中值定理、罗必塔法则

1、第三章中值定理、罗必塔法则、导数的应用-、学习目的与要求1、加深理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式2、会应用中值定理做一些证明题.3、熟练掌握用罗必塔法则求未定式的极限4、理解函数的极值概念.5、掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点6、能描绘函数的图形(包括水平与铅直渐近线)7、会解较简单的最大值和最小值的应用问题.&知道曲率及曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径二、学习重点中值定理的应用函数最值的求法及函数图形的描绘三、内容提要1、微分中值定理名称定理简图几何意义罗尔(Rolle)定理若函数f(x)满足(i) 在闭区间a,b

2、上连续，(ii) 在开区间(a,b)内可导，(iii)f(a)=f(b)，则求(a,b)，使得f(£)=0)、丿若联结曲线端点的弦是水平的，则曲线上必有一点，该点的切线是水平的.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f(x)满足;(i) 在闭区间a,b上连续，(ii) 在开区间(a,b)内可导，则宛e(a,b)，使得f(b)f(a)=f(C)(ba);或者f(a+h)f(a)=f'(a+6h)h(0<日<1,h=ba)曲线上总存在一点，该点的切线与连结曲线端点的直线平行.推论1在定理条件下，若f(x)=0,则f(x)=常数推论2若f(x)、g(x)都满足定理条

3、件，且f"(x)=g"(x),则f(x)=g(x)+c(c为常数)柯西(Cauchy)定理若函数f(x),g(x)满足；(i) 在闭区间a,b上连续，(ii) 在开区间(a,b)内可导，(iii)gx)芒0,则乂(a,b),使得f(b)-f(a)f徉)g(b)g(a)gV)同上，只是曲线由参数方程；x=g(t)(a<t<f(t)b)2、罗必达法则(L'Hospital)注1将结论中的Xra换成Xra一或Xra,Xr八，X)-:，且其它条件亦作相应变类型条件结论0型0与-型QO设当xta4时f(x)与g(x)均为无穷小(或均为无穷大)，且存在b，使f(x)

4、、g(x)在(a,b)内可微且g"(x)H0,limf(X)=L(L为有限或土°o)T+gx)rf(x)fx)lim=lim=LT+g(x)Ja+g"(x)动，结论仍成立注2其它未定型转化为0型兰型的形式0旳3、泰勒(Taylor)定理设函数f(x)在含x0的某开区间(a,b)内具有直至n1阶导数，则有f"(x0)2f(n)(x0)nf(x)二f(X。)f(x°)(x-X。)-(X-X°)-(X-X°)Rn(x)2!n!f(nO(&其中Rn(X)二一-'(X-Xo)n1在X与X。之间，Rn(x)称为f(X)在

5、X-处的拉格朗日余(n+1)!项特别，在上式中令x0=0,得f(x)=f(0)f(0)号“f(x)=f(0)f(0)号“*0)严4)八(n+1)!O门：1.f(n)n!(X0)(X-X°)no(x-X°)n)o(xn),称为带皮亚诺余项的麦克劳林f(n)(0)n!此公式称为麦克劳林公式”f(X0)2f(x)二f(x°)f(x°)(x-X0)丄(X-X0)2!称为带有皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式f(x)=f(0)f(0)f-(0)x22卷2!公式注在学习过程中应注意上述四个定理之间的关系4、函数的性质(I)单调性定理设f(x)在a,b上连续，在(a,

6、b)内可微(i)f(x)在a,b上单调增(单调减)的充要条件是在(a,b)内f(x)_0(f(x)_0)(ii)f(x)在a,b上严格单调增(严格单调减)的充要条件是在(a,b)内f(x)0(f(x).0)，且使f(x)=0的点x不充满(a,b)的任何子区间.(II)极值(1)极值的概念设f(x)在点X。及其邻域有定义，对于充分接近X。的所有x,若f(x)<f(xo)则称函数f(x)在x=x。处取得极大值；若f(x)>f(x。)，则称函数f(x)在x=xo处取得极小值函数f(x)的极大值和极小值统称为函数的极值;使f(x)取得极值的点xo称为函数的极值点若函数f(x)在点xo处可微

