2019-2020学年安徽省芜湖市高三(上)期末数学试卷(文科)

1、8.第 1 页（共 19 页）2019-2020学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1.（5 分）已知集合A x|0 x 3，集合B x|x| 2，则 AUB （）A .（ 2,0）B.（0,2）C.（ 2,3）D.（2,3）2.（5 分）已知 z3 i，其中 i 是虚数单位，则|z| （）1 iA .3B.5C. 2D. 33.（5 分）某学校组织学生参加宪法日答题活动，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组区间是：20,40）,40,60）,60,80）,80,100，该校参与答题活动的学生共C. 150D. 300D

2、 .既不充分也不必要条件A . 1B.2C. 4D.12(5 分）已知a20.1,b0.10.8,c log48，则 a ,b , c 的大小关系为( )A . a b cB.a cbC. cb aD. cab(5 分）“ m 1 ” 是“直线l1: xmy10 与直线 I?:x my 10 垂直”的（5 分）记 S 为等比数列an的前 n 项和，且 an0 ,若 S6 , S47，则a2A .充分不必要条件B 必要不充分条件6.7.4.2 2（5 分）双曲线+誇1的左顶点到其渐近线的距离为（12_5C.5.C .充分必要条件uuu（5 分）在 ABC 中，BD1 uuu uuuDA , CE

3、2EA，则DE为（A . 15B . 301000 人，则答题分数不低于80 分的人数为（）第2页(共 19 页)7 uuir i uuur1 uur1 uuur7 um1 uum1 uun 1 uurA . - BA -BC B . - BA - BCC. BA - BC D. - BA - BC626262629.( 5 分)已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积为(210. (5 分)已知函数 f(x) x 2cosx ,f (x)是f (x)的导函数，则函数y f(x)的图象大11. (5 分)如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相

4、同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体古希腊数学家欧几里得在其著作几何原本 的 卷13 中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球若正四面体、D .3.3B . 6第3页(共 19 页)正方体、正八面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为()A .2:1: .3B . 2:2:3C.2: .2:1D. 2：. 2:312. ( 5 分)已知函数f(x) |cos2x| cos|x|,x ,，则下列说法错误的为(A .f (x)有 2 个零点B.f (x)最小值为J2C.f (x)在区间(0 匸)单调递减D.f(x)的图象关于y轴对称二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，

5、共 20 分X, 213._ (5 分)若 x ,y满足约束条件 x y 2-0，贝 Vz 3x y的最小值为_.x y 2 014._( 5 分)曲线y xlnx在点 x 1 处的切线方程是 _.15. (5 分)已知数列an是等差数列，且公差 d 0，aif (x 1)，a?0，asf (x 1)，其中 f(x) x24x 2，则an的前 10 项和 S102 216. (5 分)已知 Ft, F2是椭圆2每1(a b 0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线交椭a b圆于A,B两点，且满足|AB| IBF2I 4 | BF1|，则该椭圆的离心率是三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、

6、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(-)必考题：共 60分17 . ( 12 分)在 ABC 中，内角A,B, C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足ac1 cosB cosC .bb(1)求角 C 的大小；(2 )若 c 2 , a b 13，求 ABC 的面积.18. (12 分)为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500 元，具第 3 页(共 19 页)2第6页(共 19 页)体标准由各地结合实际在10

7、00 元至 3000 元范围内确定，可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.(1 )若该高中学校有 2000 名在校学生，编号分别为 0001, 0002, 0003, 2000，请用系统抽样的方法，设计一个从这2000 名学生中抽取 50 名学生的方案.(写出必要的步骤)(2)该校根据助学金政策将助学金分为3 档，1 档每年 3000 元，2 档每年 2000 元，3 档每年 1000 元，某班级共评定出 3 个 1 档，2 个 2 档，1 个 3 档，若从该班获得助学

8、金的学生中 选出 2名写感想，求这 2 名同学不在同一档的概率.19. (12 分)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E是AB中点.(1)证明:AG / /平面 ECB!;(2)设直线 I 与抛物 C 交于A,B两点(A,B异于点P)，且 kApkBp2，试判断直线 I是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由._x21. (12 分)已知函数 f(x) ae 2x , a R .(1) 求函数f (x)的极值；(2) 当aT时，证明：f (x) lnx 2x 2.(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题计分

