2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第二章3.2双曲线的简单性质

1、3.2 双曲线的简单性质学习目标】1了解双曲线的简单性质（对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等）.2 理解离心 率的定义、取值范围和渐近线方程 .3掌握标准方程中 a, b, c, e 间的关系 4 能用双曲线的 简单性质解决一些简单问题.H问题导学-知识点一双曲线的简单性质思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线2 2字一 b2= i（a0, b0）的哪些性质？梳理标准方程- 2-2-予器=1(a 0, b0)-2-2-02含=1(a0, b0)图形NA0性质范围对称性对称轴：对称中心：对称轴：对称中心：顶点坐标渐近线y=xy=伞离心率e=c,e(1,+s) a知识点二双曲线的离心

2、率思考 1 如何求双曲线的渐近线方程?思考 2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口” 大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？梳理 双曲线的焦距与实轴长的比C，叫作双曲线的，其取值范围是 ea- -越大，双曲线的张口 _ 知识点三双曲线的相关概念1 双曲线的对称中心叫作双曲线的中心.2实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y= (.题型探究类型一由双曲线方程研究其性质例 1 求双曲线 9y2-4X2=-36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线 方程.反思与感悟由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1) 把双曲线方

3、程化为标准形式是解决此类问题的关键.(2) 由标准方程确定焦点位置，确定a, b 的值.(3) 由 c2= a2+ b2求出 c 值，从而写出双曲线的简单性质.跟踪训练 1 求双曲线 9y216X2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线 方程.类型二由双曲线的简单性质求标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.5(1) 虚轴长为 12,离心率为 4；(2) 顶点间距离为 6,渐近线方程为 y= 2x;(3) 求与双曲线 x2 2y2= 2 有公共渐近线，且过点M(2, - 2)的双曲线方程.反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤1确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标

4、轴;2设双曲线的标准方程;3根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数;4求出 a, b,写出方程.2 2(2)与双曲线 j淳=1 共焦点的双曲线方程可设为类型三 与双曲线有关的离心率问题2与双曲线字-洋=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为字-沪X仔0);渐近线为 axby= 0 的双曲线方程可设为a2x2 b2y2= ?(仔0).跟踪训练 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为 ：；双曲线过点(3,9 2)，离心率 e=1； (3)渐近线方程为 y= 2x,且经过点 A(2, 3).2y2222= 1(0, b ?0, b0)的左、右焦点，双曲线上存在一

5、点P 使9得|PFi|+ |PF2|= 3b,|PFI|PF2|=4ab,则该双曲线的离心率为()4A. 3B.539引申探究D . 3例 3 条件9“|PFi|+ |PF2|= 3b, |PFi| |PF2|= 4ab” 改为“若 PFi丄 PF2,且/PFiF2= 30 ,结果如何?反思与感悟求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出 a, c,再计算 e=ca(2)依据条件建立参数 a, b, c 的关系式，一种方法是消去b 转化为离心率 e 的方程求解,另一种方法是消去 c 转化成含 a 的方程，求出 a 后，利用 e=i 求解.2 2跟踪训练 3 双曲线X2-1(0a0)与直线 I:

6、 x+ y= 1 相交于两个不同的点 A, B,求双曲线aC 的离心率的取值范围.反思与感悟求离心率的取值范围技巧(1)根据条件建立 a, b, c 的不等式.c b(2)通过解不等式得：或：的取值范围，求得离心率的取值范围.a a2 2跟踪训练 4 已知 F1, F2是双曲线予一2= l(a, b0)的左，右焦点，过 Fi且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点，若厶 ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为()A . (1 ,+ )B. ( . 2 + 1 ,+ )C. (1 , .2+ 1)D. (1 , .3)当堂训练2 2 21双曲线 1x5/= 1 与椭

7、圆 25+ = 1 的(A.焦点相同B .顶点相同C.实轴与长轴相同D 短轴与虚轴相同2 22.设双曲线+卷=1 的渐近线方程为 3xi2y= 0,则 a 的值为()a 9C. 22 23.设 Fi和 F2为双曲线 j器=1(a0, b0)的两个焦点，若三个顶点，则双曲线的离心率为()3B.25C.q D. 34等轴双曲线的一个焦点是Fi( 6,0)，则其标准方程为()2 2x y_ . A 匚=1A.9 92 2y x 彳C= 118 1822 2B.y2*= 1 9 92 2x V D. = 118 1825设双曲线?一 1(a 0, b 0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近

