函数概念与基本初等函数一轮复习

1、考纲导读（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念，会求一些简单函数的定义域和值域2 理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表 示简单的函数。3 了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4 理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会 判断简单的函数奇偶性。5 理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值6 会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2 理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。3 理解指数函数的概念，会求与指

2、数函数性质有关的问题。4 知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1 理解对数的概念及其运算性质， 知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数； 了解对数在简化运算中的作用。2 理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题3 知道对数函数是一类重要的函数模型4 了解指数函数 与对数函数互为反函数（）。（四）幕函数1了解幕函数的概念。2 结合函数 的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2 理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数（六）函数模型及其应用

3、1 了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等 不同函数类型增长的含义。2 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函 数模型）的广泛应用。3 能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。第二章函数概念与基本初等函数I知识网络根据考试大纲的要求，结合 2009 年高考的命题情况，我们可以预测2010 年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的 有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现； 二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语

4、言和符号为表现形式，结合简 易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程， 包括解决几何问题在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函 数试题，而且常考常新以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图 象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应 的函数模型并用来解决问题，是考试的热点考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论

5、的基本数学思想第 1 课时 函数及其表示基础过关一、映射1 映射：设A B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对于集合 A 中的_ 元素，在集合 B 中都有_ 元素和它对应， 这样的对应叫做 _ 到_的映射，记作_._2 .象与原象：如果f:ATB 是一个 A 到 B 的映射，那么和 A 中的元素a对应的_ 叫做象，_ 叫做原象。二、函数1.定义：设 A、B 是_,f:ATB 是从 A 至 U B 的一个映射，则映射f:ATB 叫做 A 至 U B的_ ，记作_ ._2函数的三要素为 _、_ 、_，两个函数当且仅当 _分别相同时，二者才能称为同一函数。3 函数的表示法有_ 、_ 、_。典型例题

6、例 1.下列各组函数中，表示同一函数的是()A.y -1, y =-B. y= x-忙 x 亠 1, y = . x2-1xC. y=x, y=VZD.y=|x|, y=(Vx)2解：变式训练 1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 ()2A.y= -. x)2U 川-D.y=2log2xx解：c例 2.给出下列两个条件： (1) f( .X+1)=x+2 .X ;(3)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.解：(1 )令 t= .、X+1, t 1,则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2- 1,x 1

7、, (2 )设 f(x)=ax2+l：+c：八.讥 f(x+2)=a(x+2)2+h：二-2； +(：, 则 f(x+2)-! (x) -1 虺-h-牙:变式训练 2:(1)已知 f ( -1) =lgx，求 f (x);x(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f (x+1) -2f (x-1 ) =2x+17，求 f(x)；(3)已知 f (x)满足 2f( x) +f(1) =3x，求 f (x) Ix解: (1)令2+1=t，则 x=2，xt -1 f (t) =lg 2 f ( x) =|gZzl+E，t 1x-1(2 )设 f (x) =ax+b,则3f (x+1) -2f (x

8、-1 ) =3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17 , a=2, b=7,故 f (x)(3)2f(x)+f(丄)=3x,I；x1 1- -XIXIZ/IZ/IX X4a =44a +2b =2，又 f(0)=3=c=3, f(x)=x把中的 x 换成丄，得 2f (丄)+f (x)=-咗xxx1X2 -得 3f ( x) =6x- - ,f( x) =2x-.xx例 3.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a BC=a / BAD=45，作直线 MNLAD 交 AD 于 M 交折线ABCD 于 N,记 AM=x 试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积

9、 y 表示为 x 的函数，并写出函数的定义域|解：作 BHL AD H 为垂足，CGL AD G 为垂足，依题意，则有 AH=2, AG=|(lh(1 )当 M 位于点 H 的左侧时，N AB由于 AM=x /BAIJ=45U.乂八=小皿=丄 x2(0 x0,x=0,x v 0 段上的图象，如图所示，作法略(2) f(1)=12=1,f(-1)=-* =1,ff(_1)=f(1)=1.小结归纳1. 了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性.2.函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法(或凑配法)、解方程组法.使用换元法时，要注意研究定义域的变化.3.在简单实际问题中建立函数式， 首先要

10、选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式, 还要注意定义域.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示.第 2 课时函数的定义域和值域2基础过关一、 定义域：1 函数的定义域就是使函数式 _ 的集合2 .常见的三种题型确定定义域：1已知函数的解析式，就是2复合函数fg(x)的有关定义域，就要保证内函数g(x)的_域是外函数f(x)的一域3实际应用问题的定义域，就是要使得 _ 有意义的自变量的取值集合二、 值域：1.函数y=f(x)中，与自变量x的值_ 的集合2.常见函数的值域求法，就是优先考虑 _ ，取决于_，常用的方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数

