第3章力矩与平面力偶理论

1、理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论第一节第一节 力对点之矩的概念及计算力对点之矩的概念及计算第二节第二节 力偶及平面力偶系力偶及平面力偶系理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论（1）用扳手拧螺母；（2）开门，关门。一、力对点之矩一、力对点之矩由上图知，力F使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积Fd来度量力的转动效应。该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号MO(F )表示

2、。第一节第一节 力矩的概念和计算力对刚体的运动效应包括移动和转动两种，其中移动由力矢来度量，而转动由力矩（或力偶）来度量。 lAdoF F 理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论即 力矩的正负号：力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。 注意到:力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量 (平面问题)。FdFMO)(O点称为力矩的中心，简称矩心矩心；O点到力F作用线的垂直距离d,称为力臂力臂。力矩的单位：国际制 ， 工程制 公斤力米mNmkNmkg理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力

3、偶理论力矩与平面力偶理论（3 3）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。力矩的性质：力矩的性质：（1 1）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而 改变；改变；（2 2）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果 一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此 力的作用线必通过该点；力的作用线必通过该点；理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论二、合力矩定理二、合力矩定理

4、)()(FMFMORO证明：由图得)sin()(FrFdFMO)cossincos(sinFr)sincoscossinrFrF而yrxrFFFFyxsin,cossin,cos合力矩定理：平面汇交系的合力对于平面内任一点之矩等于力合力矩定理：平面汇交系的合力对于平面内任一点之矩等于力系中所有各分力在同一点之矩的代数和。系中所有各分力在同一点之矩的代数和。理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论则xyOyFxFFM)( )a 若作用在 A 点上的是一个汇交力系，则可将每个力对O 点之矩相加，有 ( b )xyOFyFxFM)( c )xyRxRyRFy

5、FxyFxFFM)(0 由式（ a ），该汇交力系的合力 ，它对矩心的矩FFR比较（ b ）、（ c ）两式有)()(FMFMoRo理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论一、力偶及其性质一、力偶及其性质例：（1）水龙头；（2）方向盘；（3）丝锥。力偶作用面力偶臂dFF1. 1. 力偶的概念力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。力偶。并记作（F，F ）。第二节第二节 力偶及平面力偶系的概念力偶及平面力偶系的概念理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论理论力学电子教程理论力学电子教程第三章

6、第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论2. 力偶的性质力偶的性质（1）组成力偶的两个力在任何坐标轴上的投影等于零；）组成力偶的两个力在任何坐标轴上的投影等于零；（2）力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力，）力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力， 即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平平 衡；衡；（3）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，）力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应， 它可以也只能改变物体的转动状态。它可以也只能改变物体的转动状态。3.

7、力偶矩力偶矩 其转动效应其转动效应-力对点之矩，即用力偶中的两个力力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。（推导）对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。（推导）或( ,)M F FFd FdM理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论4. 力偶的三要素力偶的三要素（3）力偶的作用面。）力偶的作用面。二、平面力偶等效定理二、平面力偶等效定理定理：定理：在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大在同一平面内的两个力偶，如它们的力偶矩的大 小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。（1）力偶矩的大小

8、；）力偶矩的大小；（2）力偶的方向；）力偶的方向；例如：方向盘例如：方向盘) ,() ,(PPFFMFFMPFPFFFABCD理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论推论推论1 1 力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚 体的转动效应体的转动效应两个重要推论：两个重要推论：如下图如下图( (a) )、( (b) )所示。所示。( )ABaM( )ABCbM理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论推论推论2 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任在保持力偶矩

9、的大小和转向不变的条件下，可以任 意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚 体的转动效应体的转动效应如下图如下图( (a) )、( (b) )所示。所示。B( )Aad2F1F( )BAbD1F2F其中DFdF21理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论1.1.平面力偶系的合成平面力偶系的合成(1) (1) 两个力偶的情况两个力偶的情况平面力偶系平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。三、平面力偶系的合成与平衡三、平面力偶系的合成与平衡理论力学电子教程理论

