空间向量的正交分解

1、3.1.43.1.4空间向量的正交分空间向量的正交分解及其坐标表示解及其坐标表示。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理共线向量定理:复习：共面向量定理共面向量定理:0/aa b babb 对空间任意两个向量 、 （），的充要条件是存在实数 ，使 。有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0

2、,1),0(0,0).ij问题：问题：p 我们知道，平面内的任意一个向量我们知道，平面内的任意一个向量 都可以都可以用两个不共线的向量用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？, a b xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空间两是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一两垂直的向量，那么，对空间任一向量向量 ，存在一个有序实数组，存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在

3、 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p 探究：探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量 ，能得出类似的，能得出类似的 结论：结论：, ,a b c , ,i j k 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c （1

4、）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：特别提示：对于基底对于基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面， 还应明确：还应明确： （2） 由于可视由于可视 为与任意一个向量共线，与任意两为与任意一个向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是都不是 。00（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。一、空间直角坐标

5、系一、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点以点O为原点，分别为原点，分别以以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个这样就建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系O-xy

6、z 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做都叫做坐标向坐标向量量.通过每两个坐标轴的平面叫做通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面坐标平面。 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组( x, y, z)叫做叫做p在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，记作记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标系二、空间向量的直角坐标系pxyzOe1e2e3p

7、在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点中，对空间任一点A,对应一个向量对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数，于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，使，使 OA=x e1+y e2+z e3 在单位正交基底在单位正交基底e1, e2, e3中与向量中与向量OA对应的有序实数对应的有序实数组组(x,y,z)，叫做点，叫做点A在此空间在此空间直角坐标系中的坐标，记作直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的横的横坐标，坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3练习：练习：1、在空间坐标系、在空间坐标系o-xyz中，中， ( 分分别是与别是与x轴、轴、 y轴、轴、 z轴的正方向相同的单位向量轴的正方向相同的单位向量)则则 的坐标为的坐标为 。2、点、点M（2，-3，-4）在坐标平面）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正内的正投影的坐标分别为投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点，关于原点的对称点为为 ，关于轴的对称点为，关于轴的对称点为 ，2