11、形法；判别式法；有界性法；换元法(又分为 _法和_法)例如： 形如y=匚，可采用法；y= 竺_2(x = _2)，可采用法或2+x23X+23法；y=af(x) +bf(x) +c,可采用_ 法；y=x.、1-x，可采用_法;y=xd_x2，可采用 _ 法；y=sinx可采用_ 法等2 cosx典型例题例 1.求下列函数的定义域：(1)y=(x_L1)(2)y=一15 _x2；y-.x一11x| /Jx2一3解：(1 )由题意得/也定。,化简得/_1,|x|-x：0|x xf即/厂故函数的定义域为x|xv0 且XM-1.x 0(2 小题意可得/豐0解得严 -x王0J兰x“5故函数的定义域为x|

12、-.5 x0，得J3VXV4,|x -1 0jx =1故所求函数的定义域为(-3 , 1) U 门，门x 1，二 x1,故函数的定义域为1,+8)|(2)y=2xlg(4x 3)+(5x-4)0;(3)y=25x2 1肩加厂心5|5，-+二2)P.例 2.设函数 y=f(x)的定义域为0, 1 ,求下列函数的定义域|(2)由4x +3尹，得x5x -4 .-03x=，：.函数的定义域为_?,_2424(4， 二).2 55-a, 1+a |变式训练 2:若函数 f(x)的定义域是0, 1 ,则 f(x+a)-f(x -a)(0vav丄)2的定义域是()A.解：例 3.1+a解:B求下列函数的值

13、域:2x -x(D y=x x(1)方法(2)y=x-1 2x :(3)y=ex-1(配方法)(3 )由/ 225 _x _0cosx . 05,得2k二一守：x：2k-才(k. Z)借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为(1)y=f(3x)；(2)y=f(dd I(3)y=f(x-)f(x_-)!(4)y=f(x+a)+f(x-解:(1) 0w3xw1,故 0wxw，乍-门；hi的定义域为0, - : |3-解得定义域为1, +；.仿(1)(3)由条件,y 的定义域是 f(x -1)与(x-1)定义域的交集I33列出不等式组10兰x + 13亠10兰x 131以-兰x兰一33二丄空虽1

14、433c 兰X 故 y=f(x+f(x的定义域为囂(4)由条件得虫空勺一a,讨论:a jx工1亠a当当r丿a旨一a,1 -a兰1七，a兰3,即即 owaw1时，定义域为a,1-a :；2Ty=1 2，而xX=(x -)2,xx+124 42一0 0. -3 y 1.Ty函数的值域为-1，1. (2)方法3-3故y0,令 x=sin ,则有 y=|sin - cos - |= |sin22故函数值域为0,丄2方法二-y=|x|*1 X2F4+x2=、-(X2丄)224 0 1),求 a、b 的值 I2解：/f ( x)=丄(x-1)2+a-丄.2 2值域为閉.(单调性法)定义域，函数 y=x,y

15、=-.1 _2x均在:,2上递增,方法二(换元法)x=01(t+1 )2+1 0) 22(3 )由 y=A 得,ex=J.e北1 y函数的值域为y|-1 y 0,即甘。,解得-1y(1)y=2x5(2)y=|x|1 x2 R,且沪-丄2函数的值域为其对称轴为 x=1，即1, b为 f (x)的单调递增区间./. f ( X)min=f ( 1) =a-丄=1212f (x)max=f (b) =_b-b+a=b2f3由解得岂b =3.变式训练 4:已知函数 f(x)=x -lax+2a-6 (xFR).(1)求函数的值域为0, +R)时的 a 的值；)若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-

16、a|a+3|的值域|解：(1)函数的值域为0,/ =16a2-4(2a+6)=0 = 2a2-a- 3=0. a= -1 或 a=- |2(2)对一切 x R,函数值均非负， =8(2a2-a- 3) WO = -1wa 乩2 f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+ -)2+17( 1,3L242 _次函数 f(a)在1,3 I上单调递减， f a)min=f()=- 9 , f ( a)max=f ( -1 ) =4,2_24 f(a)的值域为_19,4IL4小结归纳1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式(如例1)，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解

17、析式(如例 2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域； 三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界 性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外，应根据问题的不同特点，综合 而灵活地选择方法第 3 课时函数的单调性基础过关一、 单调性1 定义：如果函数y=f(x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值X1、x2,当X1、X2时，都有 _ ，则称f(X)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个_;都有_，则称f(x)在这个区间上是减函数，而这个区间

