厦门理工学院高数答案练习题第三章微分中值定理与导数的应用

1、高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用352若f (x)在(a,b)内可导，X1、X2是(a,b)内任意两点，且 为：x?，则至少存在一点，使得C (A)f (b) - f (a)二f ( )(b - a)(a：b);(B)f (b)f (xj二f ( )(bxj( x ： - b);(C) f(X2)- f (xj = f ( )(X2-xj(X1：:X2)；(D)f (x2) - f (a) = f ( )(x2- a) ( a：x2)填空题2_系_ 专业_ 班 姓名 3.1微分中值定理 一选择题1.在区间-1,1 1上，下列函数满足罗尔中值定理的是(A)f x二322x211(B)

2、f xtx2(C)f x =3x2_学号_A 2(D) f x = 1 - 3x 2x3 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的有B 2x(A)f(x)2，-1,11 +x(B)f(x)二x,-1,232(C)f (x) =4x -5x x -2, 0,1(D)2f(x) =1 n(1 x ),0,34 设f (X),g(x)是恒大于零的可导函数，且f (x)g(x)-f (x)g (x)：0,贝U当a x b时，有A (A)f(x)g(b) f(b)g(x)(B)f(x)g(a) f(a)g(x)(C)f(x)g(x) - f(b)g(b)(D)f(x)g(x) f(a)g(a)361

3、 对函数f(x) = px qx r在区间a,b上应用拉格朗日定理时，所求的拉格朗日定理结2若f (x)在a,b上连续， 在(a,b)内可导，则至少存在一点：(a,b), 使得ef一ef(a)=ef(f (，)(ba)成立3设f (x) =x(x-1)(x-2)(x-3),则(x)=0有3 个根，它们分别位于区间 (0,1) 一;(1,2);(2,3)_ 内.三.证明题b -a , b b -a1当0：a：b，试证：Inb a a证：令f (x) = In x,可知f (x)在a,b连续，在( (a,b)上可导由拉格朗日定理可知，存在(a,b)1b使得f ( )(b-a)(b-a) = In

4、b - In a = Ina111又0：a：: b,所以 ，且( (b - a) 0,b ab -a . b b -a即In。 得证b a aJI2 证明：arcs in x arccosx =2证明：令f (x)二arcsinx arccosx论中的，总是等于高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用37_系_ 专业_ 班 姓名_学号_3.2 洛比达法则 一填空题二、判断题：（正确的括号内打，错误的在括号内打“X”）三.计算题limx0 xeesin xx3-x2:x1叫(1 -x)ta n 322x -3x 1-x 1F 列极限能够使用洛必达法则的是1 x(A)limxT 1 -sinb

5、x兀(C)lim x( arctanx);XT说24.6.lxmvx -vaIn tan3xlimx- ln tan5xlim xex 0 (B) limx/he-He2x sin-36a(D)limx 1的值，t sinx“imgx厂1 COSX（不存在）x,e cosx2.limx ox2x .e sin x=limx )02xexcosx=limx02cosxxe1.lim -x_01 7n x -cosxc 0右cxo se -xsi rx e=l i mx arcsinx2.lim.3sin xx一arcs in=limx )01 x23x238f14.lim 7 lx ex1丿xt

6、a n x=ximWT；=lxmixln x _(x -1)lim(x -1)ln xx 1xln x x -1ex_1_xex-x-1=limxlimx x(ex-1)xln x 1ln x 22xe-1=limlimx 02xx0i：x5.lim (1一x) tan-x1216.lim(cot.(1X)=limx 1二Xcotp令y = (cotx)lnx，则In1ln cot xln x=limx 12/二x、:limn y limln cot xx9x刃ln x=limx 0 tan x(csc2x)2xlim (arctanx)x r：二2x2解:令y = ( arctan x)x,