9、.选修 4-4 :坐标系与参数方程与平面 DBC 所成角的正弦值.P(X ,4)到焦点F的距离|PF | 2x0.(2)求直线2px(p 0)上一点(1 )求抛物线 C 的方程;x cosy sin(为参数)，第7页（共 19 页）22. (10 分)在直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为第8页（共 19 页）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）若直线 h，l2的极坐标方程分别为一（R),乙（R），设直线 h , I2与曲63线 C 的交点分别为M,N （除极点外），求 OMN的面积.选修 4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)

10、| x4| 2|x 1|的最大值为 m .（1 ）解不等式f（x）1；（2）若 a , b , c 均为正数，且满足 a b c m ,求证：2 2b c2-G .a bc2019-2020学年安徽省芜湖市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1. (5 分)已知集合A x|0 x 3，集合B x|x| 2，则 AUB ()A .( 2,0)B.(0,2)C.( 2,3)D.(2,3)【解答】解：QA x|0 x 3,B x| 2 x 2,AUB （ 2,3）.故选：C .2. （5 分）已知 z3 i，其中 i 是虚数单位，

11、则|z| （）1 iA.3B .5C . 2D . 3【解答】解：Q z3i (3i)(1i) 2 4i1 2i ,1i (1i)(1i)2|z| .12225 .故选：B.3. （5 分）某学校组织学生参加宪法日答题活动，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组区间是：20,40）,40,60）,60,80）,80,100，该校参与答题活动的学生共1000 人，则答题分数不低于80 分的人数为（）A . 15B . 30C. 150D. 300【解答】解：根据频率分布直方图知，答题分数不低于80 分的频率为 0.015 20 0.3 ,所以答题分数不低于 80 分的人数为 1000 0.33

12、00 （人）.故选：D.2 24.（ 5 分）双曲线 1的左顶点到其渐近线的距离为（）916第10页（共 19 页）12_5【解答】解:2 2由双曲线9碁1, 得a2 9，b216,双曲线x221的左顶点坐标为16(3,0),其一条渐近线方程为 y4x，即4X3由对称性得左顶点到其渐近线的距离为12|厂3)212故选：C .5. （ 5 分）记 S 为等比数列an的前 n 项和，且 an15S4，则 a2()2C.【解答】解:S2S4所求公比q1,1 q4S21 q2S4由题意可知所以 qS2解可得,a1则 a22 .故选：B.6. （5 分）已知a【解答】解:故选：D.7. ( 5 分)“

13、ma1(120.1,0.120.10.8,是“直线 h : xA .充分不必要条件mylog48 ,0.10.8,C.10 与直线c 的大小关系为log48l2: x my10 垂直”B .必要不充分条件第 7 页（共 19 页）D.既不充分也不必要条件故选：A.UULf 1 uuu uuu uuuQ BD -DA,CEEA,2UUf UUU UJU uuu DE DB BC CE9. （ 5 分）已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体的体积为【解答】解：直线 h：x my 10 与直线 12: x my 10 垂直m 1 ”是直线 h : xmy 10 与直线 12:

14、x my 10 垂直”的充分不必要条件.C .充分必要& （ 5 分）在 ABC 中,7 uun 1 uuur A . -BA -BC6 2【解答】解：如图，uuu 1 umr uun BDDA , CE 21 uLm 1 uum B.-BA BC6 2EA，则DE为（）7 uuu 1 uuu C. BA - BC6 21 uur 1 uur D. -BA BC6 21 uu UUf BABC31 UU UUfBA BC31 UUf 1 uuuBA BC .6 21 ULU1 UUfCA BA221 uuu uuu(BA BC)2uuur 1 uuiBC CA2故选：D.第12页(共

15、19 页)【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为: 该几何体为四棱锥体.C.3D. 3.3210. (52cos x ,f (x)是f (x)的导函数，则函数y f (x)的图象大B . 63 2故选：C.3.33第13页（共 19 页）设g(x) f (x) 2x 2si nx,贝U g (x) 2 2cosx0，即g(x)为增函数，排除D11. （5 分）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体.古希腊数学家欧几里得在其著作 卷 13 中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球.若正四面体、正方体、正八

16、面体的外接球半径相同，则它们的棱长之比为（【解答】解：设正四面体的棱长为几何原本 的A .2:1:3B. 2:、2: 3C.2: .2:1D. 2:2:3则f （x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A,B,正六面体（正方体）33第14页（共 19 页）设正八面体的棱长为 c,故选:所以利用勾股定理的应用:2a)(2r)，解得 a正方体的棱长为 b，则:2 2 2(2r) b b解得:2 一 3r .3所以:2r 2所以:a:b:c124c)3: 22: 2: 3 .2c ,解得 c12. （ 5 分）已知函数f (x) | cos2x| cos|x |,x ，则下列说法错误的为24第15页(共

