2020年高考文数二轮专题复习：题型1第9讲函数的图象与性质含解析

1、第 9 讲函数的图象与性质考情分析高考对函数的图象与性质的考查主要体现在函数的定义域、值 域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面，题型以选择题、填空题为主，一 般属于中档题函数图象考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试 题考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对应关系；二是利用图象 研究函数性质、方程及不等式的解等，综合性较强函数的零点主要考查零点所 在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围；函数的实 际应用问题常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数等知识综合命题.热点题型分析热点 1 函数的图象及其应用方法结论-7-1. 辨识函数图象的两种方法直接根

2、据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图 象此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质仲调性、奇偶性、过定点等)判断.(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性， 判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复；从特殊点出发， 排除不符合要求的选项.2函数图象的应用利用函数图象研究函数的性质.对于已知或容易画出在给定区间上图象的 函数，其性质 仲调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助函数的图象来 研究，

3、但一定要注意函数的性质与图象特征的对应关系.(2) 利用函数图象研究不等式.当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有 关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合思想求解.(3) 利用函数图象研究方程根的个数.当方程与基本函数有关时，可以通过函 数图象来研究方程的根，方程 f(x)= 0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐 标，方程f(x) = g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象的交点的横坐标.【题型分析】Ixxe e1.(2018 全国卷U)函数f(x)= 厂的图象大致为()答案B解析xxee.XM0,f(x)=x= f(x), f(x)为

4、奇函数，排除 A;Tf(1)= e e10,二排除 D;.(x)=e+e x4ee 2x xx 2 e+ x+ 2 ex3x? x2, f (x)0,A排除 C;因此选 B.2.(2019 山西大学附中诊断)函数In x+ 1 x + 2x, x 0, f(x) =,2x+ 1, x0,所以有一个交点.又方程 2x+ 1= 0 的根为 x= -0, 故函数 f(x)=的零点个数为 2.故选 C.k2x+ 1，x0 的限制 条件而错选 D.热点 2 函数的性质及其应用方法结论- V-1.函数三个性质的应用(1) 奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切

5、，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，尤其注意偶函数 f(x)的性质：f( x)=f(x).(2) 单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.(3) 周期性：利用周期性可以转化函数的解析式和性质， 把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2四招破解函数的单调性(1) 对于选择题、填空题，若能画出图象，贝般用数形结合法.(2) 对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初 等函数的单调性问题来解决.(3) 对于解析式为分式、指数式、对数式等较复杂的函数常用导数法.(4) 对于抽象函数一般用定义法.3.三招判断函数奇偶性(1) 奇函数的图象关

6、于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称.(2) 确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称. 对对于偶函数而言，有 f(-x) = f(x) = f(|x|).【题型分析】I1定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+ 2)= f(x)，且在0,2)上单调递减，则下 列结论正确的是()A.Ovff(3)B . f(3)0f(1)C.f0f(3)D . f(3)f(1)f(0)f(1)，故选 C.取值范围是_ .答案4+x解析 由题意，令 g(x) = f(x) + f x1，32x + 2，x 1，函数 g(x)在区间(一 x,0,，0,1，2，+x三段区间内均单调递增，且

7、12.(2017 全国卷川)设函数 f(x)=x+ 1，x0，则满足 f(x) + f x11 的 x 的=1,20+ 0 + 2 1， 1+于 22 1,据此 x 的取值范围是4，+ .3. (2019 青岛调研)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+ 2) = f(x)，当 x 0,1时，f(x) = ex 1,贝 u f(2018)+ f( 2019)=_.答案 e 1解析Tf(x)是 R 上的偶函数， f( 2019)=f(2019), f(x+ 2)= f(x),Af(x)的周期为 2,又 x 0,1时，f(x) = ex 1; f(2018)= f(0) = 0, f(