18、称函数的一个若函数f(X)在整个定义域 I 内只有唯一的一个单调区间，则f(X)称为2 判断单调性的方法：(1)_ 定义法，其步骤为：:.导数法，若函数y=f(x)在定义域内的某个区间上可导，若_ ，则f(x)在这个区间上是增函数；若 _ ，则f(x)在这个区间上是减函数.二、 单调性的有关结论1._若f(x),g(x)均为增(减)函数，则f(x) +g(x)_ 函数；2 .若f(x)为增(减)函数，则f(x)为_;3 互为反函数的两个函数有 _ 的单调性；4.复合函数y=fg(x)是定义在 M 上的函数，若f(x)与 g(x)的单调相同，贝 Ufg(x)为_ ，若f(x), g(x)的单调性

19、相反，则fg(x)为5 奇函数在其对称区间上的单调性 _ ，偶函数在其对称区间上的单调性.典型例题例 1.已知函数 f(x)=ax+x2(a 1)，证明：函数 f(x)在(-1,+ 8)上为增函数x +1证明 方法一 任取 X1,X2 (-1,+8), 不妨设 X1VX2,贝yX2-X1 0,ax= 1 且ax1 0,.ax2_ax1“(一1).0，又 x1+1 0,x2+1 0,X2-2X1-2(X2-2)(X|1)-(X1-2)(X21)3(X2-Xj 0X2-1X11(X11)(X2 1)(X11)(X21)于是 f(x2)-f(x1)=aX2_ax1+2X2田故函数 f(x)在(-1,

20、+8)上为增函数方法二 f(x)=aX+1-虫 (a 1),X +1求导数得f(x)=axIn a+社， a 1,.当 x -1 时，axl na 0,32 0,(x41)2(x北)2f(x) 0 在(-1 , +8)上恒成立，则 f(x)在(-1,+8)上为增函数. 方法三/ a 1, y=ax为增函数，又 y=U ，在(-1 , +8)上也是增函数.X也X北 y=aX+=2在(-1 , +8)上为增函数x -+1变式训练 1:讨论函数 f (x) =x+a(a0)的单调性.X解：方法一 显然 f (x)为奇函数，所以先讨论函数f (幻在(0, +8)上的单调性,设 X1 X20,则f(x1

21、)-f(X2) = ( X1+ ) - ( X2+ ) =(x1-X2) ( 1-).X1X2X1X2当 0vX2VX1W. a 时， 1,X/2则 f (X1) -f (X2)v0,即 f(x1)Vf(x2),故 f (X)在(0，-. a 上是减函数.当 X1 X2a时，0VV1,贝Vf ( X1) -f (X2) 0,即 f(x1) f(x2),故 f(x)在.a , +8)上是增函数. f (x)-Jl-l数 0,X1亠1 f ( X)分别在(-8,-虫、虫，+4 上为增函数：f(x)分别在-ja,0)、( o,昶上为减函数.方法二 由f(x)=l-二=0 可得 x= , ax当 x庐

22、 或 xv-ja时，f(X) o.f(x)分别在(ya,+s)、(-g,-a上是增函数.同理 0vxv, a或-、.avxv0 时，f (x)v0即 f (x)分别在(0, /a 、:- F, 0)上是减函数例 2.判断函数 f(x)=, x2-1在定义域上的单调性解：函数的定义域为x|x 1,则 f(x)=Jx2一1,可分解成两个简单函数f(x)=、-U(x),u(x)=X2-1 的形式当 x 1 时，u(x)为增函数，、,u(x)为增函数 f (x) =.X2-1在1 , +g)上为增函数当 XW-1 时，U (x)为减函数，. u(x)为减函数， f(x)= , x2-1在(-g,-1

23、上为减函数2变式训练 2:求函数yiog1(4x-x )的单调区间2解：由4X-X20，得函数的定义域是(0，4) 令 t=4x-x2，则 y=log1t./ t=4x-x2=- (x-2 )2+4，. t=4x-x2的单调减区间是2， 4)，增区间是(0，2 又 y=log11 在(0，+g)上是减函数，22函数 y=log(4x-x )的单调减区间是(0，2，单调增区间是2， 4).2例 3.求卜列求啟耳慣垃=说域：(1)y=4- 一3亠2x x2; (2)y=x+ ;(3)y=x2T (2x)2亠4.x2 2 2解：(1)由 3+2x-x 0 得函数定义域为-1，3，又 t=3+2x-x