17、 19 页)污A .f (x)有 2 个零点B.f (x)最小值为 -2C.f (x)在区间(0,_)单调递减D.f(x)的图象关于y轴对称，4【解答】 解： 由x ,关于原点对称，且f ( x) | cos2( x) | cos| x| |cos2x| cos| x| f (x),即有f(x)为偶函数，即f(x)的图象关于y轴对称，故D正确；由对称性可知只需考虑x 0,arccos；递增，f(x)确;f(x)x 0cos2x cosx 2cos2x cosx 1cosx(二剟 t 1)，则 y22(t4)2x 4cos2xcosxcosx(0 剟t222cos xcosx2(t1-4)2x

18、0,22(cos x1递f (x)在x2x,21-2(cosx )4在0T递增，cos2x0cos2x, 098，辽递减，则f(x)在 x427，在 x arccos -,4递减;22xf (x) cos2xcosx2coscosx令 t cos x(剟 t 0)2，则 y2(t14)1-2(cosx )49 八 2一在8 23f98cos2x, 0,0递增，则f(x)在 x 2 ,减,2x 2cos2x-0,f(x)cos2x cosx 2cos2xcosx1 2(cos x1)2J2cosx( 1 剟 t-)，则 y22(t丄)2-在4823递减，则f (x)在 x ,递即x y 10第1

19、6页(共 19 页)增,综上可得，f (x)在 x 处取得最小值，且为-，故B正确;42又f(x)在0，时f(x) 0,f(x)在(_,，L)递减，在3,递增，f(3)0,f() 0,22444可得f(x)在0,有两个零点，贝 Uf(x)在,有 4 个零点，故A错误，故选：A.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.x, 213. (5 分)若 x ,y满足约束条件 x y20，则z 3x y的最小值为_ 2_.x y 2 0 x, 2【解答】 解：画出 x ,y满足约束条件 x y 2-0 的平面区域，如图示：x y 2-0由z 3x y得到y 3x z,显然直线过A(0

20、,2)时，z 最小，z 的最小值是2, 故答案为：2.片 I54 /*A2!/4bbb|5 -4 J -2-1-20 11弋5J-4-5-14. (5 分)曲线y Xlnx在点 x 1 处的切线方程是x y 10【解答】解：求导函数，可得y lnx 1x 1 时，y 1,y 0曲线y xlnx在点 x 1 处的切线方程是y x 1故答案为：x y 1 0第17页(共 19 页)15. (5 分)已知数列 何是等差数列，且公差 d 0,印 f(x 1), a20, 83f(x 1),其中 f (x) x24x 2，则an的前 10 项和 S10_ 70_.【解答】 解：atf (x 1), a2

21、0, a3f (x 1)，其中 f(x) x 4x 2 ,可得 2a2a as，即(x 1)24(x 1) 2 (x 1)24(x 1) 2 0，化为x24x 3 0，解得 x 1 或 3，16. ( 5 分)已知 F1， F2是椭圆2茶1(a b 0)的左、右焦点，过左焦点 F1的直线交椭a b圆于A,B两点，且满足|AB|BF2| 4|BFJ，则该椭圆的离心率是.52 2【解答】解：F1, F2是椭圆笃与1(a b 0)的左、右焦点，过左焦点 F1的直线交椭圆a b于A,B两点，且满足 | AB | | BF2| 4 | BF | ,可设 |BF | n，所以 |AB | IBF2| 4n

22、 , |AF?| 2n , | AR |1?件|AB|105故答案为：卫5则数列的前三项为2, 0, 2 或 2, 0,2,但公差 d0，可得 d2，a12,S01012109(2)70 .2故答案为:70 .2 23n,cos F1AF2在三角形 AF1F2中,4c29n24n22 3n 2n1 10n28a25，所以23第18页(共 19 页)A片1丿三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答分17 . ( 12 分)在 ABC 中，内角A,B, C 所对的边分别为 aac1 cosB cosC .b