8、 2019)= f(2019)=f(1)= e 1. f( 2019)+ f(2018) = e 1.I【误区警示】I第 1 题不能正确求出函数的最小正周期而导致 f(3)的值求错，易错选 D.第 2 题易错点有二：一是分段函数 f x 2 的解析式与定义域易错，导致 f(x) + f x1的 解析式不明确而无从下手；二是解不等式时忽略定义域的范围限制而出错热点 3 函数零点与方程的根方法结论V1判断零点个数的常用方法(1) 直接求零点：令 f(x) = 0,则方程解的个数即为零点的个数.(2) 零点存在性定理：利用定理不仅要求函数 f(x)的图象在区间a, b上是连 续不断的曲线，且 f(a

9、)f(b)0,还必须结合函数的具体图象与性质(如单调性、奇偶 性)才能确定函数有多少个零点.(3) 利用图象交点的个数： 画出相应函数的图象， 看图象交点的个数， 有几个 交点，就有几个零点.2. 利用函数零点求参数的取值范围(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通过分解不等式确定参数范围.(2) 分离参数法：先将参数分离，转化为求函数最值问题加以解决.(3) 数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.【题型分析】I1函数 f(x) = 2x|log0.5X1 的零点个数为()A.1 B. 2 C. 3 D. 4答案 B解析 函数

10、f(x) = 2x|logo.5x| 1 的零点个数？方程|logo.5x| = 2x= )的根的个 数?函数 yi=|logo.5x|与 y2=知两个函数图象有两个交点，故选B.2 , x, 0 x1.x1;x+ a(a R)恰有两个互异的实数解，则 a 的取值范围为()答案 D一 1解析 如图，分别画出两函数 y=f(x)和 y= _x+ a 的图象.9-49-4 9-49-45-5-44-44- 5-5- V V9-49-4 9-49-45 5一4 44 45 5一A A B BD D(1)先研究当 OWx 1 时，直线 y= -x+ a 与 y = 2 x 的图象只有一个交点的1情况.

11、当直线 y= &x+ a 过点 B(1,2)时，1992= 4+ a,解得 a=9.所以 Owa1 时，直线 y= 4X+ a 与 y=x 的图象只有一个交点的情况：1相切时，由 y=貴=4，得 x= 2,此时切点为 i2,舟，贝 U a= 1.112相交时，由图象可知直线 y= 4X+ a 从过点 A 向右上方移动时与 y=1 的155图象只有一个交点过点 A(1,1)时，1 二一 4+ a,解得 a=5.所以 a4.结合图象可得，所求实数 a 的取值范围为 5, 4，U1 故选 D.【误区警示】I第 1 题易错在不能把函数的零点转化为方程|logo.5x|= 1x的根，进而利用指

12、数、对数函数的图象交点来解决问题；第 2 题利用数形结合思想，转化为直线与 曲线交点的问题，易错点有二：一是分段函数图象在定义域的分界点易忽略；二 是直线平移的临界位置(区间端点和切点)能不能取到.热点 4 函数的实际应用方法结论L - y_- 函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实 际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题,建模,求解、反罠文字语言数学语言数学应用?检验作答(3)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式， 然后应用函数、方程、不等式和

13、导数的有关知识综合解答.I【题型分析】某食品的保鲜时间y(单位： 小时)与储存温度 x仲位：C)满足函数关系y= ekx+b(e = 2.718为自然对数的底数，k,b 为常数)若该食品在 0C的保鲜时间是 192 小时，在 22 C 的1保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 C 的保鲜时间是_小答案 24feb= 192,解析由题意得 彳22k+bQ = 48,11k133k+b11 k、3 b1e _2，当 x_ 33 时，y_e _ (e ) e _gX192_24.【误区警示】I本题易错点有二：一是指数式的运算e22k+b_ e22keb能否正确运用；二是利用e11k_扌扌整体代换

14、的技巧而求解本题.真题自检感悟1.（2018 浙江高考）函数 y_2|x|sin2x 的图象可能是（）答案 D解析 令 y_ f(x)_ 2|x|sin2x, f(-x)_ 2Hx|sin( 2x)_ 2x|sin2x_- f(x)，所以 f(x)为奇函数，排除 A , B ;当 x (0,n时，2|x|0, sin2x 可正可负，所以 f(x)可正 可负，排除 C.故选 D.2.(2018 全国卷U)已知 f(x)是定义域为()的奇函数，满足 f(1 x)_f(1 + x) 若 f(1)_2,则 f(1)+ f(2) + f(3) + + f(50)_ ()A. 50 B. 0 C. 2 D

