2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破理含解析

1、1平面向量及其应用1.在ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且BD=2DQ CE3EA若AB= a,AC=b,则DE=()1133a_他b15_a_b312【解析】2 .已知向量a= (2,3) ,b= ( 1,2)，若ma+nb与a_ 2b共线，则 * ()1 1A.B . 2 C . D . 2【答案】 Ca与b的夹角为B,则ab0”是0为锐角”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件113D._3a+ 悝 bC.【解析】 由向量a= (2,3),b= ( 1,2)，得na+nb= (2m_n,3nu2n),a 2b= (4 , 1).由na+nb与a2b共线，得2mn43m+ 2n1

2、12，故选 C.3 .已知两个非零向量2C.充要条件D.既不充分也不必要条件3【解析】由ab0,可得到 0,n，不能得到 0,n;而由 0,n，可以得到ab0.故选 B.【答案】 B4.已知向量a,b均为单位向量，若它们的夹角为60,则|a+ 3b|等于()A. 7 B. 10 C. 13 D . 412 2_【解析】依题意得ab= 2, Ia+ 3b| =a+ 9b+ 6ab= ”.;13,故选 C.【答案】 C5 .已知ABC是边长为 1 的等边三角形，则(EB-2BC (34CA=()D.- 6+#【解析】(菇一 2吧3处+4球)=3 鮎 疋-E盘】+4正忌-E盘 百=3菇 强WE12(

3、T-6 处二+ 4石密ffJ|C4|COS120D-8|5|CAcosl20D=3xlxlxi(5xp + 4xlxlxigxlxjx; -=-6-2 + 4 =-故选 B,【答案】B6如图所示，矩形ABCD勺对角线相交于点O, E为A0的中点，若DE=入AB+卩AD入，卩为实数)，贝 U 入A.132B.1122+ 卩=( )47.如图，在直角梯形ABCDK AB=2AD=2DC E为BC边上一点，BC= 3EQ F为AE的中点，则()1T1T2TA. 3AB-3ADB. 3AB-3AD2T1T1T2TC.AB+ ADD.- AB+AD33331解法二：BF=BAVAF=BA2AE=AB+2

4、ADV2 昭CE1T=AB+2ADV1 -T1-T1 =AB+2AD+4AB+6（CD DA AB2T1T=3A叫AD【答案】 C18.已知平面向量a,b,c满足|a| =|b| = |c| = 1，若ab= ，则（a+b） （2bc）的最小值为（）A. 2 B . 33 C . 1 D . 01【解析】由|a| = |b| = 1,ab=2，可得a,b=；，令OA=a,OB= b，以OA勺方向为x轴的正方向建5AB=6,AC= 3,N是边BC上的点，且BN=2NC,O为AABO的外心，则AN- AO勺值为（）【解析】由于航=涼,则於二摄+詠，取血的中点为為连接OEf由于 O为A.4BC的外心

5、，则肪jA=|2=|x6- = IS ,同理可得花_花=卍=靭匸学所以农 Ib =vriia#taa.；-AbAb Ab+ pt-Ab=18 + |x= 6 + 3=9,故选 D【答案】D10已知DEF的外接圆的圆心为Q半径R= 4,如果6U酣6F=0,且|6D= |6F，则向量巨F在FD方向 上的投影为（ ）A. 6 B . 6 C . 2 3 D . 2 _3【解析】由ODF6E+ DF=0 得，DO-6E+ 6FDO经过EF的中点，DOL EF连接OF|OF=丨3D= | DFf= 4,DOF为等边三角形，/ODF=60 . /DFE=30，且EF= 4Xsin60 x2= 4 3. 向

6、量EF在FD方向上的投影为 |EF cosEF, FD= 43cos150= 6，故选 B.【答案】 B11.已知平面向量a,b,c满足|a| = |b| = 1,a丄(a 2b), (c 2a) (cb) = 0，则|c|的最大值与最小立如图所示的平面直角坐标系，则a=OA=（1,0） ,b=SB=则(a+b) (2bc) = 2abac+ 2b2bc= 3 jcos0+一cos0+g,设c=OC=(cos0 ,sin0)(0w 02n),13sin022nr0+3，则A. 8 B . 10 C .18 D . 93,故选 B.9.已知ABC中,6值的和为()A. 0 B. 3 C. 2 D

