2018版高中数学北师大版必修四学案：第二章2.1向量的加法

1、2.1 向量的加法【学习目标】1理解并掌握向量加法的概念， 了解向量加法的物理意义及其几何意义 2 掌握向 量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运 算 3 了解向量加法的交换律和结合律， 并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.IT问题导学-知识点一向量加法的定义及其运算法则 分析下列实例：飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图）,这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F F1= 3 000 N ,F F2= 2 000 N，牵引绳之间的夹角为=60如图），如果只用一条拖轮来牵引，也

2、能产生跟原来相同的效果.思考 1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运 算？思考 2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则?梳理（1）向量加法的定义求_ 的运算，叫作向量的加法.第二章平面向量2从位移的合成到向量的加法北京卜誨向量加法的法则已知向量 a a, b b,在平面上任取一点 A,作 AB三角=a a,BC=b b,再作向量AC，则向量AC叫作C A形法向量 a a 与 b b 的和，记作，即 a a + b b=则AB+BC=平行已知向量 a a, b b,在平面内任取一点 A,作 AB四边形法=a a, AD = b b,再作平行于

3、 AD 的 BC= b b,连接形法DC,则四边形 ABCD 为平行四边形.向量 ACAa B则叫作向量 a a 与 b b 的和，表示为=a a + b b向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.知识点二 向量加法的运算律思考 1 实数加法有哪些运算律？思考 2 根据图中的平行四边形 ABCD，验证向量加法是否满足交换律.（注：AB= a a, AD =b b）思考 3 根据图中的四边形 ABCD ,验证向量加法是否满足结合律.（注: AB = a a, BC = b b,CD=c c)c梳理向量加法的运算律交换律a a + b b=结合律()+ c c= a a+

4、 ()题型探究类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则反思与感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别：(1)三角形法则中强调 “首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”.(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.跟踪训练 1 如图所示，0 为正六边形 ABCDEF 的中心，化简下列向量.0A + FE =类型二向量加法运算律的应用 例 2 化简: (1)BC + AB; (2)DB +

5、CD + BC;如图(2),已知向量 a a, b b, c c,(1)0A + 0C =;(2)BC+ FE = (3)AB + DF + CD + BC + FA.序后相加.（2） 向量求和的多边形法则： A1A2+ A2A3+ A3A4+ + An 1An= A1An.特別地，当 An和 A1重合时，A1A2+ A2A3+ A3A4+ + An iAi= 0.跟踪训练 2 已知正方形 ABCD 的边长等于 1，则|AB+AD+ BC + DC| =_类型三向量加法的实际应用 例 3 在静水中船的速度为 20 m/min ,水流的速度为 10 m/ min，如果船从岸边出发沿垂直于 水流的

6、航线到达对岸，求船行进的方向.引申探究1 .若本例中条件不变，则经过 1 h,该船的实际航程是多少?2.若本例中其他条件不变， 改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值.反思与感悟向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，准确作出图像是解题 关键.跟踪训练 3 如图，用两根绳子把重 10 N 的物体 W 吊在水平杆子 AB 上，/ ACW= 150/ BCW = 120求 A 和 B 处所受力的大小.（绳子的重量忽略不计）ABi5(r w厂规律与方法1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,首尾相连时常选用三角形法则， 当两个向量共起点时， 常

7、选用平行四边形法则.2 .向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意 的组合去进行.3.在使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量ET当堂训练1.如图，在正六边形 ABCDEF 中，E3A + CD + EF 等于（B.BEC.ADD.CF2.如图，D, E, F 分别是 ABC 的边 AB, BC, CA 的中点，贝 UF 列等式中错误的是（） A.FD + DA + DE = 0B.AD + BE+ CF = 0C.FD+DE+AD=ABD.AD + EC+ FD = BD3.(AB+ IMB) + (BO + BC)

8、 + OM 等于()A.BCB.ABC.ACD.AM4.如图所示，在四边形ABCD中,AC=AB+AD，则四边形为A 矩形B .正方形C 平行四边形D .菱形5.小船以 10 3 km/h 的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10 km/h.则小船的实际航行速度的大小为km/h.两个法则是统一的， 当两个向量的起点指向第二个向量的终点向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，而不应写成 0.定要写成0，问题导学知识点一 思考 1 后面的一次位移叫作前面两次位移的合位移，四边形 是 0A 与 0B 表示的力的合力.体现了向量的加法运算.思考 2 三角形法则和平行四边形法则.梳理 两个

9、向量和 a a+ b bACAC知识点二思考 1 交换律和结合律.思考 2 /AC=AB+BC,AAC= a a + b b./AC=AD+DC, AC= a a + b b= b b+ a a.思考 3 /AD=AC+CD=(AB+ BC)+ CD , AD = (a a + b b) + c c, 又AD= AB +BD=AB+ (BC +CD),AD=a a+ (b b+ c c),-(a a+ b b) + c c= a a + (b b+ c c).梳理 b b+ a aa a+ b b b b+ c c题型探究 例 1 解 作法：在平面内任意取一点 0,作 0A = a a,AB=

10、 b,b,则OB=a a+ b b.0,作 0A = a a, AB = b b, BC= c c,贝 U 0C= a a + b b+ c c.U b o答案精析OACB 的对角线 OC 表示的力b b+ a a.在平面内任意取一点跟踪训练 1(1)0B(2)AD(3) 0 0 例 2 解 BC+ AB = AB+ BC= AC. (2)DB + CD + BC= BC + CD + DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0 0.AB+DF+CD+BC+ FA=AB+BC+ CD+DF+ FA=AD+DF+ FA=AF+ FA=o o.跟踪训练 222例 3 解 作出图形，如图所示.船速

11、v船与岸的方向成a角，由图可知 v水+ v船=v实际，结合已知条件，四边形 ABCD 为平行四边形.在 Rt ACD 中,|CD|= |AB|= |v水|= 10 m/min ,|AD|= |v船|= 20 m/min ,ICDI 101COSa= =二=二f202AD| a=60从而船与水流方向成 120的角.船是沿与水流的方向成 120的角的方向行进.引申探究1 .解由例 3 知 v船=20 m/min ,v实际=20 xsin 60=10 ,3(m/min),故该船 1 h 行驶的航程为 10 ,3x60=600 3(m) =353(km).=AC + CD + DF + FA2.解如图，作平行四边形 ABDC,则 AD = v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为则 tana=|BDI=10=2.T10|AB|即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为a,2.跟踪训练 3 解 如图所示，设 CE, CF 分别表示 A, B 所受的力,N 的重力用 CG