正切函数的图像及性质

1、正切函数的图像及性质正切函数的图像及性质西工大启迪中学西工大启迪中学 何永平何永平y021-1223y=sinxy= sin(/2 +x) 作作 的图像的图像.xxycos)2sin(x-/20/23/22/2 +x0/23/225/2y=sinx-1010-10y=sin(/2 +x)010-1012x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 余弦函数的图象余弦函数的图象(余弦曲线余弦曲线) 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R)增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12

2、k , 2k + , k Zyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x 余弦函数y=cosx, xR的性质定义域 （-，+）值域 -1，1奇偶性 偶函数 图象关于y轴对称周期性 T=2k 最小正周期为2单调性 x2k, +2k(kz)递减x-+2k, 2k(kz)递增最值x=2k-(kz)时，y小=-1x=2k (kz)时，y大=1对称对称轴是直线： x=k (kz)对称中心是点：(k+/2,0) (kz) 函函 数数 性性 质质y= sinx (kz)y= cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性

3、对称中心对称中心对称轴对称轴x Rx R-1,1-1,1x= 2k时ymax=1x= 2k+ 时 ymin=-1周期为T=2周期为T=2奇偶在x2k， 2k+ 上都是增函数 , 在x2k- ， 2k 上都是减函数 。(k,0)x = kx= 2k+时ymax=1x=2k- 时 ymin=-122在x2k- , 2k+ 上都是增函数 , 在x2k+ ，2k+ 上都是减函数.22232(k+ ,0)2x = k+2回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的图像的? ? xysin 尝试尝试: :用正切线作正切函数图像用正切线作正切函数图像: :回忆：单位圆中正、余

4、弦的定义，那么正切回忆：单位圆中正、余弦的定义，那么正切 函数如何定义？什么又叫做三角函数？函数如何定义？什么又叫做三角函数？xyO18328OA48483正切函数正切函数 是否为周期函数？是否为周期函数？ xytan xfxxxxxxxf tancossincossintan 是周期函数，是周期函数， 是它的一个周期是它的一个周期 xytan 画出函数画出函数 ， 的图像的图像: : xytankR,xx2探究探究:xOy11223222341y1y 的图像的图像: : ,tan xy kR,xx2xytan 的图像是利用平移正切线得到的，当获得的图像是利用平移正切线得到的，当获得 上的图像

5、后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。上的图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 22 ， 结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性奇偶性和单调性 正切函数的性质：正切函数的性质： 定义域：定义域： Zkkxx， 2 值域：值域： R 当当 小于小于 （ ）且无限接近于）且无限接近于 时，时， x k 2Z k k 2 xtanxOy11223222341y1yx 当当 大于大于 ( )( )且无限接近于且无限接近于 时，时， Z k xtan k 2 k 2 周期性周期性: : 正切函数

6、是周期函数，周期是正切函数是周期函数，周期是 奇偶性：奇偶性： 任意任意 ，都有，都有 ， 正切函数是奇函数正切函数是奇函数 xxtantan )(22Zkkkx ，O奇函数正切曲线关于原点奇函数正切曲线关于原点 对称对称 单调性单调性: : )(22Zkkkx ， 正切函数在每个开区间正切函数在每个开区间 内都是增内都是增函数函数 正切函数的性质正切函数的性质定义域定义域值值 域域R奇偶性奇偶性奇奇周期性周期性周期：周期： 最小正周期：最小正周期：单调性单调性在在R上没有单调性上没有单调性max & min没有最值没有最值,2zkkxx k 上单调增上单调增在在)2,2( kk 例例

7、1 1 求函数求函数 的定义域。的定义域。tan()4yx解 令 ，那么函数y=tanz的定义域为4zx|,2zzR zk kZ42xk即4xk所以函数 的定义域为tan()4yx|,4xxR xk kZ例例2 2 求函数求函数 的定义域值域的定义域值域3tanyx解 3tan0 xtan3x(),023kxkkZy,(),0,23kkkZ定 义 域 为 (值 域 为 例3.不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小.）（与513tan)411tan(）（）（解：43tan411tan)53tan()513tan(33312452又）是增函数，（，函数2123tanxxy)513tan()43tan(1113tantan45即（）（）例4.求下列函数的周期.)42tan(3xy分析：利用周期函数定义及正切函数最小正周期为来解决.）（）（解：42tan3xxf)42tan(3x4)2(2tan3x)2(xf2T周期1.x观察正切曲线，写出满足下列条件的 的值的范围.(1)sin0,(2)cos0,(3)tan0 xxx练习练习(3) (,),()2xkkkZ (1) (2,22 ),()xkkkZ解 (2) 2,2,()22xkkkZ.3tan. 2的定义域