7、. 721【解析】/a丄(a 2b)，二a(a 2b) = 0，即a= 2ab,又 |a| = |b| = 1，二ab= ?,a与b的夹角为60.设OA匕a,OB= b,OG= c,以O为坐标原点，3B勺方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，0& B；则a= 2，23,b= (1,0).设c= (x,y)，则c 2a= (x 1,yj3) ,cb= (x 1,y).又 (c 2a) (cb) = 0,. (x 1)2+y(y 3) = 0. 即(x- 1)2+ ”-半j=3,点C的轨迹是以点M1,3为圆心，C3为半径的圆.I 2 丿2_又 IC|= x2+y2表示圆M上的点与原

8、点O0，0)之间的距离，所以 IC|max= |OM+乎，IC|min= |OM右3- |c|max+|c|min=2|OM=2X=7,故选 D.【答案】D12.在等腰直角ABC中,ZABC=90,AB= BC= 2,M N为AC边上的两个动点(M N不与A,C重合),且满足 而N= ,2，则BM-N的取值范围为(【解析】不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面A.1,2C.|,2)7直角坐标系，如图所示，8则巳0,0) ,A(0,2),Q2,0)，线段AC的方程为x+y2= 0(0 x 2) 设M a,2 a),Na+1,1 a)(由题意可知

9、0a 1 - -16.在ABC中，点D在边AB上，且BD=DA设CB= a,CA= b,则CD=()解析：BD=?DABD=BACD= C聊BD= CB+3BA=C聊春CA- CB= 聊1CA= |a+ 3b，故选 B.23333333答案：B17.若两个非零向量a,b满足|a+ b| = |ab| = 2|b|，则向量a+b与a的夹角为（）A.JB.1 2代 3 卄 3bB. 2 13a+ 3b34C 5a+5bD.435a+5bC. 1 D 110 3PA= PB- PC= CB - PA/ CB且方向相同.2nCPD.5n6解析: |a+b| = |ab| , |a+b|2= |ab|2

10、,2222a+bab= 0.又 |a+b|= 2|b| , |a+b| = 4|b| , |a| = 3|b| , |a| =3|b| , cos =|a+b| a|2 2a+ab|a|a+b|a|2|b|a|2|b|LO-諮，故a+b与a的夹角为n.2 6答案： A18.P是厶ABC所在平面上的一点，满足PA+P聊PC=2AB,若SB=6,则厶PAB的面积为（）A. 2 B . 3C. 4 D . 8解析：PA PB+ PC=2AB=2(PB- PA,11SA ABCBC|CB&=-=3,二SAPAB=-= 2.SA PABAP3|PA故选 A.答案：A-9正五角星是一个非常优美的几

11、何图形，且与黄金分割有着密切的关系在如图所示的正五角星中，以A,B,C, D, E为顶点的多边形为正五边形，且兽仝丄.下列关系中正确的是（）2B.CQTP=5TSC.ES- AP=- BQD.AT+BQ=pCR- -RSPT：5 i-:5 _1i -解析：由题意，知BP- TS= TE TS=SE SE=AT=d_,所以SE=厂RS故A正确；CQF TP=PA- PT 讦 5+ 1 :- i15 一 1 5 一 1 =TA=2ST,故 B 错误；ES-AP=RCQG= RQ=2QB故 C 错误；因为AT+BQ= SD+RD2CR=RS= RD-sD若AT+ 鼻迢于CR成立，则SD=0,不合题意