7、，且f(x)=0，则称点x0为函数f(x)的稳定点(驻点).(2)基本定理定理1(必要条件)一个函数只能在它的稳定点及不可微点处取得极值定理2(第一判定定理)设函数f(x)在点X。处连续，在Xo的附近可微(点xo可除夕卜)，当点x渐增经过点xo时，(X)的符号由正(负)变负(正)，贝yf(x)在点Xo处取得极大(小)值定理3(第二判定定理)设函数f(x)在点xo处具有二阶导数，且(x)=o,f”(x)=o，则当f”(x)：o(f(x)o)时函数f(x)在点xo处取得极大值(极小值)(III)函数最大值、最小值的求法因为由闭区间上连续函数性质知：在闭区间a,b上连续的函数在该区间上必有最大值和最

8、小值所以若f(x)在a,b上可微，则可用下面的方法求出它的最大值和最小值：先由极值的判定定理，求出函数f(x)的极值点，然后比较函数在所有极值点处的值与函数的区间端点的值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值若所考虑的区间为开区间或无穷区间，只要有办法断定最大值(最小值)是存在的，那么从所有极大值(极小值)中选取最大(最小)的就是最大值(最小值)特别地，若在开区间内只有一个驻点时，最大值(最小值)则就在这个驻点处取得(IV)函数的凸性及曲线的拐点定义1若连续曲线y=f(x)上任意两点A,B的弦AB恒在曲线段AB的上侧(下侧),则称f(x)为下凸(上凸)函数，简称凸(凹)函数，而称曲线y二f(

9、x)为下凸(上凸)曲线.若对于任给：l"a,b(二.-)与r(0,1),有f(1t):ttf()则称f(x)为在a,b上的凸函数，若将上式中的"w”换成"<”，则相应地改称为“凸函数”为“严格凸函数”若-f(x)为凸(严格凸)函数，则称f(x)为凹(严格凹)函数定义2连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点.定理设f(x)在(a,b)内二次可微，f(x)在a,b上连续f(x)在a,b上的凸(凹)函数的充要条件是在(a,b)内f”(x)_O(f”(x)O)(i) f(x)在a,b上严格凸(凹)的充要条件是在(a,b)内f”(x)_O(f”(x)乞0)，且使f(x

10、)=0的点x不充满(a,b)的任何子区间.(V) 曲线的渐近线定义当曲线无限伸展时，若曲线上的点与某一直线的距离趋于0,则称该直线为曲线的渐近线.渐近线的求法：铅直渐近线若对于x，有limf(x)-：，则x=x0就是y=f(x)的铅直渐近线.水平渐近线若limf(x)二y0，贝Vy=y0为y=f(x)的水平渐近线.x_)：:斜渐近线若a-limf(x)及b=limf(x)-ax都存在，则y=axb为y=f(x)xxHf«的斜渐近线.(VI) 曲线的曲率设M为曲线y=f(x)上一点，Mi为曲线y=f(x)上异于M的任一点，弧MM1的长记为As，过M与M1的两切线间的夹角为，当M1沿曲线

11、y=f(x)趋近于M时，(即r0时)若lim°|.存在，则称这个极限为曲线y=f(X)在点M的曲率，记为线y=f(X)在点M的曲率，记为K，即；而R=称为曲线Ky=f(x)在M点的曲率半径.在曲线凹方的一侧，半径为曲率半径的圆称为曲率圆，其圆心称为曲率中心.曲率的计算公式：若曲线的方程为y=f(x)，则曲线在点(x,y)处的曲率为d®yds1+(y?232d®yds1+(y?232曲率中心为yy,y,1 y=yyy"若曲线的方程为xx(t)丄'"则曲线在(x,y)处的曲率为K=-xy；/,2丄，232(x；+y；)=y(t).(VII)

12、函数的作图步骤:第一步，求出函数的定义域;第二步，考察函数的奇、偶性，周期性;第三步，求出方程f(x)=0的根，列表判别函数的单调区间与极值点;第四步，求出方程f“(X)=0的根，列表确定函数的凸凹性与拐点；第五步，求出函数的渐近线；第六步，计算几个点的函数值，画出图形四、思考题1、当罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？试举例(或用图举例)说明232、当柯西中值定理的条件不满足时，定理的结论还成立吗？试以f(x)=X，F(X)=X为例在-1，1上讨论3、对函数f(x)应用拉格朗日中值定理，可得f(b)-f(a)=f(J(b-a),a：b再对函数F(x)应用拉格朗日中值

13、定理，可得F(b)-F(a)=F)(b-a),a：b二式相除，即证明了柯西中值定理丄©血这样证法对吗？为什么？F(b)F(a)F徉)4、你能说明四个中值定理之间的关系吗？5、是否任何函数都能在它的定义域内任一点展开为它的n阶Taylor公式？6、f(x)0,(a:x:b)是f(x)在(a,b)内单调增加的充分条件还是必要条件，或充要条件？7、若对任意x均有f(X)>g(x)，则对任意x必有f(x)>g(x)对吗？为什么？8、若f(x)在Xo至少二阶可导，且f(x)_f(X。)=_1,则函数f(x)在x=x°处取lim2X说(x-x0)得极大值还是极小值，为什么?