7、贝U ln y = xln( arctanx)li8（见下一页）lim ln y =limX )二x )二2ln(arcta nx)n二limX.n1 1arcta nx 1 x21 2x2_xim：七arcta nx2JIx392x3x4xInIn y3-xx x,2Inlim In y = limx 0 x_0YYY2 In 23 In 34 In 48-Xm02x3x4丿J| n24 =1 n3243所以，lim丄n3i+4x匸24n324,= eln324=3.24解：设y =2x3x4x34x3x2x3x4x高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用40_系_ 专业_ 班 姓名_学

8、号_ 3.4函数的单调性与曲线的凹凸性一填空题1 .函数y=x33x?9x+5在区间_ （一1,3）_内单调减少,在区间（亠,一1）和（3,驱） 内单调增加.1、 _ 、 、 -2.y=x+在区间（_i 0）和（0,）内单润减少，在区间|（_oo，一1）禾口（1，旳）.x内单调增加.3 函数的单调增区间是_ R_。4.函数y =2x2-1 nx在区间_（o,* ）内单调减少，在区间_（1，址L内单调增加.5.曲线y=xe的凸（向上凸）区间是_（一,2）_，凹（向下凸）区间是_（2,+）_a=b,且a = 07当a#0_,b| = 0. ,c时，点(0,1)为曲线y = ax3+bx2+c的拐点

9、。.选择题1.曲线y=x3-12x，1在区间（0,2）内B （A）凹且单调增加（B）凹且单调减少（C）凸且单调增加（D）凸且单调减少2 .若f （x）二阶可导，且f（x）二-f（-x），又x （0,：）时，f （x） - 0,f （x） - 0，则在（：,0）内曲线y = f（x）C（A）单调下降，曲线是凸的（B）单调下降，曲线是凹的（C）单调上升，曲线是凸的（D）单调上升，曲线是凹的3 .条件（X。）=0是f（x）的图形在点x =x处有拐点的（D）条件.（A ）必要条件（B ）充分条件（C）充分必要条件（D）以上都不是4设函数f (x)连续，且f (0) 0,则存在 0，使得C 416.若曲

10、线y=（ax b）在（1,（ab）处有拐点，贝U a与b应满足关系4设函数f (x)连续，且f (0) 0,则存在 0，使得C 42讨论方程x3-3x 0在区间0,1内有几个根？3解：设f(x)=x-3x 10,则f (x)在0, 1上连续.又f(0) =1 0, f(1)=1：0,故由闭区间上连续函数的性质可知存在.(0,1)使得f(J=0.即f(x)二0在0,1至少有一个根。又当0：x1 时，f (x) =3x2-3：0所以f(x)在(0, 1)单调减少,即f(x)二0在0,1至多有一个根。综上所述,f(x)二0在0,1只有一个根。四证明题：13兀1 证明tan x x x ( 0：x )

11、2213证明：令f(x) = tanx-xx3故f (x) =sec x -1- x2二tan2x-x2又i x (0,3)tan x x 0(A)f (x)在(0)内单调增加(C)对任意的x (0,、)有f (x) . f (0)2 25曲线y=(x-1) (x-3)的拐点个数为(A) 0( B) 1(B)f (x)在(-、，0)内单调减少(D )对任意的X(-、；，0)有f(x) . f (0)C (C) 2(D) 34设函数f (x)连续，且f (0) 0,则存在 0，使得C 43所以，f (x)0,即f (x)在(0, 3)单调递增:13_x (0, ) f x ) f (0),即ta

12、n x xx3。得证23442 利用函数的凹凸性证明证：令f (t)二tin t.xln x y ln y (xy)ln(x . 0 ,y 0 x= y )f (t) =lnt t- t=in t 1,1f (t)0所以f(t)在(0, ： ： )上是向上凹的 故对任意的x, y (0, ：)f(f(x) f(y)2即J,宀y)曲x x额2 2 2所以，xl nx y l y x( y45高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用_ 系_ 专业_ 班 姓名_ 学号 3.5 函数的极值.填空题31当x = 1时，函数y =x - 3px q有极值，那么p =2 .函数 y =sin(x，)，二

