ZACP, ZCQP=90-ZCAP,ZPCQ=ZCQP.：PC=PQ. AC = AE .又T图9(图 1-3)C(图 1-4)实用标准文档文

8、案大全 PA = PQ，即 P 是 AQ 的中点;(2)解：JAC = CDCAQ =ZABC.又/ACQ= ZBCA, CAQCBA.15AC AQ 23 AB一10_4.又JAB = 10，二 AC = 6, BC = 8.根据直角三角形的面积公式，得：AC?BC = AB?CH , 6X8= 10CH .ABCD 内接于OO , AB 是OO 的直径，AC 和 BD 相交于点 E,(1) 求证：BC = CD ;(2) 分别延长 AB, DC 交于点 P，过点 A 作 AF 丄 CD 交 CD的延长线于点 F,若 PB = OB, CD = 灯：，求 DF 的长.2(1)证明：JDC =

9、 CE?CA,DC CA, CDE CAD ,CE DCPC 2.23又JPC?PD = PB?PA4、2? (4、2+ 2、2)= OB?3OBOB = 4,即卩 AB= 2OB = 8 , PA= 3OB = 12,在 Rt ACB 中，CE24又JCH2CH =48=HE,4.( 2014?泸州)如图，四边形- 2且DC2=CE?CA. / CDB=ZDAC, J四边形 ABCD 内接于O BC = CD;(2 )解：方法 一：如图,连接OC,BC = CD, /DAC=ZCAB ,又JAO=CO, /CAB=ZACO, /DAC=ZACO,PCPO AD IIPDPA，PB = OB

10、, CD = 2 一:PC2(图 1-5)图 aO,实用标准文档文案大全AC =AB2_BC2二、.82_(22)2=2、14,JAB 是直径，/ ADB=ZACB = 90实用标准文档文案大全/ FDA+/BDC=90/CBA+ /CAB=90/ BDC=ZCAB，/FDA= ZCBA,又/AFD=ZACB=905.( 2015?泸州)如图， ABC 内接于OO，AB = AC，BD 为OO 的弦，且 AB II CD，过点 A 作OO 的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F .(1)求证：四边形 ABCE 是平行四边形;(2)若 AE = 6, CD =

11、5，求 OF 的长.【解答】（1）证明：TAE 与OO 相切于点 A ,/EAC=ZABC,vAB=AC/ABC=ZACB，/EAC= ZACB,AEIIBC,vABIICD,四边形 ABCE 是平行四边形;(2)解：如图，连接 AO,交 BC 于点 H，双向延长 OF 分别交 AB , CD 与点 N , M , / AE 是OO 的切线，2由切割线定理得， AE = EC?DE,TAE=6,CD=5,2 6 = CE ( CE+ 5)，解得：CE = 4,(已舍去负数)， 由圆的对称性，知四边形 ABDC 是等腰梯形，且 AB =AFFDACCB2 142 2在 Rt AFP 中，设 FD

12、 = x，贝 U AF =. 7x,在 Rt求得 DF =方法二；连接 OC ,过点 O 作 OG 垂直于 CD ,PC po易证 PCOPDA，可得 一PD PA PG PO PGO PFA，可得PF PA 可得，PC=PG，由方法一中 PC = 4、2代入PD PFPCPC 2 2 PC 2；2 DF 即可得岀DF =A、翼（图1-6）实用标准文档文案大全AC = BD = CE = 4, 又根据对称性和垂径定理，得 AO 垂直平分 BC , MN 垂直平分 AB, DC ,设 OF = x, OH = y, FH = z,实用标准文档文案大全693+z+得：，+得：x2y3z693y x

13、解x 2y得4，: x2= y2+ z2,z-I J3-z 436.如图，AB是OO的直径，C P是弧AB上的两点，AB=13,AC=5.(1)如图，若P是弧AB的中点，求PA的长；如图，若P是弧BC的中点，求PA的长 AB是OO的直径且P是2B的中点，/PAB=ZPBA=45,/APB=90又在等腰三角形厶ABC中有AB=13,图dBC,与OP相交于M点，作PHL AB于点H, P点为Be的中点，OPL BC,/OM= 90,AB = 4, BC = 6, CD = 5,1二 BF = BC FH = 3 - z,21DF = CF = BC+ FH = 3+ z,2易得 OFHDFM BF

14、N ,DFDMBFBMOF一OHOF OH图 c=2y4,721二 OF =4、721 X2x21,169解：(1)如答图，连接PB图(图 1-7)图(2 )如答图，连接实用标准文档文案大全又AB为直径，/ACB=90 .:丄ACB=Z0陂OP/ AC./CAB=ZPCB.又/ACB=/0H290,：ACBAOHPB 5B=OH51，解得0卡 2:AH= O阳OH=9.在RtOPH中，有-一一 . -一.:在RtAHF中 有j - - J: PA= 一 匸7.如图，ABC内接于O0,且AB为OO的直径/ACB勺平分线交OO于点D,过点D作OO的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AEL CD于点E,过点B作BF丄CD于点F.(1) 求证：DP/ AB；(2) 若AC=6,BC=8，求线段PD的长.解：(1)证明：如图，连接OD/AB为OO的直径，：/ACB=90./ACB的平分线交OO于点D,：/ACD=ZBCD=45/DAB=ZABD=45。：仏DAB为等腰直角三角形。 DCLAB. PD为OO的切线，：ODL