14、9、已知函数y=f(x)对一切x满足xf(x)=3xf(x)2=1-e，若f(x)在某一点X0丰0处有极值，问f(x0)是极大值还是极小值？为什么?10、若(x°)=0，则点(X0,f(X0)必为函数曲线y二f(X)的拐点，对吗？为什么?典型例题分析试问下面的运算正确吗？如有错误，请指出错误，并且给出正确解法分析(1)limxyx+sinx上式等号是错误的=lim-Xr1COSX，因为*一：时1cosx的极限不存在(振荡)不能使用罗必塔法则分析limxxsinx(2)limxx+e=lim1xsinx101-121第一个等号是正确的，第二个等号疋旦错误的因为本题应考虑不同的极限过程，

15、分两种情况考虑1=-2x吗宀;呱1D"1=-2x吗宀;呱1D"x-xe-elim-X-e-XX»：exe2xe2x=lime2x1-1所以当X时极限不存在分析分析(3)设g(0)=g(0)=0,g(0)=2,上式第一个等号是正确的因为当X>肿)g(x)2=limx7xx22xg(x)=limx>020时，g(x)-0,x20，所以g(x)2X2是型未0定式又因为g”(0)=2，在x=0的某邻域内g(x)存在，可以用罗必塔法则第二个等号是错误的.虽然X>0时，2x7g(x)7缓是0未定式，但g(02,仅代表f(x)在点x=0处二阶导数存在而g(x)

16、在x=0的邻域内是否存在没有说明,不满足罗必塔法则中的条件2，故不能用罗必塔法则，应该按导数定义计算叫Hx叫HxX2.(Xgg(x)2xJmg(x)-g(°)2x“x-012gg(4)(4)limJim皿Jim1-n-nn:：(n)n-.门分析分析上述运算是错误的因为n为自然数，数列的定义域是离散点集，对自变量n而言数列不存在导数，不能直接用罗必塔法则计算时，可先将n扩充为连续变量x，写出相应的函数.当x、:时，是二型未定式，可以使用罗必塔法则求函数的极限xx显然，如果函数的极限存在，数列的极限也存在且等于函数的极限但也需注意，如果函数的极限不存在，数列的极限可能还存在因lim=li

17、m丄=0，所以，当x为正整数时lim|n_n=0xx：xnn(5)求lim(1X)xe1limx)0x1limx)0x1/x1(1x)-yln(1x)xx(1+x)=limX：o1分析分析1=1四(1+x)x-11x=elimx72上述解法是正确的1x(1x)ln(1x)xJi=lim(1x)xlimx)0x0x2(1x)x-(1x)ln(1x)x-e2这是0型未定式，可应用罗必塔法则；而且为了简化运算，在第二个0等号的右端将函数进行了有理运算，在第三个等号右端将其中含有已知极限的因式提出来单独求极限，避免使用罗必塔法则时的复杂求导运算，而仅对未定式部分使用法则，这样计算大大简化3112求（1

18、）limx（sin一一sin）;x2x(2)limxcos:(1)属0:型未定式limx3(sin1xxlimx3(sin1xxIsin2)2x二limx)：:.11.sinsinx2x1x-112cos=lim&xx:122cosxx-3x12121231=limx(coscos)limx2sinsin31£)(丈31£)(丈lim.3j：13xhxx3xh2x2x.3.1sinsin-2x2x1x2(2)属1:型未定式.令y=(cos.x)x，贝ylny=lnCOs'x,xlimx°ln八!im。Incos、xxlim一sinx.1x>0

