线性空间与线性变换2

1、 1.2 两个特殊的线性空间两个特殊的线性空间 一一. Euclid空间的定义与性质空间的定义与性质 定义定义1.20 设设V 是实数域是实数域R 上的线性空间，对上的线性空间，对于于V 中任二元素中任二元素 x与与y ，按某规则定义一个实，按某规则定义一个实数，用数，用 (x, y) 表示，且它满足下列四个条件：表示，且它满足下列四个条件： (1) ( , )( , );(2) (, )( , )( , );(3) (, )( , ),;(4) ( , )0,0( , )0.x yy xxy zx zy zkx yk x ykRx xxx x 当且仅当时，称称V 为为Euclid空间，简称空

2、间，简称欧式空间欧式空间或或实内积空间实内积空间. 例例1. 在在 中，对任意两个向量中，对任意两个向量 ，规定，规定例例2. 在在 C(a,b)中，对于任意两个连续函数中，对于任意两个连续函数 规定规定1. 在同一线性空间中，可以定义不同的内积。在同一线性空间中，可以定义不同的内积。例如例如在在 中，中，nRnx,21ny,21Tnnxyyx2211,)(),(tgtfbadttgtftgtf)()()(),(2R1 122, x y 1 1122221,2x y 2. 在给定的线性空间中，同一方式定义的内在给定的线性空间中，同一方式定义的内积也可能因基选取的不同而不同。积也可能因基选取的不

3、同而不同。例如例如 在在 中，向量中，向量 x，y在基在基下为下为 在基在基 下为下为则按照例则按照例1 定义的内积有定义的内积有2R 1,0 , 0,1E 12,xx x12,yy y 1,0 , 1,1F 122,xxx x122,yyyy1122,Ex yx yx y121222,Fx yxxyyx y例3 在在 Rm n 中，对于它的任意两个矩阵中，对于它的任意两个矩阵 ，规定，规定内积性质内积性质1 性质性质2 性质性质3 ),(ijaA)(ijbB minjTijijABtrbaBA11)(,yxkkyx,(),0), 0()0 ,(xxminjjijinjjjmiiiyxlkyl

4、xk1111),(, 性质性质4 性质性质52( , )( , )( , )x yx xy y( ,)( , )( , )x yzx yx z（Cauchy-Schwars不等式），特别的不等式），特别的在在 中，有中，有在在 中，有中，有 定义定义1.21 在欧式空间在欧式空间V 中，非负实数中，非负实数称为称为V 中元素中元素 x的长度（或模，范数）记为的长度（或模，范数）记为（或（或 ）.xx),(xxnRC(a,b)222111nnniiiiiiix yxy 222bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 性质性质：(1)(2)(3)00.kxk xxyxyxx当且仅当时，

5、等号成立 定义定义1.22 V中非零元素中非零元素 的夹角的夹角 规规定为定为yx与yx,( , ),arccosx yx yxy2 正交性正交性 定义定义1.23 如果对于欧式空间中的两个元素如果对于欧式空间中的两个元素与与 y 有有(x, y)=0，则称，则称x与与y 正交正交或或垂直垂直，记为，记为x y . 定义定义1.24 如果欧式空间中一组元素两如果欧式空间中一组元素两两正交，则称为两正交，则称为正交元素组正交元素组. 定理定理1.29 如果如果V中元素中元素 x与与y 正交，则有正交，则有x222xyxy推广推广：若元素组：若元素组 是正交元素组，则是正交元素组，则有有 定理定理

6、1.30 设设 是非零正交元素是非零正交元素组，则它们必线性无关组，则它们必线性无关. 定义定义1.25 在欧式空间在欧式空间Vn中，由中，由n 个非零元个非零元素组成的正交元素组称为素组成的正交元素组称为Vn 的的正交基正交基；由单位；由单位元素组成的正交基称为元素组成的正交基称为标准正交基标准正交基或或规范正交规范正交基基.mxxx,2122221212mmxxxxxxmxxx,21 定理定理1.31 对于欧式空间对于欧式空间 Vn的任一基的任一基 都可找到一个标准正交基都可找到一个标准正交基 . 例例1.29 试将元素组试将元素组 （P2的基）正交单位的基）正交单位化，规定内积为化，规定

7、内积为 解解 nxxx,21nyyy,212, 1tt10)()()(),(dttgtftgtf211) 1 , 1 (), 1 ()(, 1)(21ttttftf61),(),(1)1 , 1 ()1 ,()(222222223ttffffttttf单位化单位化得得)61(23,332, 12321ttgtgg例例 求求 的子空间的子空间上的一个标准正交基。上的一个标准正交基。解：可以看出解：可以看出 是一个是一个基基 ，正交化后得，正交化后得单位化后得单位化后得 即为一个标准正交基。即为一个标准正交基。 3R, ,|230Wx y zxyz13,0,1 22,1,0 13,0,1 211,

8、5,35113,0,110211,5,335四四. 酉空间介绍酉空间介绍 定义定义1.29 设设V 是复数域是复数域 C 上的线性空间，对上的线性空间，对于于 V 中任意两个元素中任意两个元素 x 与与 y ，按某规则有一复，按某规则有一复数数 (x,y) 与之对应，它满足下列四个条件与之对应，它满足下列四个条件_(1) ( , )( , )(2) (, )( , )( , )(3) (, )( , )(4) ( , )0,0( , )0.x yy xxy zx zy zkx yk x yx xxx x当且仅当时，实数则称则称 (x, y) 为元素为元素 x与与y 的内积，而称的内积，而称 V

9、 为为酉空酉空间（或复内积空间）间（或复内积空间） 例例 在复在复n 维向量空间维向量空间 Cn中，对于任意中，对于任意两个向量两个向量定义其内积为定义其内积为 性质性质：),(),(2121nnyxHnnxyyx2211),(),(,)3(0), 0()0 ,()2(),(),() 1 (1111minjjijiminjjjiiyxyxxxyxkkyx（4） 称为元素称为元素 的长度（模），仍记的长度（模），仍记为为 （或（或 ）),(xxxxx),)(,(),)(,()5(yyxxxyyx （即即Cauchy-Schwars不等式）不等式） （6）两个非零元素）两个非零元素 x 与与 y 的夹角的夹角 定义为定义为yx,),)(,(),)(,(,cos2yyxxxyyxyx当当 (x, y)=0 时，称时