24、 =4-(x-1). t 0, 4，/ 0, 2，从而，当 x=1 时，ymin=2,当 x=-1 或 x=3 时，yma=4.故值域为2, 4 (2)方法一 函数 y=x+是定义域为x|x 工 0上的奇函数，故其图象关于原点对称，故只讨论xx0 时，即可知 xv0 时的最值.当 x 0 时,y=x+ - 2 .x4=4,等号当且仅当 x=2 时取得.当 xv0 时，y 2 时，f(X)递增，当-2VXV0 或 0 VXV2 时，f(X)递减.故 x=-2 时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2 时，f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为(-4U4, +R),无最大(小)值.

25、(3 厂恪齿数忒娈为 y=、(x _0)2(0 _1)2 . (x _2)2 (0 2)2,可视为动点M( x,0 )与定点 A( 0,1)、B (2, -2 )距离之和，连结AB,则直线 AB 与 x 轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点ymin=|AB|=, (0_2)2-(12)2= ,13，可求得 X=-|时，ymin=J3.显然无最大值.故值域为,13, +8).变式训练 3:在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf (x) =f (x+1) -f (x).某公司每 月最多生产 100 台报警系统装置，生产 x (x 0)台的收入函数为 R( x) =3 000

26、x-20 x2(单位：元), 其成本函数为 C (x) =500 x+4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差.(1)求利润函数 P (x)及边际利润函数 MP( x(2)利润函数 P (x)与边际利润函数MP(x甘宀!.；冇可 仃屁对亡解：(1) P (x) =R (x) -C (x) = ( 3 000X-20X ) - (500 x+4 000 ) =-20 x +2 500 x-4 000(x 1, 100且 x N,)22MP(x) =P (x+1) -P (x) =-20 (x+1) +2 500 (x+1) -4 000- (-20 x +2 500 x-4 000 )=2

27、480-40X(x 1 , 100且 x N).(2) P (x) =-20(x-I25)2+74 125，当 x=62 或 63 时，P(x)max=74 120 (元).2因为 MP(x) =2 480-40X 是减函数，所以当 x=1 时，MP(x)ma=2 440(元).因此，利润函数 P (x)与边际利润函数 MP(x)不具有相同的最大值.例 4. (2009 广西河池模拟)已知定义在区间(0, +8)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2)，且X2当 x 1 时，f(x)V0.(1) 求 f(1) -Jtit(2) 判断 f(x :(3 )若 f(3)=-1,解不等

28、式 f(|x|)V-2.解：(1) 令 X1=X2 0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.(2)任取 X1,x2 (0,+8)，且 X1X2,则 兰 1,由于当 x 1 时，f(x)V0,X2所以 f Q)V0,即 f(x1)-f(x2)V0,因此 f(x1)Vf(x2),X2所以函数 f(x)在区间(0,+8)上是单调递减函数.(3 )由 f( 4=f(x1)-f(x2)得 f(9)=f(9)-f(3), 而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2.X23由于函数 f(x)在区间(0,+ 3 上兄耳讦违城附数由 f(|x|)Vf(9),得|x| 9, x 9 或

29、xV-9.因此不等式的解集为x|x 9 或 xV-9.变式训练 4：函数 f(x)对任意的 a、b R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当 x 0 时，f(x) 1.(1) 求证：f(x)是 R 二|(2) 若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)v3.解：(1)设XI,X2R,且 XiVX2,则 X2-xi 0, f(x2-xi) 1.f(x2)-f(Xi)=f(x2-Xi)+xi)-f(xi)=f(x2-Xi)+f(xi)-1-f(xi)=f(x2-Xi)-1 0. f (X2) f(xi).即 f(x)是 R 上的增函数.(2)Tf(4)=f(2+2)=f(2)

30、+f(2)-仁 5- f (2) =3,原不等式可化为f(3m2-m-2)vf(2),/ f(x)是 R 上的增函数， 3mi-m-2v2,解得-1vmvf,故解集为(-1,上).-33小结归纳1证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法有：(1)定义法.其过程是：作差一一变形判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2)求导法.其过程是：求导一一判断导函数的符号一一下结论2确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法(即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间)；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.3 含有参量的函数的单调性问题，

31、可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是 给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参 数的取值范围第 4 课时函数的奇偶性基础过关1. 奇偶性：1定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有_ ，则称f(x)为奇函数；若_，则称f(x)为偶函数.如果函数f(x)不具有上述性质，则f(X)不具有如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)_._2简单性质：1)_ 图象的对称性质： 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 _ 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 _ 对称.2)_ 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 _对称.2.