19、cosx2、.x所以limWcosJxX>0对于幕指函数的未定式10°,：0都可以按上式的方法计算例3如果a。®,an为满足a°別旦20的实数，证明方程2 3n+1a0-a1x-a2x:(1，anx0在(0,1)内至少有一个实根分析依题意要证明的是a0qa22ann=0,0：1，把它改写成(aox+印x2+恥x3+anxn卅)'x=厂G)=023n+1x=i；这是罗尔定理结论的形式，因此可以构造辅助函数anan2f(x)=a0xa1x2x323用罗尔定理证明设辅助函数f(x)二a0x別x22f(x)二a0x別x222旦X3-a-3 n1f(x)在0,

20、1上连续，在(0,1)内可导，f(0)=f(1)=0.由罗尔定理知在(0,1)内至少有一点使得f)=0,(0<<1),即卩a0-a/a22讦：卜ann=0,所以方程在(0,1)内至少有一个实根.例4设函数f(x)在闭区间0,1上的每个x都有0vf(x)v1，且f(x)丰1,证明在(0,1)内有且仅有一个x，使f(x)=x.分析将要证的结论写成f(x)-x=0，利用介质定理可证方程在0,1内至少有一个实根，是否存在第二个实根可用反证法证先证存在性设F(x)二f(x)-x,F(x)在0,1上的连续，由于0vf(x)v1,则F(0)=f(0)0,F(1)=f(1)一仁0,由连续函数的介值

21、定理可知，至少存在一点(0,1),使得F(xJ=0,即f(x1)=为.再证唯一性，用反证法：假设在(0,1)内除了点X1使f(Xj=X1之外，还有一点X2也使f(X2)=X2.不妨设X1<X2由于F(x)在X1,X2上满足拉格朗日中值定理的条件，因此在(X1,X2)内存在一点=1x2-x1x2-X1这与题设f(x)=1相矛盾，因此方程f(x)=x有唯一的实根小结证明方程只有一个实根或函数在某一区间上只有一个零点，一般需分别证存在性与唯一性.存在性的证明往往利用连续函数的介值定理或罗尔定理，而唯一性经常用反证法.例5假设f(x)是a,b上的正值可微函数，则有点-()，使分析分析假设等式成立

22、，把它改写成j")f()Inf(b)-Inf(a)_f()b-af()'显然，上式左端是函数Inf(x)在a,b上增量与区间长度之比，右端是Inf(x)在x二点的导数因此，可以构造辅助函数Inf(x)，用拉格朗日中值定理证明设F(x)=lnf(x),F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，故有lnf(b)nf(a)f(b)()(ba)Inf(a)f()设f(x)在x1,x2上可导，且设f(x)在x1,x2上可导，且0Vx1<x2，试证明在(x1,x2)内至少存在一点'分析分析XiX2f(X2)由于左端=Xif(X2)-X2f(Xi

23、)%x2f(X2)f(xjX2X111,X2X1这正是函数f(x)与1在区间为,xxX2上增量之比,右端f()-f()=(f(x)f(J-f()1因此，可以构造辅助函数F(x)=3,g(x)x用柯西中值定理证明用柯西中值定理证明要证明Xif(X2)-X2f(Xi)=f(.)_(),也就是要证X1f(X2)-x2f(xi)+(X1-X2)f('；)-f(、：)=0,证法1两端同除以2得把上式写成Xif(X2).-2X2f(Xi)+(XX2)f(x)iF()工(Xi-X2)(Xif(X2)-X2f(Xi)x_-0,XX这是罗尔定理结论的形式因此可以构造辅助函数f(x)iF(x)=(Xi-X

24、2)(Xif(X2)-X2f(Xi)，用罗尔定理证明.XX用柯西中值定理f(x)i设F(x),G(x)二，因OvXivX2，故在(Xi,X2)内G(x)二XX-i2=0x-i2=0xf(X2)f(Xi)f()-f()X2Xi-1,(Xi:：:X2)即得%-x2f(Xi)f(X2)用罗尔定理设辅助函数F(x)=(Xi-X2)()XF(x)在Xi,X2上连续在(Xi,X2)证法2X2Xi=f()-f()i-(Xif(X2)-x?f(Xi)-X，且F(x)、G(x)在Xi，X2上满足柯西中值定理的条件，故有F(Xi)讦区)=f(Xi)-f(X2)由罗尔定理得Xif(X2)-X2f(Xi)+(XX2)