23、b(1)求角 C 的大小； (2 )若 c 2 , a b 13，求 ABC 的面积.ac【解答】 解：(1)由 1 -cosB cosC 得：a b ccosB bcosC , bb由正弦定理可得： si nA si nB sin C cos B sin B cosC ,(B C),2 2b 2ab cosC (a b) 3ab ,ab 3,1.3眞SABCab sin C -1721 题为必考题，.(-)必考题：共 60,b , c ,且满足sin(B C) sinBsinCcosB sinBcosC,故:sin B 2sinBcosC ,又 Q sin BcosCQC(0,(2)由余弦定

24、理第19页(共 19 页)2418. (12 分)为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担，让更多的孩子接受良好的教育，国家施行高中生国家助学金政策，普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年体标准由各地结合实际在1000 元至 3000 元范围内确定，可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召，通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况，拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.(1 )若该高中学校有 2000 名在校学生，编号分别为 0001, 0002, 0003, 2000，请用系统抽样的方法，设计一个从这2000 名学生中抽取 50 名学生的方案.(写出必

25、要的步骤)(2)该校根据助学金政策将助学金分为3 档，1 档每年 3000 元，2 档每年 2000 元，3 档每年 1000 元，某班级共评定出 3 个 1 档，2 个 2 档，1 个 3 档，若从该班获得助学金的学生中 选出 2名写感想，求这 2 名同学不在同一档的概率.【解答】 解：(1)第一步：分组将 2000 名学生分成 50 组，每组 40 人，编号是 0001 0040 的为第 1 组，编号为 0041 0080 的为第 2 组，编号为 1961 2000 为第 50 组；第二步：抽样.在第 1 组中用简单随机抽样方法(抓阄)抽取一个编号为m 的学生，则在第 k 组抽取编号为40

26、(k 1) m的学生每组抽取一人，共计抽取50 名学生.(2)记该班 3 个 1 档的学生为 A, A2, A , 2 个 2 档的学生为 B!, B2, 1 个 3 档的学生为G ,从该班获得助学金的同学中选择2 名同学不在同一档为事件A.基本事件有 15 个，分别为：A A2,A A3,A1B1, AB1, AC1, A2A3, A2B1,A2B2,A2C1,A3B1,A3B2, A3C1,B1B2,BG ,B2C1.事件A包含的基本事件共有 11 个， 则这 2 名同学不在同一档的概率为P(A) 口 .1519. (12 分)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点E是AB中点.

27、(1) 证明：AG /平面 ECB,；(2) 求直线与平面 DBC 所成角的正弦值.1500 元，具第 16 页（共 19 页）_ 220.（ 12 分）已知抛物线 C:y 2px（p 0）上一点 P（Xo，（1 ）求抛物线 C 的方程;【解答】解：（1）证明：连接 BCi，交 BiC 于点F,连接EF，贝 UF为 BC1的中点,又Q E为AB的中点，EF为 ABCi的中位线，AG/EF ,又 AC1平面 ECB1,EF平面 ECB1,AC1/ 平面 ECB1.（2）解：连接 D1F，可以证明 AC1平面 D1B1C，由（1）得：AC1/ /EF，EF平面 D1B1C，直线 D1E 与平面 D

28、BC 所成的角为 ED1F，设正方体的棱长为 a，则D1E3a， EF2sin ED1FEF 34）到焦点F的距离| PF | 2xo.6c】EBD1E3第21页(共 19 页)(2)设直线 I 与抛物 C 交于A,B两点(A,B异于点P)，且 kAPkBP2，试判断直线 l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.162 pxo【解答】解：(1)由题可得：p| PF | xo上 2xo22解得 x 2 ,p 4,抛物线的方程为 y 8x;(2)设直线 I 的方程为 x my n , A(x , yj , B(x2, y2)当a, 0时f (x) 0,f (x)在R单调递

29、减，则f (x)无极值.当 a 0 时，令f (x)0得 x In2,f (x)0得 x In2,f (x)0得 x ln-,aaa22f(x)在(，1 n2)上单调递减，(In2,)单调递增，aaf(x)的极小值为 f(|n2)2 2In2，无极大值，aa综上：当a, 0时，f (x)无极值.22f (x)的极小值为 f (In-)2 2In ,无极大值;aa(2)当a-1时，f(x) Inx 2xyxInx ,令 g(x) exInx2, g (x) ex-(x0),x令g (x)0得 x X。，因为g (x)在(0,)为增函数,所以函数g(x)在(0,x)上单减函数，在(X。,xmy nkAPy14y14-8-，同1理 kBPX12士 2y148又 kAPkBP2,yy160 ,n 2,21. (12