15、. 50答案 C解析 因为 f(x)是定义域为(一, 的奇函数，且 f(1 x)_f(1+ x).所以 f(1 + x)_ f(x 1),所以 f(3 + x)_ f(x+ 1)_ f(x 1)，所以 T_ 4,因此 f(1) + f(2) + f(3) + +f(50) _ 12f(1)+ f(2) + f(3) + f(4) + f(1) + f(2)，因为 f(3) _ f(1), f(4) _ f(2)，所以 f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4) _0,因为 f(2) _f( 2)_ f(2)，所以 f(2) _0,从 而 f(1)+ f(2)+ f(3)+f(50)_f(1)

16、_ 2,选 C.3._(2019 全国卷U)已知 f(x)是奇函数，且当 x0，则x0.当 x0,函数x+2ax+a,xW0,2c c 若关于 x 的方程 f(x) = ax 恰有 2 个互异的实数，x2+ 2ax 2a, x0.解，则 a 的取值范围是答案(4,8)x2+ ax+ a, x0.依题意，方程 f(x)= ax 恰有 2 个互异实数解，等价于 g(x)= 0 恰有 2 个互异 实数解.a2af门x+2+a4，xW0, ,2其中 a0,所以只需a2a c c-lx2 丿+42a,x0,专题作业一、选择题1. (2019 全国卷U)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)= e

17、x 1,则当 x0 时, f(x)二()A.ex 1C. ex 1答案 D 解析 当 x0，:当 x0 时，f(x) = e 1 , f(x)= ex 1.又： f(x)为奇函数， f(x)= f( x)= ex+ 1.故选 D.2. (2019 华南师大附中一模)给出下列四个函数：3xf(x)=2x2x；f(x)=xsinx:f(x)=Iog3;解析 令 g(x) = f(x) ax= *又因为g(x)二a70,2a2a，易解得 4a0,a23Ix f(x)= x+ 3|-x-3|.其中是奇函数的编号为()A.B C.D 答案 B解析 对于，f(- x)= 2-x 2x二一(2x- 2-x)

18、二一 f(x)，所以是奇函数；对于，f(-x)= (-x) sin(-x) = xsinx= f(x),所以是偶函数；对于,3 x=-log33+x =- f(x),所以是奇函数；对于，f(-x)=| x+ 3|-1-x- 3|= x-3|x+ 3|= (|x+ 3|x 3|)= f(x)，所以是奇函数.故选 13. 函数 f(x) = ln (x+ 1) -的一个零点所在的区间是(xA.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)答案 B13解析 ：f(1)= ln 2- 10,的零点所在的区间是(1,2).故选 B.4. 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量

19、浓度(单位：mol/L， 记作H+)和氢氧根离子的物质的量浓度(单位：mol/L，记作OH-)的乘积等于常 数 10-14.已知 pH 值的定义为 pH = lg H+,健康人体血液的 pH 值保持在 7.357.45 之间(包含 7.35 和 7.45),那么健康人体血液中的(参考数据：lg 20.30, lg 30.48)八1JA.2B.31 1C.6D%答案 C解析 设健康人体血液的 pH 值为 x(7.35x7.45),则根据 pH= lg H+ 可得H+ =10-x.又H+ OH- = 10-14,所以健康人体血液中的OH* = 10也=晋帀142x0 90 7=10 1010.因为