12、，故 D 错误故选 A.答案：A解析：由 2AO= A聊AC可知O是BC的中点，即BCABC外接圆的直径，所以|OA= IOB= IOC,由题意 知|OA= |AB= 1,故AOA助等边三角形，所以/ABG=60 .所以向量BA在BC方向上的投影为|BAcos /ABC1=1XCOS60 =2.故选 A.20. ABC勺外接圆的圆心为O,半径为 1,2AO= AB+ ACS|OA= |AB，则向量BA在BC方向上的投影为（）21A.-2B.C. 2 D A.BPTS=S12答案：A21.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1 是八卦模型图，其平面图形记为图 2 中的正八边形ABCDEFGH2f_

13、其中OA=1，则给出下列结论：HDBF=0,OA OD=-:OBF OH=- 2OE|AH- FH| = 2- ,2.其中正确结论的个数为（）解析：正八边ABCDEFGH中，HD丄EF品茶 0,故正确；云 云=1心竽=-爭，故正 确；OB-OH=2药=迈0Ef故正确；AH-FH=AF- OF-OA,则扁】=1十 1 养山収晋二 2+迈，二&二也匚迈，故错误.综上，正确的结论为，故选 B答案：B22若等边三角形ABC的边长为 3,平面内一点M满足fM=1CB+ CA则AM-fB勺值为（A. 2 B . - I5C. I5D . - 2B0,0，13【答案】A23.已知向量a= (1,1)

14、 ,b= (2 ,x),若a+b与 3ab平行，贝 U 实数x的值是_.解析：因为a+b= (1,1) + (2,x) = (3,1 +x) , 3ab= 3(1,1) (2,x) = (1,3 x) ,a+b与 3ab平行,所以 3(3 x) = 1 +x,解得x= 2.答案：224若非零向量a,b满足|b| =羽|a| ,若(a+2b)丄(3at b) ,a与b的夹角等于-4,则实数t的值为_ab22-2,故ab= |a| .由(a+ 2b)丄(3atb)可得 3a2|a|22222tab+ 6ab 2tb= 0,即 3|a| + (6 1)|a| 4t|a| = 0 ,又a为非零向量，所

15、以 |a|丰0,则有 3 + 69t4t=0,解得t= 5.n25.已知非零向量a,b满足ab= 0 , |a+b| =11a| ,若a+b与a-b的夹角为p,则t的值为nn解析：由a与b的夹角等于4可得 cos4=ab|a|b|CM=+1(3,0) = 2 ,OM=o(+CM=1乎 X、3= 2.故选 A.MB= OB- OM= 2, AM- MB= 1X1422解析：因为ab= 0,所以(a+b) = (ab),即 |a+b| = |ab|.又|a+b| =t|a| ,所以 |ab| = |a+b|abn|a| |b|1=co sn3 ,整理得|t2|a|2|=-,即(2 因为t0 ,所以

16、t=答案：23326.在四边形ABCD中,AB= DC P为CD上一点，已知|AB= 8, |AD= 5,ABf AD勺夹角为11 - -亦,CF= 3PD,则AF- BF=解析：AB= DC CP=3PD二AP= AM DP= AD+4AB, BP= BO CP= AD-4AB又 |AB= 8 ,111120 AD- AB=8X5r= 22 ,AAP- BF=IADAB卜AD-：AB=|AD20I4丿 i 4 丿202-：ADAB-16|AB2= 52- 11-2161f.na+b=t|a|.因为a+b与ab的夹角为专,所以下匸ab|t2|a|29t2| a|24t2)|a|2= 2|b|2

17、.又 |a+b| =t|a| ,平方得 |a|2+ |b|2=t2|a|2,所以 |a|2+2=12|a|2,解得t2= 3.0，且 cos0=|AD=5,cos01532点D在线段BC的延长线上，且E3C=3CD点0在线段CD上（与点C D不重合），若AO xXB x的取值范围是_.设80入BC,其中 1入3,则有 心AB+0= AB+入BC= XB+入（AC-云B= （1 入）屁3入AC又AO=xAB（1 x）AC且应AC不共线，于是有x= 1入，由入 J , 3，知x 3 0i，即x的取值 范围是 i 3, 0 .【答案】3,028.已知在直角梯形ABCD,AB= AD=2CD=2,AB/ CD/ADC=90，若点M在线段AC上，贝U|AB-AD的最小值为_