13、，在区间七，二上的极大值点 x二_ 0时，函数 f(x)=asi nx si n 3x 在处取得极_ 大 值时，其极大值33=ax3bx4cx d在x = 0处取得极值y = 0,(1,1)点是拐点，则a二,c =_ 0二.选择题3.下列命题为真的是4 .当Xx0时,f (x) 0，当X :：Xo时,f (x) : 0,则X0必定是函数f (X)的-11.设函数f(x)满足，f(X。)=0,f (xj不存在，则(A)X=X及X=为都是极值点(B)只有X = X是极值点(C)只有X =X!是极值点(D)X = X0与X =为都有可能不是极值点5 设函数f(X)在(：，：)内连续，其导数的图形如图

14、所示，则f(x)有 C 346(A)极大值点；(B)极小值点；(C)驻点；(D)以上都不对(A)若 X。为极值点，则 f(X。)=0(B)若 f仏)=0，则 X0为极值点(C)极值点可以是边界点(D)若 X0为极值点，且存在导数，则f (x)=04 .如果f (X)在X0达到极大值，且f (X0)存在，则f (X0)(A) g(B):：0；(C)(D)04718193(A)2(B)86(C)4(D)3三.求下列函数极值1.y = x3- 3x2-9x 5解：y =3x2-6x-9 = 3(x -3)(x+1)令y =0可得x= - 1或x=3当x：-1时，y 0,当 一1 ”：x : 3时，y

15、：0所以y在x = -1处取得极大值y(-1) =10当 一1：x：3时y 0当x 3时y 0所以y在 3 处 取得极小值y(3) = -22。2.y =(x -5)23(x 1)2-22-解：y” =2(x -5)(x 1)3(x -5) (x 1)3(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点(C)两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点26 .函数f (x) = X -1n(1 - X )在定义域内(A)无极值(C)极小值为1-ln 2(B)极大值为1I n 2(D)f (x)为非单调函数27.若函数y = 2 x - x的极大值点是x=丄，则函数y

16、=圧2 x - X22的极大值是D y-xA 5 设函数f(X)在(：，：)内连续，其导数的图形如图所示，则f(x)有 C 3486(x 5)(x 1) 2(x5)23(x 1)32(x -5)3(x 1) (x -5)= 13(x 1)3_ 2(x -5)(4x -2)13(x 1)31令y =0可得x=-或X =52当x = -1时，y不存在1由X = -1,x ,x=5把(：，：)分成四个部分区间，并列表讨论如下:X(T -1)-17125(5严)f (x)不存在+00+f(x)极小值/极大值极小值/181 9所以，函数的极大值为y()丁24 Y4极小值为y(-1) = 0,y( 5)

17、= 0高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用49专业_ 班 姓名函数的最大值最小值学号.填空题1.函数f(x) =x 2cosx在0,亍上的最大值为，最小值为兀62422.y = x -8x2(-1乞x乞3)在x3处取得最大值_11_,在 x =处取得最小值二.选择题-1421 .Y在_1, 2上没有(A)极大值(B)极小值(C) 最大值(D)最小值2 函数二1在(0, 1)内的最小值是x(A)0(B)1(C) 任何小于 1 的数(D)不存在3 .函数 y =x21 在区间(-1, 1)上的最大值是(B)1(A) 04 设有一根长为 L 的铁丝，将其分为两断,s方形面积为S2，当Si S

18、2最小时，S21(A)4(B)4三、要造一圆柱形油罐,底直径与高的比是多少体积为解：已知V=：r2h可得h(D)不存在(C)分别构成圆形和正方形，若记圆形面积为S1,兀(C)；4(D)nV，问应半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小?这时V2r(方法一)S(r)=2- r22- rh=2二r22二rV二r22 - r22VrS (r) =4二r -2三,令S (r) =0r=r3uVh2=2r兀r2由于驻点唯一，且最小值存在，所以当h = 2r时, 表面积最小。=3650（方法二）2 2S(r) =2二r2二rh=2二r二rh二rh1 1_3 (2二3r4h4)3=3 (2二V2)3当2二r