25、f()2f()=O,xix2f(Xi)f(X2)=f(f()小结证明与微分中值有关的等式问题，可以应用微分中值定理如果命题比较复杂往往要构造辅助函数构造辅助函数常用的方法之一是将欲证的结论写成中值定理结论的形式例如将等式变形，使含中值的项移到一边，观察含的一边是否为某个函数f(x)或某两个函数f(x)、F(x)的导函数在处的值f()或比.也可以观察不含的另一端是否为某个函数在此区间的增量与区间长度之比，或者是某两个函数f(x)、F(x)在此区间上增量之比，由此确定应该构造的辅助函数及相应的区间例7证明当x=0时，exdxx丄x0e1ee分析将不等式变形为分析将不等式变形为0即0，右端是函数ex

26、在区间0，X或X，xx00上函数的增量与区间长度之比于是，可以构造辅助函数ex，选定区间0，x或x，ex_e00应用拉格朗日中值定理.如果将不等式变形为kT0，左端是函数ex和函数x1+x在区间0，x或x，0上增量之比.于是，可以构造辅助函数f(x)=e和F(x)=1+x，选定区间0，x或x，0应用柯西中值定理此外，还可将ex在x=0点展开为一阶麦克劳林公式因此，可以用三种方法证明不等式.证法1用拉格朗日中值定理.设f(x)=ex，ex在(-：)内连续、可导.任取x，则f(x)在0，x或x，0上满足拉格朗日中值定理的条件，故有ex-e°=e(x-0)，(在0与x之间)所以当x>

27、0时，>0,e>1,xe>x，从而ex>1+x，当x<0时/v0,e<1,xe<x，从而ex>1+x，所以当x=0时，exVx证法2用柯西中值定理.设f(x)=ex,F(x)=1+x，在(-：:，:)内任取x，在0,x或x,0内f(x)、F(x)满足柯西中值定理的条件在0,x或x,0上连续；在(0,x)(x,0)内可导；在(0,x)(x,0)内F(x)=1丰0且F(x)-F(0)=x1-1=x=0,x0tx1故有e_e_=乞，(©在0与x之间)；当x>0时，e>1,e->1,(1+x)11xex>1+x，所以xe

28、>1+x；xv0时,x当x=0时，e1x.证法3用泰勒公式.t设f(x)=ex，将ex在x=0点展开为一阶麦克劳林公式e1xx(在0!e与x之间)因为当x丰0时x2>0，所以exdx这就证明了x工0时:!ex1x小结利用拉格朗日中值定值、柯西中值定理和泰勒公式证明不等式的关键是构造适当的辅助函数和选择适当的区间，使它满足定理的条件.其次是如何将等式转化成不等式，主要是把f(J适当放大或缩小从而得到所要证明的不等式例8设f(x)在gb上连续，在(a1,b1)内有一阶、二阶导数且f(a)二f(b)=Qf(a)0,印：a：bb,试证在开区间(a,b)内至少存在一点使f)：0分析由f.(a

29、)知在a点的右邻域内存在一点c,使得f(c)0,a-c-b.又f(a)二f(b)=0自然想到将a,b分成a,c,c,b二个区间，在每个区间上对f(x)应用拉格朗日中值定理，找到f(J,f(2).选定1,2闭区间，再次应用拉格朗日中值定理即可得到结果又，由于f(x)在a,b内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且研究的结论是f()”：0,而泰勒公式中包含二阶导数，自然想到也可以用泰勒公式证明证法1用拉格朗日中值定理由f(a)=limXra由f(a)=limXrax-a时，f(c).0,从而,xaf（c）0,在a,c，c,b上f（x）满足拉格朗日中值定理条件,f(x)-f(a)和m丄凶0可知，存在.

30、0，当c(a,a、)xax-a故在a,c上有在c,b上有在c,b上有又f(x)在1,f(c)-f(a)f,.、f(c)f(1)rcaf()f(c)-f(2)-bc(a：:c)c-af(b)-f(c)b-c2上满足拉格朗日中值定理条件，故在(c：2:b)1,2上有f(2(l)=f()f(i)>0,f(2)V0因为f(c)>0,c-a0,b-c0,所以又因1一2>0,f（2）f（1）V0，所以f（）V0.证法2用泰勒公式.由题设厲心）=讪丄匚他=吠3>0得到，在（a,b）内必存一点Hill*ya.vx）axac使得f（c）0,a:c:：b设f（x）在x0点取得最大值，f（冷