32、与函数周期有关的结论：1已知条件中如果出现f(xa) - -f (x)、或f(x，a)f(x) = m(a、m均为非零常数，a a0),都可以得出f (x)的周期为_；2y二f (x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称或y二f (x)的图象关于直线x =a,x =b轴对称，均可以得到f (x)周期_典型例题2例 1.判断下列函数的奇偶性(1 ) f(x)=X2-1 , 1 -x ;f(x)=log2(x+,x2 1) (x R);(3) f(x)=lg|x-2|.22解：(1)vx -1 0 且 1-x 0, x= 1,即 f(x)的定义域是-1 , 1. f( 1)=0, f(-1)

33、=0,f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故 f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)方法一易知 f(x)的定义域为 R,又 f(-x)=log2:-x+,(321: =iog21=-log2(x+ ,x21)=-f(x),X +Jx2+1 f(x)是奇函数方法二易知 f(x)的定义域为 R, 又Tf (-x) +f (x) =log2 -x+, (_x)2叮 +log2(x+ . x1)=log21=0,即 f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数(3)由 |x-2| 0，得 x丰2. f (x)的定义域x|x丰2关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.变式训练 1 :(1) f(

34、x)=(x-2) .2 x! 2 -x2(2) f (x)=巴：| x2-2| -2x+2(x J),(3)f (x)=o(|x|兰1),-x 2 (x .1).解：(1)由乙上 0，得定义域为-2 , 2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数2x；2(2)由XO得定义域为(-1,0)U(0,1).|x -2 | -2 H0.2 2这时 f (x) =lg(1x)一(X2-2) -2x2 f (-x ) =-lgj(：x)2L_lg(12x)二f(x), f (x)为偶函数.(-x)x(3) xv-1 时，f(x) =x+2, -x 1, f (-x ) =- (-x ) +2=x+2=

35、f (x).x 1 时，f(x) =-x+2 , -xv-1 , f(-x)=x+2=f(x).-1 x 1 时，f(x) =0, -1 -x 1,f (-x ) =0=f (x).对定义域内的每个x 都有 f (-X ) =f (x).因此 f(x)是偶函数.例 2 已知函数 f(x),当 x,y R 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).(1) 求证：f(x)(2) 如果 x R+, f (x)v0,并且 f(1)=-,试求 f(x)在区间-2 , 6上的最值.=0!(1)证明：函数定义域为 R,其定义域关于原点对称 / f (x+y) =f (x) +f (y),令 y=-x, f

36、(O)=f(x)+f(-x). 令 x=y=O, f(0)=f(0)+f(0), 得 f(0)=0. f (x) +f (-x ) =0,得 f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数.(2)解：方法一 设 x,y R+,vf (x+y) =f (x) +f (y f (x+y) -f (x) =f (y) .,x Ff, f (x) 0, f(x+y)-f(x) 0, f(x+y) x, 二 f(x)在(0, +s)上是减函数.又Tf (x)为奇函数，f (0) f (x)在(-g，+a)上是减函数. f (-2 )为最大值，f(6)为最小值.1丄， f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1

37、,f(6)=2f(3)=22所求 f(x)在区间-2 , 6上的最大值为 1，最小值为-3. 方法二 设 X1 0, f(x2-x1) 0. f(x2)-f(x1) 0 时，-x 0) . f(x)=-xlg(2_x)(x：.0),_xlg(2+x)(x启0).即 f(x)=-xlg(2+|x|) (x R).例 3 已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x).(1) 求证：f(x)(2) 若 f(x)为奇函数，且当 0Wxw1 时，f(x)=丄 x,求使 f(x)=-在0,22数.(1) 证明：/ f (x+2) =-f (x)?f (x+4) =-f (x+2) =

38、- -f (x) =f (x),f (x)是以 4 为周期的周期函数.(2) 解： 当 0wxw1 时，f(x)= -x,211设-1wxw0,则 0w-Xw1, f ( -X ) = - ( -X ) =- - X.求 f(x)的解析式.2 009 上的所有 x 的个Tf(x)是奇函数， f (-X ) =-f (X)-f(X)=-1X,I卩 f(x)=-X.2 2故 f(x)=1x(-1wxw1)2又设 1 x 3,则-1 x-2 a 时，函数 f(x)=x +x-a+1=(x+ - ) -a+ -,24a -丄，故函数 f(x)在a, +a)上单调递增，从而函数2最小值为 f(a)=a2