19、2-二rh即h =2r时等号成立。1面积取得最小值为3 (2二V2)3。4 2(x2-2x 4)2四某地区防空洞的截面积拟建成矩形加半圆如下图才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省.1x212解：由已知5二xy（一）二xy+x2可得,22 81x2，截面的面积为5m2,问底宽为多少时L( x) = x 2 yL(X(41)102x由于驻点唯一，且最小值存在，所以当x二，40时，材料最省。:二4=x =40二451yxx 81x)=(1)x高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用516讨二2的图形x 2x +4解：（1）所给函数的定义域为 R,-6(2x-2)2 2(x2-2x4)

20、2-12(x -1)(X2-2x 4)2-(x -1)2(X2-2x 4)(2x-2)(x2-2x 4)4(x2-2x 4) -4(x-1)2(x2-2x 4)3（2）y的零点为x =1,y的零点为x = 0,x = 2,这些点把定义域分成四个部分五.作函数x(x-2)23(x -2x 4)52在各个区间，y；y得符号，相应的曲线的升降性及凹凸性，以及拐点，如下表:x(TO)0(0,1)1(1,2)2(2十)ry+0ft y+00+图形丿拐点厂极大值拐点(4)lim -60，所以，y二0是函数的水平渐进线。x护x2_2x + 4(5)描点作图(略)高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用5

21、3y =2cost在x = 2处的曲率K =，曲率半径P13寸13告=1 (a b 0)在长轴端点(a ,0)的曲率K二b三、计算题:1 .求曲线y = In x上曲率最大的点及该点处的曲率半径.x2专业姓名学号、填空题抛物线y3.7 曲率=x2x在点(1,0)处的曲率K =_，曲率半径丫 :v：2_(A)0(B)b2(C)ba2(D)不存在K(x)二K (x)二yi(1 (y)2)22X1(1丄2x(X21)2-X2(x21)22x(x21)3令K (x) =0且可知(x2(x21)2(1-2x2)(x21)3当X寻时K(x)取得最大值。K(込宀29曲率半径-23.3曲线x =4sin t,

22、2 2曲线x xy y=3在点(1,1)的曲率为13 13二、选择题:542 .汽车连同载重共 5 吨，在抛物线拱桥上行驶，速度为 21.6 （公里/小时）桥的跨度为 10 米,拱的矢高为 0.25 米，求汽车越过桥顶时对桥的压力。解：取桥顶为原点，竖直向下为y 轴的正方向，则抛物线的方程为y = ax2（a 0）桥端点（5， 0.25）在抛物线上，=a =0.01所以抛物线的方程为y二0.01x2，y =0.02x, y =0.02，所以y (0) = 0,所以在桥顶处抛物线的曲率半径为_（y）2）2mv25 103(21.6 103)50(60 60)所以汽车越过桥顶时对桥的总压力为51

23、0009七3 604 514 0 0y (0) =0.02= 3600(N)高等数学练习题第三章微分中值定理与导数的应用55_系_ 专业_班 姓名_学号_综合练习一填空题1 函数f(x)二x、3-x在0,3上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的=_2_2x2 .极限lim(cos ) =1 _。xx3 y=V6Z在区间|(,0)和(4,+闵)内单调减少在区间(0,4)|内单调增加。-14._y = x2x在x =匚壬 处取得极小值.In*，+35._ y =x+/ x 在-5, 1的最大值点为x=。4选择题_ 21 .函数 y =x -In(1 - x )在定义域内A (A)无极值(B)极大值为1 -ln2(C)极小值为1 -ln2(D) f (x)为非单调函数44丄lnx2 .曲线y = x B x(A)x =1是垂直渐近线(B)y = x为斜渐近线(C)单调减少(D)有 2 个拐点In x-x, x13 设函数f(x)2，则C x -