2020年(新课改)数学高考总复习小测：导数与函数的零点问题

1、课时跟踪检测( (十九) )导数与函数的零点问题31.设 a 为实数，函数 f(x)= x + 3x + a.(1) 求 f(x)的极值；(2) 是否存在实数 a,使得方程 f(x)= 0 恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.解：( (1)f (x)= 3x2+ 3,令 f (x)= 0，得 x = 1 或 x= 1.当 x (8, 1)时，f (x)V0 ;当 x ( 1,1)时，f (x) 0;当 x (1,+ g)时， f( (X)v0, f(x)在( (一g,1),(1,+g)上单调递减，在( (一 1,1)上单调递增. f(x)的极小值为 f( 1) =

2、 a 2,极大值为 f(1) = a+ 2.方程 f(x)= 0 恰好有两个实数根，等价于直线 y= a 与函数 y= x3 3x 的图象有两个交 点.=x3 3x,. y = 3x2 3.令 y 0,解得 x 1 或 xv1;令 yv0,解得1 XV1.y=x33x在( (一1,1)上为减函数， 在(1, +8)和( (一g,1)上为 增函数.当 x= 1 时， y极大值= 2;当 x= 1 时， y极小值=2.二 y= x3 3x 的大致图象如图所示.y= a 表示平行于 x 轴的一条直线，由图象知，当 a= 2 或 a= 2 时， y= a与 y= x3 3x 有两个交点.故当 a =

3、2 或 a= 2 时，方程 f(x) = 0 恰好有两个实数根.2. (2019 锦州联考) )已知函数 f(x)= ex+ ax a(a R 且 a0).(1)若函数 f(x)在 x= 0 处取得极值，求实数 a 的值，并求此时 f(x)在2,1上的最大值； 若函数 f(x)不存在零点，求实数 a 的取值范围.解：(1)由 f(x)= ex+ ax a，得 f (x) = ex+ a.v函数 f(x)在 x = 0 处取得极值， f (0) =e0+a = 0, a = 1. f(x) = ex x+ 1, f (x)= ex 1.二当 x ( g,0)时，f (x) 0, f(x)单调递增

4、.易知 f(x) 在 2,0)上单调递减，1在(0,1上单调递增，且 f( 2) = -2+ 3, f(1) = e, f( 2) f(1),e1f(x)在-2,1上的最大值是+ 3.x(2)f (x) = e + a.当 a0 时，f (x)0, f(x)在 R 上单调递增，且当 x 1 时，f(x)= ex+ a(x 1)0；-1当x0时，取x=-a，a 0,.函数 f(x)存在零点，不满足题意.当 a 0 时，令 f (x)= ex+ a= 0,贝 U x = ln( a).当 x (8,ln( - a)时，f (x) 0 , f(x)单调递增，当 x = ln( a)时，f(x)取得极

5、小值，也是最小值.函数 f(x)不存在零点，等价于 f(ln( a)= eln(a)+ aln( a) a= 2a+ aln( a)0, 解得e?vav0.综上所述，所求实数a 的取值范围是( (e1 20).1 13. (2018 郑州第一次质量预测) )已知函数 f(x) = ln x+ a( (a R 且 a 0).(1) 讨论函数 f(x)的单调性；(2) 当 x 2 e 时，试判断函数 g(x)= (ln x 1)ex+ x m 的零点个数.解：( (1)f( (x)=?;0(x0),ax当 av0 时，f (x)0 恒成立，函数 f(x)在(0,+s)上单调递增；ax 11当 a0

6、 时，由 f (x)= -7-0，得 x-,axaax1/口1由 f (x)=Tv0,得 0vXV：,axa函数 f(x)在 a+上单调递增，在 0, a 上单调递减.综上所述，当 av0 时，函数 f(x)在(0, +)上单调递增;1由(1)知当 a= 1 时，f(x)= ln x+ - 1 在时，函数 g(x)= (ln x 1)ex+ x m 的零点个数，等价于方程(ln x 1)ex+ x= m 的根的个数.令 h(x)= (ln x 1)ex+ x,11 上单调递减，在( (1, e)上单调递增,:当 x :, e 时，f(x) f(1) = 0.:.h (x)= 1 + ln x

7、1 ex+ 1 0+ 10,当 a 0 时，函数 f(x)在1,+上单调递增，在 0, a 上单调递减.则 h (x) =ln x 1 ex+ 1.当 x ee1 1+ln x10在x恒成 h(x) = (ln x 1)ex+ x 在 x1一，e-e单调递增,h(x)min= h e = 2ee+ e，11 .当 m e 时，函数 ei当2ee+一一wmwe 时， 函数 g(x)在 ，e上有一个零点.2 _4. (2019 益阳、湘潭调研) )已知函数 f(x)= ln x ax + x, a R.(1)当 a= 0 时，求曲线 y= f(x)在点(e, f(e)处的切线方程;讨论 f(x)的

8、单调性；若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围.11解：( (1)当 a= 0 时，f(x)= ln x+ x, f(e)= e+ 1, f (x)=一一+ 1, f (e)= 1 + 一，曲线 yxe=f(x)在点(e, f(e)处的切线方程为 y (e+ 1) = 1 +一一( (x e),即卩 y=一匚In x+ x(3)函数 f(x)有两个零点，等价于方程 a = X3有两解.入ln x + x1 2ln x x令g(x)= (x0),则 g (x)=.作出函数 g(x)的大致图象如图，结合函数值的变化趋势猜想：当 a (0,1)时符合题意h(x)max=h(e)=e g(x)在 e 上没有零(2)f (x)=2ax1 2+ x+ 1(x 0),当aw0 时，显然当 a 0时，令f (x)0, f(x)在(0, + g)上单调递增；2ax?+ x+ 12口 “t 一亠、(x)= 0，则2ax2+ x+ 1 = 0，易知 0 恒成立.设方程1X1, X2( (X1 X2),贝 U X1X2= 2a 0， X1 0 0).1_%i8a -+ 1由 f (x) 0 得 X (0, X2),由 f (x) 1 时，a g(x)max,方程至多一解，不符合题意；当 aw0 时，方程至多一解，不符合题意；方程在 g 1与l,2/上各有一个根，1 2ln