39、+1.综上得，当-1waw1时，函数 f(x)的最小值为 a2+1.2 2小结归纳1 .奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断证明)函数是否具有奇偶性.如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对 非零实数a与 f(x-2)=丄(x-2),2又：f (x-2 ) =-f (2-x ) =-f (-x ) +2) =- -f (-x ) =-f (x),-f(x)=1(心1f(x)=- (x-2) (10).性质：1(na)a;2当n为奇数时，：an=a;当n为偶数时，疳z

40、,_=日但王)a(a：0)2指数：(1) 规定：1a=_ (a丰0)2a-p=_;m3an=nam(a , m_.(2) 运算性质：1aras=ar S(a(a,、s- Q)2(ar)s=ars(a .O但0, r、 Q)rr r3(a b) =a b (a A0,b(g,、Q)注：上述性质对 r、s-R均适用.3指数函数：1定义：函数 _ 称为指数函数，1)函数的定义域为 _ ; 2)函数的值域为_; 3)当_时函数为减函数，当 _ 时为增函数2函数图像：1)过点_ ，图象在 _; 2)指数函数以 _为渐近线(当0：a：:1时，图象向_无限接近x轴，当a 1时，图象向 _无限接近x轴)；3)

41、函数y=aX与y=a的图象关于_对称.变式训练2:已知实数a、b满足等式（=（，下列五个关系式:vb;bvav0;a=b.其中不可能成立的关系式有A.1 个B.2 个C.3 个函数值的变化特征:0 a 0 时x 0 时x =0 时x =0 时X =0 时X V。时典型例题例 1.已知 a=1,b=9.9求:(1)a2a三十ya8: a15；解：（1）71原式=a2 33 181.a*3a I15 1a27 14516云丄手-2)2-a=1,原式=3.(2)方法一化去负指数后解.11 a b1 . 1a ba bab1旦b二a b.- a=-(ab)L丄丄9abab方法二利用运算性质解.aSlb

42、aLbL11-1=b a-,b=9,a+b=82.9182 a=-, b =9, a+b=.99变式训练 1:化简下列各式（其中各字母均为正数）(1)13 ob)2.解:1 1 1(1)原式=a%2就1 1 11 1 52 -62 3 .00-1_5-=a b a b =1.6 6a b函数A.f(bC.f(b 解：A例 2.511351135(2)原式=a飞丄-(2a3b才)=一一a飞丄-：-(a3b亍)=一a u2八44 Jab34ab且 f(0)=3,则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是()x) f(c )大小关系随 X515.abf(x)=xX)wf(cx)f(c242-bx+c

43、满足 f(1+x)=f(1-x)x)B.f(bx)D.X,的不同而不同解：B例 3求卜石邛数怡疋文域、泄域農卡产两 I：(1)f(x)=32x 4；(2)g(x)=-(l)x-4(l)x5.42解：(1)依题意 x -5x+4 0, 解得 x 4 或 xW1, f(x)的定义域是(-g, 1U4,+s).令U=.X2_5X(X_5)2_9,/x(一g,T 2 u0,即.x2-5x 40,而 f(x)=3x一5x 4 30=1,函数 f(x)的值域是1, +g).Tu= *(x 2)2# , 当 x (-g,1时，U 是减片 I 数.当 x 4, +g)时,u 是增函数.而 3 1, 由复合惭数

44、 i：jif4.T-JJi；|. f (x) =3“-5x 4在(-g, 1 上是减函数，在4, +g)上是增函数故 f (x)的增区间是4, +g),减区间是(-g,1(2)由 g(x)=-(寸)x.4少4(1)x5函数的定义域为R,令 t=(丄)x(t 0), g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,2 t 0, g(t)=-(t-2)2+9W9,等号成立的条件是 t=2,即 g(x)W9,等号成立的条件是(-)x=2,即 x=-1 , g (x)的值域是(-g,9.2由 g(t)=-(t-2)2+9 (t 0),而 t=(丄是减函数，要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减

45、2求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.Tg (t )在(0, 2 上递增，在】2, +亠):边战由 0vt=( l)xW2,可得 x-1, l| t=(丄)x2,可得 x0,f(x)=e二是 R 上的偶函数.a e(1 )求 a 的值；(2) 求证：f(x)在(0, +8)上是增函数.(1) 解：Tf (x)是 R 上的偶函数，.f (-x ) =f (x),.( a-丄)(ex-$)=0 对一切 x 均成立，a e.a- =0,而 a 0,a=1.a(2)证明 在(0, +8)上任取 xi、X2, 且 xiVX2,则 f(X1)-f(X2)=e+1L-eX2-1-ee2=(eX