20、 lg 2 0.30, lg 3 0.48,所以 lg 6= lg 2 + lg 3 0.78,1 1f( - X)二 lOg33+xB.1函数 f(x)= ln (x+ 1)-x所以 lg討-lg 6- 0.78,所以10-0.78.结合 10-0.7810-0.9,10-0.7可知健康人 体血液中的OH*可以为 g 故选C.5. (2017 全国卷I)函数 f(x)在( x,+x)单调递减，且为奇函数.若 f(1)=-1,则满足K f(x 2) 1 的 x 的取值范围是()A. 2,2 B. 1,1 C. 0,4 D . 1,3答案 D解析 ：f(x)为奇函数， f( x)二f(x). f

21、(1)= 1,二 f( 1)= f(1) = 1.故由一 1wf(x 2)w1,得 f(1)wf(x 2)wf( 1).又 f(x)在(x,+x)单调递减，.一 Kx21, K x 3.故选 D.6. (2017 天津高考)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x) = xf(x).若 a= g(log25.1), b = g(20.8), c= g(3)，则 a, b, c 的大小关系为()A.avbvcB.cvbvaC.bvavcD.bvcva答案 C解析 依题意 a = g( Iog25.1) = ( log25.1)f(- log25.1) = Iog25.1f(log25.1)

22、=g(log25.1).因为 f(x)在 R 上是增函数，可设 0vX1X2,则 00,20.80,30,且 log25.1vlog28=3,20.8v21v3, 0 8 1而 2.v2=log24vIog25.1,所以 3log25.1 20.80,所以 cab.故选 C.7. (2019 河北武邑中学调研)已知函数 f(x) = x2凶，则函数 y=f(x)的大致图入象为（）答案 A 解析由题意可知函数的定义域为(一, 0)U(0,+x),:函数 f(x) = x2lnXXl,入 f( x) = x2+呼，即 f( x)工 (x),函数 f(x)为非奇非偶函数，排除 B 和 C,当x=-e

23、 时，f一8. (2019 辽宁部分重点高中联考)已知函数 f(x)为定义在 3, t 2 上的偶函 数，且在3,0上单调递减，则满足 f( x2+ 2x 3)f x2+5 的 x 的取值范围是()A.(1 ,)B (0,1 C. (1, V2D. 0，屆答案 C解析 因为函数 f(x)为定义在3, t 2上的偶函数，所以一 3 +1 2= 0, t= 5,所以函数 f(x)为定义在3,3上的偶函数，且在3, 0上单调递减,所以 f( x2+ 2x 3)f x2+ 5 等价于2 2f( x2+ 2x 3) x2 1 3,1xf(3)的解集为( )A. 3,3 B. 2,4 C. 1,5 D .

24、 0,6答案 B解析 因为 f(x)是定义在2b,3+ b上的偶函数，所以有一 2b + 3+ b = 0,解 得b= 3,由函数 f(x)在 6,0 上为增函数， 得 f(x)在(0,6 上为减函数.故 f(x 1)f(3) ? f(|x1|)f(3)? |x 1|3,故2x4.八八 - -2e = e e2 时，logaixw2,且 a 氏 11, logiaw2,|a|2w2，则旧旧| |=，又 一鑒 aw12 2X111.已知函数 f(x)=凶+ 2 2(x1在 R 上有最大值，则 a 的取值范围为)A-返2 ，C2C. 2，AC.答案B.-1，-2D.歩歩0解析 f(x)= Iog2

25、(ax 1)在(3, 2)上为减函数，.宀a0,12,当 x1解析 设 f(x)关于 y 轴对称的函数为h(x) = f(x) = x+ 2x2(x0),则由题意D. 2 2,_1可得方程 h(x)= g(x)(x (0,+x)有解，即方程 2x空空=Iog2(x+ a)(x (0,+x)_i有解，作出函数 y=2x2, y= Iog2(x+ a)的图象如图，当 a0 时，若两个图象在(0，+x)上有交点，则1Iog2a2，0a .2，综上可得 a0 且 a 1)有且只有 4 个不同的根，则实数 a 的取值范围是()A. 4, 1B - (1,4)C.(1,8)D.(8，+x)答案 D解析 因为? x R，f(x+ 2) = f(2 x)，所以 f(x+ 4) = f2 + (x+ 2) = f2 (x+2)二 f( x)二 f(x)，所以函数