31、）=0,a:xb,哄）f（c）0,厂徉）2芦亠一f（x）二f（x0）f（X0）（X-X0厂（X-X0）,（在x与X0之间）2!f"（巴）2令x=a，则有f（a）=f（x°）f（x°）（a-x°）（a-x°）2!=f（X。）口）（a-X。）2，即口）（a-X。）2二-f（x°）v0,2!2!因为（a-x°）2>0，所以f”）v0.小结证明包含二阶以上导数的有关结论，如果用拉格朗日中值定理，就要分析题目条件选定二个以上适合中值定理条件的区间，多次应用拉格朗日中值定理.泰勒公式中含有各阶导数值，也可以用来证明与二阶以及以上导

32、数有关的命题例9求函数f(x)=sinxcosx的极值(owx<2二).f(x)=cosx-sinx,f(x)=-sinx-cosx,令f(x)=0,得驻点xi=二-、2:：:0，所以二-、2:：:0，所以二,2为极大值.说明例10又咅2>o.此题为可导函数且在驻点处2xX,已知函数f(x)二X+1,f(x)f_(0)所以,所以f”(x)=0,所以找出驻点后，用第二充分条件进行判断方x0,问x为何值时，f(x)取得极值.x_0,广2x2x(Ego,当x=0时,1,xcO-limf(x)型二lim-1,f(0)=lim-X)0一x-0X】o-x0-2x,2x(1lnx)=limx0_

33、1当x=0时，f(x)不存在x2x-1f(xf(0)mX_0Xo_x当xv0时,f(x)<0112f()=()eee11令f(x)=0，即2x2x(1Inx)=0，得驻点x,(将可疑点x=0及x按大小ee顺序排列，把函数的定义域(-：，；)分成三个部分区间，讨论在各部分区间上一阶导数的符号.)11f(x)>0；当0vxv时，f(x)>0；当X-时,ee1故当x=0时，函数取得极大值f(0)=1，当x时函数取得极小值e由此可见，分段函数求极值的步骤与非分段函数求极值的步骤一样，关键是在分段点求导时，要用导数定义来求若在分段点处的导数为0或不存在，则分段点为可疑点；若在分段点处导

34、数存在，但不等于0,则分段点不是可疑点例11设f(x)=(x-x0)八(x),(n为自然数)，其中(x)是连续函数，问当(x0)0时，f(x)在点xo处是否取得极值？为什么？分析题中只知道(x)连续，因而f(x)也是连续的，但不知f(x)是否可导，故不能用导数等于零来求驻点，只能用函数的极值定义来进行判断此外，题中还有自然数n，f(x)在x0点是否取极值与n有关.解由于(x)在点Xo处连续，且(xo)0，故存在-0.当(xo-Xo，)时，:(x)o,此时，函数f(x)在该邻域内的符号完全由因子(X-Xo)n决定，而(X-Xo)n的符号又与n的奇偶性有关若n为偶数，当x(xo-、；，xoK)且x

35、o时f(x)O，而f(xo)=O，所以f(Xo)=O为极小值.(1) 若n为奇数，当x(x-,xo)时f(x)：O，当x(xo,xo，)时f(x)O，所以f(xO)=O不是极值.小结求函数的极值的步骤为：1、找出可疑点可疑点包括：(1)驻点；(2)使一阶导数不存在的点(但函数在此点连续)；(3)函数在该点有定义，但不连续.2、判断.对(1)、(2)两类可疑点，利用极值存在的第一或第二充分条件；对第(3)类可疑点，则利用极值定义3、求出极值.2x例12求函数f(x)=arcsin2-2arctanx在(-：，；)上的最大值和最小值.1+x2f(x"2(1X)2f(x"2(1X

36、)1-X21_1X20,当x：-1时，f(x)=O,f(x)为常值函数当一1：x：1时，f(x)0，f(x)单调增加,当x1时，f(x)=O,f(x)为常值函数又因f(x)在(一：:，二)内连续，所以f(-1)=-：为最小值，f(1)=二为最大值例13在y轴上给定一点(0,b),求此点到抛物线4y=x2的最短距离(数b可以取任何实数值)解目标函数d2=f(y)=x2(y-b)2=4y(y-b)2(0三y：)，f(y)=42(y-b)=2y2-b(1) 当b乞2时，f(y)_O,f(y)单调递增，所以f(0)为最小值，即d最小=b2，所以，d=b(2) 当b2时，f(y)=2y2-b=0,y=b