46、2-eX1)(丄-1).e/ X1VX2, eX1:：:eX2,有eX2-ex1.0./ X10,X20,X1+X20,ex吩1,1-1v0.f(x1)-f(x2)v0,即 f(x1)vf(xex卡故 f(x)在(0,+8)上是增函数.(1 )求 f (x)在-1 , 1 上的解析式；(2)证明：f(x)在(0, 1) 上是减函数(1) 解:当 x (-1,0)时,-x (0,1).由 f(0)=f(-0)=-f(0) ，且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),2),变式训练 4:已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2，且当 x (0,1)时，f(x)=2X4/

47、 f (X)是奇函数， f (X) =-fXX(-X )2X厂设 0vX1X2v1,2为 则f(X1)-f(X2)=4X+14X2+1(4X1+1)( 4 +1)/ 0 X1 X2 0, 2X1X2-1 0, f(X1)-f(X2) 0,即 f(x1) f(X2),故 f(X)在(0, 1)上单调递减.小结归纳1.bN= a, ab= N , logaN = b(其中 N0 , a0, a丰1 是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底2 处理指数函数的有关问题，要紧密联系

48、函数图象，运用数形结合的思想进行求解3含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类4 含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或 综合第 6 课时对数函数基础过关1.对数:(1) 定义：如果ab二N(a .0,且 a =1),那么称_为_ ,记作_ ,其中a称为对数的底，N 称为真数1_以 10 为底的对数称为常用对数，log10N记作_. 以无理数e(e =2.71828)为底的对数称为自然对数，logeN

49、记作_ .基本性质： 真数 N 为 (负数和零无对数)：loga1 _:logaa二_ 对数恒等式：alogaN=N_ .运算性质：1loga(MN)=_ ;2loga也=_；N得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间-1, 1 上，有f (X) =2X4X+1丄4X+10 xW(0,1)X. (-1,0)x, 1,0,1；(2)证明当 x (0,1)时，f(X)=总空_2X)(2XX2-1)X23logaM=（n R）.4换底公式：logaN=（a0,1,m0,1, N0）5logamb二abm2对数函数：1定义：函数_ 称为对数函数，1）函数的定义域为值域为_ ; 3）当_时，函数为

50、减函数，当 _ 时为增函数；4）函数y=logax与函数yX（a .0,且日曰）互为反函数.21）图象经过点（），图象在 _ ； 2）对数函数以 _时，图象向上无限接近y轴；当a .1时，图象向下无限接近y轴）；4）函数y= logax与_ 的图象关于x轴对称.3函数值的变化特征：01X 1 时X 1 时X =1 时X=1 时0 X 1 时0X1 时典型例题例 1 计算：(1)log2 3(.3)(2) 2(lg,2)2+lg,2 lg5+. (Ig 2)2_lg 2 1；(3)-lg 送-lg,8+lg .245.2493解：(1)方法一利:炖隸匸义求件设log2us(2 3)=x,则(2+

51、寸3) =2-=- = ( 2+(3), . x=-1.2 323方法二 ：log2卡(2 -v3)=log2卡2；兮=log2平(2+的)1=-1.(2) 原式=lg .2 (2lg、2+|g5 ) +. (lg .2)2_2lg .-2 1=lg2(lg2+lg5)+|lg=lg 、2+(1-lg -2)=1.(3) 原式=1(lg32-lg49 ) -4lg8 ：+1lg245232=-lg(2X5)=1lg10=丄.2 2 2变式训练 1 :化简求值.431-X -lg2+1(2lg7+lg5)322（_； 2）为渐近线（当0：a:11=2(5lg2-2)-=-lg2-lg7-2lg2

52、+lg7+21lg5=丄Ig2+丄Ig52 2 21+log212- - log242-1;22(2) (lg2) +lg2 lg50+lg25;(3) (log32+log92) (log43+log83).解：(1)原式=log2+log212-log2、42-log22=log2一J12=iog25- log22J48*48江*反X22/22(2) 原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.(3) 原式=(聖.旦)(旦型2)=遊陛.lg3 2lg3 2lg2 3lg 2 2lg3 6lg2 4例 2 比较下列各组数的大小.(1)log 3?与 log

53、56;2) log1.10.7 与 log1.20.7;35、(3)已知 log1bvlog,avlog,c,比较 2b,2a,2c的大小关系.解：(1)vlog36 7vlog31=0,而 log56 log51=0, log 3vlog 5 .3535方法一/ 0v0.7v1,1.1v1.2, 0log0.71.Vlog0.71.2,11 ,log0.71.1 log0.71.2即由换底公式可得 log1.10.7vlog1.20.7.方法二 作出 y=log1.1X 与 y=log1.2X 的图象.如图所示两图象与 x=0.7 相交可知 log1.10.7vlog1.20.7.Ty=lo