10、力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论(2)(2)任意个力偶的情况任意个力偶的情况 , 或 nMMMM21MM这样得到新的力偶这样得到新的力偶( (FR , , FR), ), 则则212121)(MMdFdFdFFFdMPPPP1M2M3M理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论2.2.平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即力偶矩的代数和等于零，即利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。利用这个平衡条件，可以求解一个未知量

11、。 0M理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论例例3-1两力偶作用在板上，尺寸如图，已知两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1= =F2=1.5=1.5kN ，F3= =F4=1 =1 kN, ,求作用在板上的合力偶矩。求作用在板上的合力偶矩。负号表明转向为顺时针。负号表明转向为顺时针。则则18. 03FM08. 01 F300N m 由式由式21MMM【解】【解】180 mm80 mmF4F3F2F1理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论例例3-2长为长为4 4m的简支梁的两端的简支梁的两端A、B处作用有

12、二个力偶矩，处作用有二个力偶矩，各为各为M1 11616N m, ,M2 2=4=4N m。求求A、B支座的约束反支座的约束反力。力。A604Bm1M2M理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论故故mN6BAFF解得解得mN6BF得得060cos021lFMMBFA 、FB为正值，说明图中所示为正值，说明图中所示FA 、FB 的指向正确的指向正确。作作AB梁的受力图，如图（梁的受力图，如图（b b）所示。所示。AB梁上作用有二梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在个力偶组成的平面力偶系，在A、B处的约束反力也必处的约束反力也必须组成一个同平面的力偶须组

13、成一个同平面的力偶与与之平衡。之平衡。【解】【解】由平衡方程由平衡方程0MBF1M2MAFdAB理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r， =30，不计杆重，试求M1和M2间的关系。BM1M2A例题 3-3理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。DM2FDFBAM1FOFABA解：解：分别取杆OA和DB为研究对象。

14、因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。因为所以求得BODM2A例题 3-3理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论例例3-43-4如图所示，机构如图所示，机构OABO1 1，在图示位置平衡。已知：，在图示位置平衡。已知：OA400mm，BO1600mm，作用在作用在OA上的力偶矩之大上的力偶矩之大小小M11N m。试求力偶矩试求力偶矩M2的大小和杆的大小和杆AB所受的力所受的力F。各杆的重量及各处摩擦均不计。各杆的重量及各处摩擦均不计。理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章

15、力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论ABFABFBAOF030AO1MABFABF1OFB1O2M分析分析OA杆，有杆，有0)(FMO030sin10MAOFABN5ABF分析分析BO1杆，有杆，有0, 0)(12BOFMFMABOmN32M 作作AB、AO及及BO1杆的受杆的受力图，力图，AB杆为二力构件杆为二力构件【解】【解】理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论1 1、是非题、是非题（1 1）平面汇交力系平衡的充分与必要几何条件是：力多边）平面汇交力系平衡的充分与必要几何条件是：力多边 形自行封闭。（形自行封闭。（ ）（2 2）力在某一固定平面

16、上的投影是一个代数量。（）力在某一固定平面上的投影是一个代数量。（ ）（3 3）两个力）两个力F1、F2大小相等，则它们在同一轴上的投影也大小相等，则它们在同一轴上的投影也 相等。（相等。（ ）【分析与讨论分析与讨论】 理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论2 2、如图所示两个力三角形中三个力的关系是否一样？请写出如图所示两个力三角形中三个力的关系是否一样？请写出 矢量表达式。矢量表达式。2F3Fa（ ）2F3F1F1F（b）理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论3 3、如图所示盘由如图所示盘由O O点处的

17、轴承支持，在力偶点处的轴承支持，在力偶M和力和力F 的作用的作用 下处于平衡。能不能说力偶下处于平衡。能不能说力偶M被力被力F所平衡？为什么？所平衡？为什么？OMF理论力学电子教程理论力学电子教程第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论4 4、如图所示两种机构。不计构件自重及摩擦，且如图所示两种机构。不计构件自重及摩擦，且 45450 0，如，如 在杆在杆AB上作用有矩为上作用有矩为M1 1的力偶。上述两种情况下平衡时，的力偶。上述两种情况下平衡时， A、C处的约束反力和杆处的约束反力和杆CD上作用的力偶是否相同？上作用的力偶是否相同？2MCBEDA1M( )a1M2MCBEDA( b )