8、线方程为规律与方法1.渐近线是双曲线特有的性质，2 2两方程联系密切，把双曲线的标准方程 孑*= 1(a0,b0)右边的常数“1”换为“ 0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程 ax )y= 0 变为 a2x2 b2y2=人再结合其他条件求得 X 就可得双曲线方程.2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.Fi, F2, P(0,2b)是正三角形的答案精析问题导学知识点一思考 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理 x a 或 xwa

9、 y a 或 yw a 坐标轴 原点 坐标轴 原点Ai( a,0), A2(a,0) Ai(0, a), A2(0, a)知识点二2 2 2 2思考 1 将方程Xy2= 1(a0, b0)右边的“ 1 ”换成0”，即由X2占=0 得X琴=0,如 a ba baD2 2图，作直线 ab=o,在双曲线i 的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线.2 2思考 2 双曲线字i 的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取 决于b的值，设 e=c，则b= = e2 1.aa a av当 e 的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.a梳理离心率 (1 ,+

10、 )越大题型探究 例 1 解 将 9y24X2=36 变形为2x_9所以 a= 3, b = 2, c=：13,因此顶点坐标为(一 3,0), (3,0);焦点坐标为(一.13 , 0), ( 13, 0);实轴长是 2a = 6，虚轴长是 2b= 4; 离心率 e=C=;a 3渐近线方程为 y= x= 3x.2 22 2 2跟踪训练 1 解 把方程 9y2 316X2=144 化为标准方程七-32= 1.由此可知，实半轴长 a= 4,虚半轴长 b = 3;c= a2+ b2=42+ 32= 5,焦点坐标是(0, 5), (0,5);离心率 e=C=5;a 4渐近线方程为 y= 3x.2 2

11、2 2例 2 解(1)设双曲线的标准方程为a ba b由题意知 2b= 12 ,C=5,a 42 2 . .2且 c = a + b ,b = 6, c= 10, a= 8.2 22 2双曲线的标准方程为右曇=1 或右36= 1.64 3664 3632 2设以 y= 分为渐近线的双曲线方程为 X = 2 0)-当?0 时，a2= 4 入一9 2a=2 4?= 6?X=4;当=0 时，a2= 9 入- 2a = 2 9 = 6? = 1.2 2 2 2双曲线的标准方程为 7 七=1 或半y = 1.9819442 2设与双曲线 X2 y2= 1 有公共渐近线的双曲线方程为X2 y2=将 0).

12、将点(2, 2)代入双曲线方程，/曰222得=-(2)2=- 2,2 2双曲线的标准方程为二x= 1.跟踪训练 2 解(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且 c= 13,c 13I又=5, 二 a= 5, b = c2 a2= 12,故所求双曲线的标准方程为2 2y丄=25144 = 由 e2=10，设 a2= 9k(k0),则 c2= 10k, b2= c2 a2= k.22 22设所求双曲线方程为 -乞=1或 L- = 19k k9k k将(3,9 .2)代入，得 k = 161，与 k0 矛盾，无解；将(3,9 .2)代入，得 k = 9.2 2故所求双曲线方程为x= 1.1方法一

13、双曲线的渐近线方程为y= x,2 2若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为予詁=1(a0, b0),则b=1a 2 A(2, 3)在双曲线上，联立，无解.2 2若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为*詁=1(a0, b0),a 1则 b=1联立，解得 a2= 8, b2= 32.2 2所求双曲线的标准方程为= 1.832 A(2, 3)在双曲线上,弊点=1.方法二由双曲线的渐近线方程为y= x,可设双曲线方程为 一 y2=X将 0）. A(2, - 3)在双曲线上,I?(3)2=入即X=8.2 2所求双曲线的标准方程为y令=1.832例 3 B 考虑双曲线的对称性，不妨设 P 在右

14、支上,则 |PFi| |PF2|= 2a,而 |PFi|+ |PF2|= 3b,两式等号左右两边平方后相减,2 29b 4a 得 IPF111PF2匸 4又已知 |PFi| |PF2|=9ab,229 9b 4a b 4 4ab=4，得 a= 3(负值舍去).该双曲线的离心率e=a,，1+a1+42引申探究 解 作出满足题意的几何图形（如图），利用 PFi丄 PF2及/PF1F2=30 求出 a, c 的关系式.设点 P 在双曲线右支上.TPF1PF2,|F1F2|=2C,且/ PF1F2= 30- |PF2|=C,|PF1|=3C.又点 P 在双曲线的右支上，- |PF1| |PF2|= ( 3