54、g1x为减函数，且log】b：log1a：log1c,22 2 2 bac,而 y=2X是增函数， 2b2a2c.a, logab,logb的大小关系是bb51C.logab : logb g bb(1 )log2变式训练 2：已知 0vav1,b 1,ab 1，则 log11A.logalog a b：:logb bb11B.logab：:loga如一bb11logblogalogabbb解：C例 3 已知函数 f(x)=logax(a 0,a丰1)，如果对于任意 x 3, +)都有|f(x)| 1 成立,试求 a 的取值范围.解：当 a1 时，对于任意 x3,+R),都有 f(x)0.所以

55、，|f(x)|=f(x), 而 f(x)=logax 在3, +R)上为增函数，对于任意 x3,+8),有 f(x)loga3.因此，要使|f(x)| 1 对于任意 x 3, +8)都成立.只要 loga3 1=logaa 即可， 1va -loga3.因此，要使|f(x)| 1 对于任意 x 3, +5部我立.只要-loga3 1 loga3w-1=loga1,即丄 3,二-1 对任意 x3,+s)都成立的 a 的取值范围是：(1,3U,1).3变式训练 3：已知函数 f (x) =log2(x7-ax-a)在区间(-g ,1-3上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.解:令 g(x)=x

56、8 9 10-ax-a,2则 g(x)= (x-三)2-a-乞，由以上知 g(x )的图象关于直线x=F 对称且此抛物线开口向上.242因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 2 1,在区间(-m,1-、.3上是减函数，所以 g(x)=x2-ax-a 在区间(-g,1- -.3 上也是单调减函数，且g(x) 0.,即严2严匝_W-J3)oF3)2-a(1-為沁解得 2-2 .3wav2.7解： 由于 BC 平行于 x 轴，知 log2X1=log8X2，即得 log2X1=- log2X2,x2=x31,3代入 X2log8X1=X1log8X2，得 x31log8X1=3x1log8X1

57、,由于 X1 1,知 log8X1工 0,故 x31=3x1,又因 X1 1,解得 X1=3,于是点A的坐标为(3, log8.3).D.故 a 的取值范围是a|2-2.3wav2.例 4 已知过原点 0 的一条直线与函数 y=log 臥的图象交于 A、B 两点，分别过 A、B 作 y 轴的平行与 函数 y=log2x 的图象交于 C D 两点.(1)证明:点 C、D 和原点 O 用用一口哉-；(2)当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标.(1) 证明 设点 A、B 的横坐标分别为 X1、X2,由题设知 X1 1,x2 1,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8X1、log8炬因为AB

58、在过点 O 的直线上，所以卫泌NX2点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于 log2X1=log 8 X1=3log8X1,log2X2=3log8X2,log82OC 的斜率为匕=log2X1=3lgMOD 的斜率为k2匹生，由此可知 k1=k2,即 O C D 在同一直线上.X2X2变式训练 4:已知函数 f（x）=log2x1+iog2（x-1）+log2（p-x）.x（1 ）求 f（x）的定义域；（2）求 f（x）的值域.x T _ ，解：（1） f（x）有意义时，有x_10，p _x 0,由、得 x 1,由得 XVp,因为函数的定义域为非空数集，

59、故(2) f(x)=log2: (x+1)(p-x):=log2:-(x-口)2+llJ:(1Vxvp),24当1VH Vp，即 p 3 时，2p 1,f（x）的定义域是（1,p） .0V-(x-p1)2. (P 1)2.Jp 1)224=4log2_(x_于)2 3 时，f（x）的值域是（-g ,2log2（p+1）-2 :;当 1Vpw3 时，函数 f（x）的值域是（-g,1+log2（p-1） .小结归纳1.处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解2.对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自 如的水平，使用时常常要结合对

60、数的特殊值共同分析3 .含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以 “底”大于 1或小于 1 分类.4.含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数（特别是二次函数）形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意 知识的相互渗透或综合.第 7 课时函数的图象基础过关一、基本函数图象特征（作出草图 ）1.一次函数为_；2 .二次函数为_ ;3 反比例函数为_;4 指数函数为 _，对数函数为.二、函数图象变换1 .平移变换：水平变换：y = f(x)fy = f(x a) (a0)y=f(x)fy=f(x+a) (