组合数的性质

1、11 1、组合定义、组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数个元素的所有组合的个数，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC2 2、组合数、组合数: :3、组合数公式、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm210242322CCCC 计算计算有简洁的

2、计算方法吗？有简洁的计算方法吗？引例引例1：某小组有7人:选出3人参加,可以有多少种不同的选法?选出4人参加,可以有多少种不同的选法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？3537C3547 C即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动都有35种不同的选法.4737CC对应从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学构成一个组合构成一个组合剩下的剩下的4 4位同位同学构成一个组学构成一个组合合从从7 7位同学中位同学中选出选出3 3位同学位同学的组合数的组合数37C即：从从7 7位同学中选位同学中选出出4 4位同学的组位同学的组合数合数47C思考

3、二思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？ 一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下nm个元素,因此从n个不同元素中不同元素的每一个组合,与元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出 个不同元素的组合数,从这n个元素中取出个元素的组合数.即 mnnmnCC这就是我们今天学习的组合数的第一个性质. 性质性质1mnnmnCC性质性质1 1的证明的证明 mnnmnCmnnmnnmnmnC)!()!(!)!( !说明：说明：2 2、为了使性质、为了使性质1 1在在m mn n时也能成立时也能成立, ,规定规定01nC 1 1、为简化计算、为

4、简化计算, ,当当m m 时时, ,通常将计算通常将计算 改为计算改为计算 2nCmnCn mn 3xynnCC 、xyxyn 或或例如例如: :20111201120102011201120102011CCC4 4、该性质又叫、该性质又叫对偶法则对偶法则练习练习（1）计算：97100C=161700 （2）已知：725225xxCC,求x 414ttCCtC20（3）已知：,求x=6或7=190 引例引例2 2：一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球个白球和和1 1个黑球个黑球（1 1）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球, ,共有多少种取法？共有多少种取法？（2

5、2）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球, ,使其中含有使其中含有1 1个黑个黑 球球, ,有多少种取法？有多少种取法？（3 3）从口袋内取出）从口袋内取出3 3个球个球, ,使其中不含黑球使其中不含黑球, ,有多少种取法？有多少种取法？ 3537C解：解：2127C 5638C 我们发现：我们发现：372738CCC这是为什么呢这是为什么呢? ? 我们可以这样解释我们可以这样解释: :从口袋内的从口袋内的8 8个球中个球中所取出的所取出的3 3个球个球, ,可以分为两类可以分为两类: :一类一类含有含有1 1个个黑球黑球, ,一类一类不含有不含有黑球黑球. .因此根据分类计数原因此根据分

6、类计数原理理, ,上述等式成立上述等式成立. .372738CCC思考思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？1211,1nmna aanmC 一一般般地地，从从这这个个不不同同的的元元素素中中取取出出个个元元素素的的组组合合数数是是， 11aa这这些些组组合合可可分分成成两两类类：一一类类含含有有 ，一一类类不不含含有有 ，1231,nmnaaaanmC 不不含含的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出个个元元素素组组成成的的，共共有有个个 123111,1nmnaaaanmaC 含含有有的的组组合合是是从从这这 个个元元素素中中取取出出

7、个个元元素素与与组组成成的的，共共有有个个； 由由分分类类计计数数原原理理，得得 11mnmnmnCCC性质性质2 2CCmnmn1 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmn性质性质2 2的证明的证明 11mnmnmnCCC注注:1:1 公式特征公式特征: :而而的两个组合数之的两个组合数之和和, ,等于下标比原下标多等于下标比原下标多1 1而上标与原组合数上标较大而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数的相同的一个组合数2 2 此性质的作用此性质的作用: :恒等变形恒等变

8、形, ,简化运算简化运算. .4 该性质又叫增一法则该性质又叫增一法则11mnmnmnCCC3 3 等式体现：等式体现：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思想. 11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元练习：练习：mnC 化简（用化简（用 形式表示）形式表示）9 08 99 99 9C C mnC89999099CC92004102005CC变式一：90100C102004C899990100-CC变式二：9099C0C -8m7mC变式三：81mC例例 1 计算计算198200( 1 ) ;C329999( 2 ) ;CC 332898( 3 ) .2CCC 22002001991990021 C 31001009998161700321 C 3322388888562()CCCCC0129456131CCCC（）计算 ；2222234102CCCC（）计算 ；例例2常用的等式常用的等式:111010kkkkkkCCCC练习：_,8771nCCCnnn则若(1)（2）已知 , C12 = C11 + C11 7 7 x x则则 n,C3241863n18则则）若）若（nC69584737CCCC(4)计算计算（5）2100252423AAAA 计计算算1456或或2210CCCCC5