37、-2,为f(y)的唯一驻点，又因(y)=20，故f(b-2)为极小值，也是最小值f(b-2)=4(b-2)4二4(b-1)所以，d=2.b-1.说明(1)我们只讨论抛物线在第一象限部分，由于对称性，第二象限部分同样可以讨论,其结果相同(2)目标函数也可以用x作为自变量例14例144y/图5-20如图5-2所示，半圆0的直径为24为直径延长线上一点图0A=2，B为半圆上任一点,以为边作等边三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB的面积最大并)出面积的最大值.图5-1解作BD_0A，则BD=sinx,AB=、122-212cosx=、5-4cosx1LOAB面积S12sinx=sinx2AB

38、C面积S2ABABsin3(5-4cosx)2343四边形OAC面积为：S(x)S2=sinx(5_4cosx),其中40:x：二，S(x)二cosc、3sinx,5令S(x)=0得ctgx=i.3,x为(0，二)内唯一的驻点，又因65 1一35S(x)-sinx3cosx,S(二八-3':0，所以S()为极大值，也是2265最大值，故B在x时，四边形OACB的面积最大，最大值为6S(?：)=sin"(54cos(5二)46=25.34小结在闭区间上的连续函数，在该区间上最值一定存在对于式子题求最值，只须算出函数可疑点处与端点处的函数值时行比较，最大者就是最大值，最小者就是最

39、小值对于应用问题求最值，往往根据问题的性质就可断定函数f(x)确有最大值或最小值，且一定在定义区间内部取得，在定义区间内部取得，这时如果方程f(x)=0在定义区间内部只有一个根x0，那么不必讨论f(X°)是否为极值，就可断言f(X°)是最大值或最小值.例15求函数y=xe-x的连续区间、可导区间、单调区间、凹凸区间、极值点、拐点和渐近线.因为xi0my-x一xe.xxe,x:0x_0limy-0，所以函数在0一x=0处连续,故连续区间为(-：，；)e=(x_1),x<0于(1_x),x>0y(0)“imf(x)f(0)X_0二limx)0-x-xe八1,xy(0

40、)叽半亍-xxe二lim.二1，X)0x函数在x=0处不可导，在（-：,0）和（0,：；3）可导.e(2x)丫_e(x-2)x：0x0令y0，得x=i，令y”=0，得x=2，列表如下:x(-00,0)0(0,1)1(1,2)2(2,+比)Fy一不存在+0一一一FTy+不存在一一一0+y=f(x)图形小点极拐极大拐点故单调增区间为（0,1）,单调减区间为（一旳，0）,（1,+血）,凸区间为（0,2）,凹区间为（一00，0），（2,+）；极小值点为x=0，极大值点x=1，拐点为（0,0），（2，2e°）又limy=limxe=0,故y=0为水平渐近线X.丿x_.21例16描绘函数y=x2

41、的图形x解（1）定义域（一:,0）及（0,+：），无奇偶性，无周期性(2)y'=2x-2x2xy、222x22(x1)2x，令y>0得X1x(-°°,T)一1(1,0)（碣呛）Fy一一一一0+桦y+0一+y=f(x)拐点极小y及y不存在的点没有）（3）列表（4）渐近线：因四丫=°°，所以x=0为铅直渐近线令y=0，得x=-1.（在定义域内,令y=0，得x=-1.（在定义域内,（5）描图:11y(-23-,y(-10,y(32)-3322：1.9,y(1)=2,y(2)=4肌丁八；,啊机y=；小结描绘函数图形是导数知识的综合应用.描绘函数y=

42、f（x）的图形的一般步骤为:1、确定函数的定义域、奇偶性、周期性2、求出函数的一阶导数f(X)及二阶导数f(x)，找出在定义域内的下列各点：间断点、驻点；一阶导数不存在的点；使二阶导数为0的点；二阶导数不存在的点等，将这些点按大小顺序排列，把函数的定义域划成几个部分区间3、列表根据f(x)，f(x)的符号，把函数图形在各部分区间的升降和凹凸，极值和拐点等在表中列出4、求渐近线5、描图例17方程3x44x36x212x20=0有几个实根？解令f(x)=3x4-4x3-6x212x-20,则f(x)=12x3-12x2-12x12=12(x1)(x-1)2令f(x)=0得x-1,X2=1当时，f(x)：0，函数单调减小；当(-1,1)时，f(x)0,函数单调增加；当(1,匸：)时，f(x)0，函数单调增加；所以f(-1)=-31是极小值f(1)=-15不是极值limf(x)